已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N^*）．
（1）令b_n=2ⁿa_n，求證：數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令c_n=

n+1

n

an，Tn=c1+c2+…+cn，試比較T_n與

5n

2n+1

的大小，并予以證明．

已知數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，a₂=6，a₅=162．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，證明

Sn•Sn+2

S 2 n+1

≤1．

已知數(shù)列{x_n}中，x1=1，xn+1=1+

xn

p+xn

(n∈N*，p是正常數(shù))．
（Ⅰ）當(dāng)p=2時，用數(shù)學(xué)歸納法證明xn＜

2

(n∈N*)
（Ⅱ）是否存在正整數(shù)M，使得對于任意正整數(shù)n，都有x_M≥x_n．

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），b_n=3a_n．
（1）試證數(shù)列{an-

1

3

×2n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{b_n}的通項公式．
（2）在數(shù)列{b_n}中，是否存在連續(xù)三項成等差數(shù)列？若存在，求出所有符合條件的項；若不存在，說明理由．
（3）①試證在數(shù)列{b_n}中，一定存在滿足條件1＜r＜s的正整數(shù)r，s，使得b₁，b_r，b_s成等差數(shù)列；并求出正整數(shù)r，s之間的關(guān)系．
②在數(shù)列{b_n}中，是否存在滿足條件1＜r＜s＜t的正整數(shù)r，s，t，使得b₁，b_r，b_s，b_t成等差數(shù)列？若存在，確定正整數(shù)r，s，t之間的關(guān)系；若不存在，說明理由．

已知數(shù)列{a_n}的首項a1=

3

5

，an+1=

3an

2an+1

，n=1，2，…．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：對任意的x＞0，an≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，n=1，2，…；
（Ⅲ）證明：a1+a2+…+an＞

n2

n+1

．