第一部分  力＆物體的平衡

第一講 力的處理

一、矢量的運算

1、加法

表達： +  =  。

名詞：為“和矢量”。

法則：平行四邊形法則。如圖1所示。

和矢量大�。篶 =  ，其中α為和的夾角。

和矢量方向：在、之間，和夾角β= arcsin

2、減法

表達： = － 。

名詞：為“被減數矢量”，為“減數矢量”，為“差矢量”。

法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數矢量和減數矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數時量的時量，即是差矢量。

差矢量大�。篴 =  ，其中θ為和的夾角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。

例題：已知質點做勻速率圓周運動，半徑為R ，周期為T ，求它在T內和在T內的平均加速度大小。

解說：如圖3所示，A到B點對應T的過程，A到C點對應T的過程。這三點的速度矢量分別設為、和。

根據加速度的定義 = 得：= ，= 

由于有兩處涉及矢量減法，設兩個差矢量 = － ，= － ，根據三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。

本題只關心各矢量的大小，顯然：

 =  =  =  ，且： = =  ， = 2= 

所以：=  =  =  ，=  =  =  。

（學生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動？

答：否；不是。

3、乘法

矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數的乘法有著質的不同。

⑴ 叉乘

表達：× = 

名詞：稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。

叉積的大�。篶 = absinα，其中α為和的夾角。意義：的大小對應由和作成的平行四邊形的面積。

叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。

顯然，×≠×，但有：×= －×

⑵ 點乘

表達：· = c

名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標量。

點積的大小：c = abcosα，其中α為和的夾角。

二、共點力的合成

1、平行四邊形法則與矢量表達式

2、一般平行四邊形的合力與分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

正弦定理解方向

三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

第二講 物體的平衡

一、共點力平衡

1、特征：質心無加速度。

2、條件：Σ = 0 ，或  = 0 ， = 0

例題：如圖5所示，長為L 、粗細不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標示，求橫桿的重心位置。

解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關系比較簡單。

答案：距棒的左端L/4處。

（學生活動）思考：放在斜面上的均質長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？

解：將各處的支持力歸納成一個N ，則長方體受三個力（G 、f 、N）必共點，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時，N就過重心了）。

答：不會。

二、轉動平衡

1、特征：物體無轉動加速度。

2、條件：Σ= 0 ，或ΣM₊ =ΣM_- 

如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。

3、非共點力的合成

大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。

作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。

第三講 習題課

1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉動的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個質量為m的光滑均質球體，試求：β取何值時，夾板對球的彈力最小。

解說：法一，平行四邊形動態(tài)處理。

對球體進行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N₁進行平移，使它們構成一個三角形，如圖8的左圖和中圖所示。

由于G的大小和方向均不變，而N₁的方向不可變，當β增大導致N₂的方向改變時，N₂的變化和N₁的方向變化如圖8的右圖所示。

顯然，隨著β增大，N₁單調減小，而N₂的大小先減小后增大，當N₂垂直N₁時，N₂取極小值，且N_2min = Gsinα。

法二，函數法。

看圖8的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有：

 =  ，即：N₂ =  ，β在0到180°之間取值，N₂的極值討論是很容易的。

答案：當β= 90°時，甲板的彈力最小。

2、把一個重為G的物體用一個水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F隨時間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個？

解說：靜力學旨在解決靜態(tài)問題和準靜態(tài)過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。

靜力學的知識，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據。

水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。

物體在運動時，滑動摩擦力f = μN ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關系。

對運動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據物理常識，加速時，f ＜ G ，而在減速時f ＞ G 。

答案：B 。

3、如圖11所示，一個重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質彈簧的勁度系數為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時位于大環(huán)上的B點。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。

解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。

分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。

（學生活動）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

                                   ⑴

由胡克定律：F = k（- R）                ⑵

幾何關系：= 2Rcosθ                     ⑶

解以上三式即可。

答案：arccos 。

（學生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？

答：變�。徊蛔�。

（學生活動）反饋練習：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？

解：和上題完全相同。

答：T變小，N不變。

4、如圖14所示，一個半徑為R的非均質圓球，其重心不在球心O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的A點和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時球面上的B點與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。

解說：練習三力共點的應用。

根據在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。

答案：R 。

（學生活動）反饋練習：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？

解：三力共點知識應用。

答： 。

4、兩根等長的細線，一端拴在同一懸點O上，另一端各系一個小球，兩球的質量分別為m₁和m₂ ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m₁ : m₂??為多少？

