[例1]若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A.B兩點(diǎn).M為AB的中點(diǎn).直線OM(O為原點(diǎn))的斜率為.且OA⊥OB.求橢圓的方程． 分析:欲求橢圓方程.需求a.b.為此需要得到關(guān)于a.b的兩個方程.由OM的斜率為．OA⊥OB.易得a.b的兩個方程． 解法1:設(shè)A(x1.y1).B(x2.y2).M(x0.y0)． ∴(a+b)x2-2bx+b-1=0. 由 x+y=1. ax2+by2=1. ∴x0==.y0==1-=． ∴M(.)． ∵kOM=.∴b=a． ① ∵OA⊥OB.∴·=-1． ∴x1x2+y1y2=0． ∵x1x2=.y1y2=(1-x1)(1-x2). ∴y1y2=1-(x1+x2)+x1x2 =1-+=． ∴+=0． ∴a+b=2． ② 由①②得a=2(-1).b=2(-1)． ∴所求方程為2(-1)x2+2(-1)y2=1． 法2:由ax1+by1=1, ax2+by2=1相減得 ,即-下同法1． 提煉方法:1．設(shè)而不求.即設(shè)出A(x1.y1).B(x2.y2).借助韋達(dá)定理推出b=a．．再由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,轉(zhuǎn)換出a,b的又一關(guān)系式,2．點(diǎn)差法得b=a．- [例2] 已知橢圓C:+＝1(a＞b＞0)的左．右焦點(diǎn)為F1.F2.離心率為e． 直線,l:y＝ex+a與x軸．y軸分別交于點(diǎn)A.B.M是直線l與橢圓C的一個公共點(diǎn).P是點(diǎn)F1關(guān)于直線l的對稱點(diǎn).設(shè)＝λ． (Ⅰ)證明:λ＝1-e2, (Ⅱ)若.△MF1F2的周長為6,寫出橢圓C的方程, (Ⅲ)確定λ的值.使得△PF1F2是等腰三角形． (Ⅰ)證法一:因?yàn)锳.B分別是直線l:與x軸.y軸的交點(diǎn).所以A.B的坐標(biāo)分別是． 所以點(diǎn)M的坐標(biāo)是()． 由 即． 證法二:因?yàn)锳.B分別是直線l:與x軸.y軸的交點(diǎn).所以A.B的坐標(biāo)分別是設(shè)M的坐標(biāo)是 所以 因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上.所以 即 解得 (Ⅱ)當(dāng)時..所以 由△MF1F­2­­的周長為6.得 所以 橢圓方程為 (Ⅲ)解法一:因?yàn)镻F1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角.要使△PF1F2為等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|.即 設(shè)點(diǎn)F1到l的距離為d.由 得 所以 即當(dāng)△PF1F­2­­為等腰三角形． 解法二:因?yàn)镻F1⊥l.所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角.要使△PF1F2為等腰三角形.必有|PF1|=|F1F2|. 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是. 則 由|PF1|=|F1F2|得 兩邊同時除以4a2.化簡得 從而 于是． 即當(dāng)時.△PF1F2為等腰三角形． [例3]求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是.且經(jīng)過點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, (2)已知橢圓的方程是． 設(shè)斜率為的直線.交橢圓于兩點(diǎn).的中點(diǎn)為． 證明:當(dāng)直線平行移動時.動點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上, 所揭示的橢圓幾何性質(zhì).用作圖方法找出下面給定橢圓的中心.簡要寫出作圖步驟.并在圖中標(biāo)出橢圓的中心． 解:(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.. ∴ .即橢圓的方程為. ∵ 點(diǎn)()在橢圓上.∴ . 解得 或(舍). 由此得.即橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為． (2)設(shè)直線的方程為. 與橢圓的交點(diǎn)().(). 則有. 解得 . ∵ .∴ .即 ． 則 . ∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為． ∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上． (3)如圖.作兩條平行直線分別交橢圓于.和.并分別取.的中點(diǎn).連接直線,又作兩條平行直線分別交橢圓于.和.并分別取.的中點(diǎn).連接直線.那么直線和的交點(diǎn)即為橢圓中心． [例4] 如圖,橢圓的右焦點(diǎn)為,過點(diǎn)的一動直線繞點(diǎn) 轉(zhuǎn)動,并且交橢圓于.兩點(diǎn), 為線段的中點(diǎn)． (1) 求點(diǎn)的軌跡的方程; (2) 若在的方程中,令確定的值,使原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)．此時設(shè)與軸交點(diǎn)為,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到什么位置時,三角形的面積最大? 解:如圖 (1)設(shè)橢圓上的點(diǎn).,又設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為.則 ------② ------① 當(dāng)不垂直軸時. 由①-②得 當(dāng) 垂直于軸時.點(diǎn)即為點(diǎn).滿足方程(*)． 故所求點(diǎn)的軌跡的方程為: ． (2)因?yàn)?橢圓右準(zhǔn)線方程是,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線的距離為, 時,上式達(dá)到最大值,所以當(dāng)時,原點(diǎn)距橢圓的右準(zhǔn)線最遠(yuǎn)． 此時． 設(shè)橢圓 上的點(diǎn)., △的面積 設(shè)直線的方程為,代入中,得 由韋達(dá)定理得 令,得,當(dāng)取等號． 因此,當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動到垂直軸位置時, 三角形的面積最大． 特別提醒:注意這種直線方程的設(shè)法,適用于 “含斜率不存在,而無斜率為零的情況 . [研討．欣賞](1)已知點(diǎn)P的坐標(biāo)是.F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)Q在橢圓上移動.當(dāng)取最小值時.求點(diǎn)Q的坐標(biāo).并求出其最小值. (2)設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn).長軸在x軸上.離心率為.已知點(diǎn)P到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離是.求這個橢圓的方程.并求橢圓上到點(diǎn)P的距離是的點(diǎn)的坐標(biāo). 解(1)由橢圓方程可知a=4,b=,則c=2,, 橢圓的右準(zhǔn)線方程為x=8 過點(diǎn)Q作QQ’于點(diǎn)Q’, 過點(diǎn)P作PP’于點(diǎn)P’,則據(jù)橢圓的第二定義知, , 易知當(dāng)P.Q.Q’在同一條線上時.即當(dāng)Q’與P’點(diǎn)重合時.才能取得最小值.最小值為8-(-1)=9.此時點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-3.代入橢圓方程得. 因此,當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動到處時, 取最小值9． (2)設(shè)所求的橢圓的直角坐標(biāo)方程是． 由,解得,設(shè)橢圓上的點(diǎn)(x,y)到點(diǎn)P的距離為d． 則 其中,如果, 則當(dāng)y=-b時,d2取得最大值 解得b=與矛盾, 故必有 當(dāng)時d2取得最大值. 解得b=1,a=2 所求橢圓方程為． 由可得橢圓上到點(diǎn)P的距離等于的點(diǎn)為,． 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
2
，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=2
2
，又M為AB的中點(diǎn)，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM的斜率為
2
2
，求該橢圓的方程．

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若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
2
，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為，且OA⊥OB，求橢圓的方程．

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若橢圓ax2+by2=1與直線x+y=1交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，直線OM（O為原點(diǎn)）的斜率為
2
，又OA⊥OB，求a，b．

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