設(shè)為實數(shù),首項為,公差為的等差數(shù)列的前n項和為,滿足

(1)若,求及;

(2)求d的取值范圍.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的求和的運用以及通項公式的運用。第一問中，利用和已知的，得到結(jié)論

第二問中，利用首項和公差表示，則方程是一個有解的方程，因此判別式大于等于零，因此得到d的范圍。

解：(1)因為設(shè)為實數(shù),首項為,公差為的等差數(shù)列的前n項和為,滿足

所以

(2)因為

得到關(guān)于首項的一個二次方程，則方程必定有解，結(jié)合判別式求解得到

解：：因為，所以f(1)f(2)<0，因此f(x)在區(qū)間（1，2）上存在零點，又因為y=與y=-在（0，+）上都是增函數(shù)，因此在（0，+）上是增函數(shù)，所以零點個數(shù)只有一個方法2：把函數(shù)的零點個數(shù)個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為判斷方程解的個數(shù)問題，近而轉(zhuǎn)化成判斷與交點個數(shù)問題，在坐標(biāo)系中畫出圖形

由圖看出顯然一個交點，因此函數(shù)的零點個數(shù)只有一個

袋中有50個大小相同的號牌，其中標(biāo)著0號的有5個，標(biāo)著n號的有n個（n=1,2,…9）,現(xiàn)從袋中任取一球，求所取號碼的分布列，以及取得號碼為偶數(shù)的概率.

已知各項都不為零的數(shù)列的前n項和為，，向量，其中N^*，且∥．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式及；

（Ⅱ）若數(shù)列的前n項和為，且（其中是首項，第四項為的等比數(shù)列的公比），求證：．

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式和前n項和公式的運用。

（1）因為，對n=1, 分別求解通項公式，然后合并。利用，求解

（2）利用

裂項后求和得到結(jié)論。

解：(1)  ……1分

當(dāng)時，……2分

（）……5分

……7分

……9分

證明：當(dāng)時，

當(dāng)時，

在中，滿足,是邊上的一點.

（Ⅰ）若,求向量與向量夾角的正弦值；

（Ⅱ）若，=m  (m為正常數(shù)) 且是邊上的三等分點.，求值；

（Ⅲ）若且求的最小值。

【解析】第一問中，利用向量的數(shù)量積設(shè)向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求

第二問因為，=m所以，

（1）當(dāng)時，則= 

（2）當(dāng)時，則=

第三問中，解：設(shè),因為，；

所以即于是得

從而

運用三角函數(shù)求解。

（Ⅰ）解：設(shè)向量與向量的夾角為，則

令=，得，又，則為所求……………2分

(Ⅱ)解：因為，=m所以，

（1）當(dāng)時，則=；-2分

（2）當(dāng)時，則=；--2分

（Ⅲ）解：設(shè),因為，；

所以即于是得

從而---2分

==

=…………………………………2分

令，則，則函數(shù)，在遞減，在上遞增，所以從而當(dāng)時，

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

【解析】第一問利用設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得

第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．解得。

解：⑴設(shè)橢圓的方程為，由題意得

解得，故橢圓的方程為．……………………4分

⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得

．

因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，

所以

所以．

又，

因為，即，

所以．

即．

所以，解得．

因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．

于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x