解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學問題。

對兩球進行受力分析，并進行矢量平移，如圖16所示。

首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設為α。

而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設為F 。

對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：

 =          ①

同理，對右邊的矢量三角形，有： =                                ②

解①②兩式即可。

答案：1 ： 。

（學生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？

答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。

應用：若原題中繩長不等，而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它條件不變，m₁與m₂的比值又將是多少？

解：此時用共點力平衡更加復雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。

答：2 ：3 。

5、如圖17所示，一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現要將木板繼續(xù)向左插進一些，至少需要多大的水平推力？

解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。

以球和桿為對象，研究其對轉軸O的轉動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：

f R + N（R + L）= G（R + L）           ①

球和板已相對滑動，故：f = μN        ②

解①②可得：f = 

再看木板的平衡，F = f 。

同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′=  = F′。

答案： 。

第四講 摩擦角及其它

一、摩擦角

1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。

2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φ_m表示。

此時，要么物體已經滑動，必有：φ_m = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φ_ms = arctgμ_s（μ_s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φ_m = φ_ms 。

3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。

二、隔離法與整體法

1、隔離法：當物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。

在處理各隔離方程之間的聯系時，應注意相互作用力的大小和方向關系。

2、整體法：當各個體均處于平衡狀態(tài)時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進行分析處理，稱整體法。

應用整體法時應注意“系統(tǒng)”、“內力”和“外力”的涵義。

三、應用

1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。

解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目�？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學生留下深刻印象。

法一，正交分解。（學生分析受力→列方程→得結果。）

法二，用摩擦角解題。

引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φ_m指摩擦角。

再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φ_m = 15°。

最后，μ= tgφ_m 。

答案：0.268 。

（學生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進的最小F值是多少？

解：見圖18，右圖中虛線的長度即F_min ，所以，F_min = Gsinφ_m 。

答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。

2、如圖19所示，質量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s² ，求地面對斜面體的摩擦力大小。

解說：

本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。

法一，隔離法。簡要介紹……

法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。

做整體的受力分析時，內力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

答案：26.0N 。

（學生活動）地面給斜面體的支持力是多少？

解：略。

答：135N 。

應用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個F的大小和方向。

解說：這是一道難度較大的靜力學題，可以動用一切可能的工具解題。

法一：隔離法。

由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ

對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。

對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

F_x = f + mgsinθ

F_y + mgcosθ= N

且 f = μN = Ntgθ

綜合以上三式得到：

F_x = F_ytgθ+ 2mgsinθ               ①

對斜面體，只看水平方向平衡就行了——

P = fcosθ+ Nsinθ

即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ

代入μ值，化簡得：F_y = mgcosθ      ②

②代入①可得：F_x = 3mgsinθ

最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設α為F和斜面的夾角）。

答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內部。

法二：引入摩擦角和整體法觀念。

仍然沿用“法一”中關于F的方向設置（見圖21中的α角）。

先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P                                   ⑴

再隔離滑塊，分析受力時引進全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個力（R、mg和F），可以將矢量平移后構成一個三角形，如圖22所示。

在圖22右邊的矢量三角形中，有： = =      ⑵

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ                                              ⑶

解⑴⑵⑶式可得F和α的值。

第二部分  牛頓運動定律

第一講 牛頓三定律

一、牛頓第一定律

1、定律。慣性的量度

2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”

二、牛頓第二定律

1、定律

2、理解要點

a、矢量性

b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣF_x → a_x …

c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。

3、適用條件

a、宏觀、低速

b、慣性系

對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析

三、牛頓第三定律

1、定律

2、理解要點

a、同性質（但不同物體）

b、等時效（同增同減）

c、無條件（與運動狀態(tài)、空間選擇無關）

第二講 牛頓定律的應用

一、牛頓第一、第二定律的應用

單獨應用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。

應用要點：合力為零時，物體靠慣性維持原有運動狀態(tài)；只有物體有加速度時才需要合力。有質量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。

1、如圖1所示，在馬達的驅動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動�，F將一工件（大小不計）在皮帶左端A點輕輕放下，則在此后的過程中（      ）

A、一段時間內，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運動

B、當工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力

C、當工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點右側的某一點

D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態(tài)

解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項用到牛頓第二定律。

較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣF_x → ∞ ，必然會出現“供不應求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調節(jié)的特殊“物體”）

此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規(guī)律。用勻變速運動規(guī)律和牛頓第二定律不難得出

只有當L ＞ 時（其中μ為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。

答案：A、D

思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g取10 m/s² ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，答案為5.5s）

進階練習：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v₀ ，其它條件不變，再求t（學生分以下三組進行）——

① v₀ = 1m/s  (答：0.5 + 37/8 = 5.13s)

② v₀ = 4m/s  (答：1.0 + 3.5 = 4.5s)

③ v₀ = 1m/s  (答：1.55s)

2、質量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問：

① 如果在P處剪斷細繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？

② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？

解說：第①問是常規(guī)處理。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。

第②問需要我們反省這樣一個問題：“彈簧不會立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質量），遵從理想模型的條件，彈簧應在一瞬間恢復原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?/p>

答案：0 ；g 。

二、牛頓第二定律的應用

應用要點：受力較少時，直接應用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結合正交分解與“獨立作用性”解題。

在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。

1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。

解說：受力分析 → 根據“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應用

答案：gsinθ。

思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應具備一個多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應注意區(qū)別。答：gtgθ。）

進階練習1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）

進階練習2、如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發(fā)現懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角β。試求小車的加速度。

解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應用，但數學處理復雜了一些（正弦定理解三角形）。

分析小球受力后，根據“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應的夾角。設張力T與斜面方向的夾角為θ，則

θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α）                 （1）

對灰色三角形用正弦定理，有

 =                                        （2）

解（1）（2）兩式得：ΣF = 

最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）

答： 。

2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運動。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質量為m的小球，當斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。

解說：當力的個數較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。

正交坐標的選擇，視解題方便程度而定。

解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程

ΣF_x = ma ，即T_x － N_x = ma

ΣF_y = 0 ， 即T_y + N_y = mg

代入方位角θ，以上兩式成為

T cosθ－N sinθ = ma                       （1）

T sinθ + Ncosθ = mg                       （2）

這是一個關于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。將正交分解的坐標選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。

根據獨立作用性原理，ΣF_x = ma_x

即：T － G_x = ma_x

即：T － mg sinθ = m acosθ

顯然，獨立解T值是成功的。結果與解法一相同。

答案：mgsinθ + ma cosθ

思考：當a＞ctgθ時，張力T的結果會變化嗎？（從支持力的結果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T = m 。）

學生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進階練習2”

進階練習：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺階是水平的。當扶梯以a = 4m/s²的加速度向上運動時，站在扶梯上質量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s²，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。

解：這是一個展示獨立作用性原理的經典例題，建議學生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領會用牛頓第二定律解題的靈活性。

答：208N 。

3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知�，F將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。

解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。

（學生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現象？原因是什么？

結論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。

第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調節(jié)”這一難點（從即將開始的運動來反推）。

知識點，牛頓第二定律的瞬時性。

答案：a_甲 = gsinθ ；a_乙 = gtgθ 。

應用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當懸掛吊籃的細繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？

解：略。

答：2g ；0 。

三、牛頓第二、第三定律的應用

要點：在動力學問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進“系統(tǒng)”、“內力”和“外力”等概念，并適時地運用牛頓第三定律。

在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。

對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。

補充：當多個對象不具有共同的加速度時，一般來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個局限（可以介紹推導過程）——

Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n

其中Σ只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。

1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質直棒，現給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關系怎樣？

解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。

答案：N = x 。

思考：如果水平面粗糙，結論又如何？

解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。

第（1）情況的計算和原題基本相同，只是多了一個摩擦力的處理，結論的化簡也麻煩一些。

第（2）情況可設棒的總質量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(L-l)的右段沒有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。

答：若棒仍能被拉動，結論不變。

若棒不能被拉動，且F = μMg時（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質量），當x＜(L-l)，N≡0 ；當x＞(L-l)，N = 〔x -〈L-l〉〕。

應用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個長方體滑塊，它們的質量分別為m₁和m₂ ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ₁和μ₂ ，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：

A、μ₁ m₁gcosθ ；    B、μ₂ m₁gcosθ ；

C、μ₁ m₂gcosθ ；    D、μ₁ m₂gcosθ ；

解：略。

答：B 。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v₀一起上沖，以上結論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v₀一起上沖，球應對盒子的哪一側內壁有壓力？

解：略。

答：（1）不會；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對兩內壁均無壓力，若斜面粗糙，對斜面上方的內壁有壓力。

2、如圖15所示，三個物體質量分別為m₁ 、m₂和m₃ ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質量也不計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應為多少？

解說：

此題對象雖然有三個，但難度不大。隔離m₂ ，豎直方向有一個平衡方程；隔離m₁ ，水平方向有一個動力學方程；整體有一個動力學方程。就足以解題了。

答案：F =  。

思考：若將質量為m₃物體右邊挖成凹形，讓m₂可以自由擺動（而不與m₃相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個恰當的F′，使三者無相對運動？如果沒有，說明理由；如果有，求出這個F′的值。

解：此時，m₂的隔離方程將較為復雜。設繩子張力為T ，m₂的受力情況如圖，隔離方程為：

 = m₂a

隔離m₁ ，仍有：T = m₁a

解以上兩式，可得：a = g

最后用整體法解F即可。

答：當m₁ ≤ m₂時，沒有適應題意的F′；當m₁ ＞ m₂時，適應題意的F′=  。

3、一根質量為M的木棒，上端用細繩系在天花板上，棒上有一質量為m的貓，如圖17所示�，F將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？

解說：法一，隔離法。需要設出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動力學方程，解方程組即可。

法二，“新整體法”。

據Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a₁ = 0 ，所以：

（ M + m ）g = m·0 + M a₁ 

解棒的加速度a₁十分容易。

答案：g 。

四、特殊的連接體

當系統(tǒng)中各個體的加速度不相等時，經典的整體法不可用。如果各個體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯系。

解題思想：抓某個方向上加速度關系。方法：“微元法”先看位移關系，再推加速度關系。、

1、如圖18所示，一質量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。

解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關系復雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對兩者列隔離方程時，務必在這個方向上進行突破。

（學生活動）定型判斷斜面的運動情況、滑塊的運動情況。

位移矢量示意圖如圖19所示。根據運動學規(guī)律，加速度矢量a₁和a₂也具有這樣的關系。

（學生活動）這兩個加速度矢量有什么關系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標，可得：

a_1y = a_2y             ①

且：a_1y = a₂sinθ     ②

隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。

對滑塊，列y方向隔離方程，有：

mgcosθ- N = ma_1y     ③

對斜面，仍沿合加速度a₂方向列方程，有：

Nsinθ= Ma₂          ④

解①②③④式即可得a₂ 。

答案：a₂ =  。

（學生活動）思考：如何求a₁的值？

解：a_1y已可以通過解上面的方程組求出；a_1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma_1x ，得:a_1x = gsinθ 。最后據a₁ = 求a₁ 。

答：a₁ =  。

2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無摩擦地在棒上滑動，開始時與棒的A端相距b ，相對棒靜止。當棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運動，加速度為a（且a＞gtgθ）時，求滑套C從棒的A端滑出所經歷的時間。

解說：這是一個比較特殊的“連接體問題”，尋求運動學參量的關系似乎比動力學分析更加重要。動力學方面，只需要隔離滑套C就行了。

（學生活動）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）

定性繪出符合題意的運動過程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S₁表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標后，S_1x表示S₁在x方向上的分量。不難看出：

S_1x + b = S cosθ                   ①

設全程時間為t ，則有：

S = at²                          ②

S_1x = a_1xt²                        ③

而隔離滑套，受力圖如圖23所示，顯然：

mgsinθ= ma_1x                       ④

解①②③④式即可。

答案：t = 

另解：如果引進動力學在非慣性系中的修正式 Σ+ ^* = m （注：^*為慣性力），此題極簡單。過程如下——

以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。

注意，滑套相對棒的加速度a_相是沿棒向上的，故動力學方程為：

F^*cosθ- mgsinθ= ma_相            （1）

其中F^* = ma                      （2）

而且，以棒為參照，滑套的相對位移S_相就是b ，即：

b = S_相 = a_相 t²                 （3）

解（1）（2）（3）式就可以了。

第二講 配套例題選講

教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓練教材》，知識出版社，2002年8月第一版。

例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習題。

第六部分 振動和波

第一講 基本知識介紹

《振動和波》的競賽考綱和高考要求有很大的不同，必須做一些相對詳細的補充。

一、簡諧運動

1、簡諧運動定義：= －k             ①

凡是所受合力和位移滿足①式的質點，均可稱之為諧振子，如彈簧振子、小角度單擺等。

諧振子的加速度：= －

2、簡諧運動的方程

回避高等數學工具，我們可以將簡諧運動看成勻速圓周運動在某一條直線上的投影運動（以下均看在x方向的投影），圓周運動的半徑即為簡諧運動的振幅A 。

依據：_x = －mω²Acosθ= －mω²

對于一個給定的勻速圓周運動，m、ω是恒定不變的，可以令：

mω² = k 

這樣，以上兩式就符合了簡諧運動的定義式①。所以，x方向的位移、速度、加速度就是簡諧運動的相關規(guī)律。從圖1不難得出——

位移方程： = Acos(ωt + φ)                                        ②

速度方程： = －ωAsin(ωt +φ)                                     ③

加速度方程：= －ω²A cos(ωt +φ)                                   ④

相關名詞：(ωt +φ)稱相位，φ稱初相。

運動學參量的相互關系：= －ω²

A = 

tgφ= －

3、簡諧運動的合成

a、同方向、同頻率振動合成。兩個振動x₁ = A₁cos(ωt +φ₁)和x₂ = A₂cos(ωt +φ₂) 合成，可令合振動x = Acos(ωt +φ) ，由于x = x₁ + x₂ ，解得

A =  ，φ= arctg 

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），合振幅A最大，當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），合振幅最小。

b、方向垂直、同頻率振動合成。當質點同時參與兩個垂直的振動x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)時，這兩個振動方程事實上已經構成了質點在二維空間運動的軌跡參數方程，消去參數t后，得一般形式的軌跡方程為

+－2cos(φ₂－φ₁) = sin²(φ₂－φ₁)

顯然，當φ₂－φ₁ = 2kπ時（k = 0，±1，±2，…），有y = x ，軌跡為直線，合運動仍為簡諧運動；

當φ₂－φ₁ = （2k + 1）π時（k = 0，±1，±2，…），有+= 1 ，軌跡為橢圓，合運動不再是簡諧運動；

當φ₂－φ₁取其它值，軌跡將更為復雜，稱“李薩如圖形”，不是簡諧運動。

c、同方向、同振幅、頻率相近的振動合成。令x₁ = Acos(ω₁t + φ)和x₂ = Acos(ω₂t + φ) ，由于合運動x = x₁ + x₂ ，得：x =（2Acost）cos（t +φ）。合運動是振動，但不是簡諧運動，稱為角頻率為的“拍”現象。

4、簡諧運動的周期

由②式得：ω=  ，而圓周運動的角速度和簡諧運動的角頻率是一致的，所以

T = 2π                                                      ⑤

5、簡諧運動的能量

一個做簡諧運動的振子的能量由動能和勢能構成，即

= mv² + kx² = kA²

注意：振子的勢能是由（回復力系數）k和（相對平衡位置位移）x決定的一個抽象的概念，而不是具體地指重力勢能或彈性勢能。當我們計量了振子的抽象勢能后，其它的具體勢能不能再做重復計量。

6、阻尼振動、受迫振動和共振

和高考要求基本相同。

二、機械波

1、波的產生和傳播

產生的過程和條件；傳播的性質，相關參量（決定參量的物理因素）

2、機械波的描述

a、波動圖象。和振動圖象的聯系

b、波動方程

如果一列簡諧波沿x方向傳播，振源的振動方程為y = Acos（ωt + φ），波的傳播速度為v ，那么在離振源x處一個振動質點的振動方程便是

y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω（t - ）+ φ〕

這個方程展示的是一個復變函數。對任意一個時刻t ，都有一個y（x）的正弦函數，在x-y坐標下可以描繪出一個瞬時波形。所以，稱y = Acos〔ω（t - ）+ φ〕為波動方程。

3、波的干涉

a、波的疊加。幾列波在同一介質種傳播時，能獨立的維持它們的各自形態(tài)傳播，在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加（包括位移、速度和加速度的疊加）。

b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時，在同一介質中的疊加將形成一種特殊形態(tài)：振動加強的區(qū)域和振動削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開。

我們可以用波程差的方法來討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示，我們用S₁和S₂表示兩個波源，P表示空間任意一點。

當振源的振動方向相同時，令振源S₁的振動方程為y₁ = A₁cosωt ，振源S₁的振動方程為y₂ = A₂cosωt ，則在空間P點（距S₁為r₁ ，距S₂為r₂），兩振源引起的分振動分別是

y₁′= A₁cos〔ω（t ? ）〕

y₂′= A₂cos〔ω（t ? ）〕

P點便出現兩個頻率相同、初相不同的振動疊加問題（φ₁ =  ，φ₂ = ），且初相差Δφ= （r₂ – r₁）。根據前面已經做過的討論，有

r₂ ? r₁ = kλ時（k = 0，±1，±2，…），P點振動加強，振幅為A₁ + A₂ ；

r₂ ? r₁ =（2k ? 1）時（k = 0，±1，±2，…），P點振動削弱，振幅為│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知識點和高考要求相同。

5、多普勒效應

當波源或者接受者相對與波的傳播介質運動時，接收者會發(fā)現波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應的定量討論可以分為以下三種情況（在討論中注意：波源的發(fā)波頻率f和波相對介質的傳播速度v是恒定不變的）——

a、只有接收者相對介質運動（如圖3所示）

設接收者以速度v₁正對靜止的波源運動。

如果接收者靜止在A點，他單位時間接收的波的個數為f ，

當他迎著波源運動時，設其在單位時間到達B點，則= v₁ ，、

在從A運動到B的過程中，接收者事實上“提前”多接收到了n個波

n = = = 

顯然，在單位時間內，接收者接收到的總的波的數目為：f + n = f ，這就是接收者發(fā)現的頻率f₁ 。即

f₁ = f 

顯然，如果v₁背離波源運動，只要將上式中的v₁代入負值即可。如果v₁的方向不是正對S ，只要將v₁出正對的分量即可。

b、只有波源相對介質運動（如圖4所示）

設波源以速度v₂正對靜止的接收者運動。

如果波源S不動，在單位時間內，接收者在A點應接收f個波，故S到A的距離：= fλ 

在單位時間內，S運動至S′，即= v₂ 。由于波源的運動，事實造成了S到A的f個波被壓縮在了S′到A的空間里，波長將變短，新的波長

λ′= = = = 

而每個波在介質中的傳播速度仍為v ，故“被壓縮”的波（A接收到的波）的頻率變?yōu)?/p>

f₂ = = f 

當v₂背離接收者，或有一定夾角的討論，類似a情形。

c、當接收者和波源均相對傳播介質運動

當接收者正對波源以速度v₁（相對介質速度）運動，波源也正對接收者以速度v₂（相對介質速度）運動，我們的討論可以在b情形的過程上延續(xù)…

f₃ =  f₂ = f 

關于速度方向改變的問題，討論類似a情形。

6、聲波

a、樂音和噪音

b、聲音的三要素：音調、響度和音品

c、聲音的共鳴

第二講 重要模型與專題

一、簡諧運動的證明與周期計算

物理情形：如圖5所示，將一粗細均勻、兩邊開口的U型管固定，其中裝有一定量的水銀，汞柱總長為L 。當水銀受到一個初始的擾動后，開始在管中振動。忽略管壁對汞的阻力，試證明汞柱做簡諧運動，并求其周期。

模型分析：對簡諧運動的證明，只要以汞柱為對象，看它的回復力與位移關系是否滿足定義式①，值得注意的是，回復力系指振動方向上的合力（而非整體合力）。當簡諧運動被證明后，回復力系數k就有了，求周期就是順理成章的事。

本題中，可設汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ，則次瞬時的回復力

ΣF = ρg2xS = x

由于L、m為固定值，可令： = k ，而且ΣF與x的方向相反，故汞柱做簡諧運動。

周期T = 2π= 2π

答：汞柱的周期為2π 。

學生活動：如圖6所示，兩個相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置，繞各自的軸線等角速、反方向地轉動，在滾輪上覆蓋一塊均質的木板。已知兩滾輪軸線的距離為L 、滾輪與木板之間的動摩擦因素為μ、木板的質量為m ，且木板放置時，重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡諧運動，并求木板運動的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在兩滾輪中央處）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0結合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…

答案：木板運動周期為2π 。

鞏固應用：如圖7所示，三根長度均為L = 2.00m地質量均勻直桿，構成一正三角形框架ABC，C點懸掛在一光滑水平軸上，整個框架可繞轉軸轉動。桿AB是一導軌，一電動松鼠可在導軌上運動�，F觀察到松鼠正在導軌上運動，而框架卻靜止不動，試討論松鼠的運動是一種什么樣的運動。

解說：由于框架靜止不動，松鼠在豎直方向必平衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設松鼠的質量為m ，即：

N = mg                            ①

再回到框架，其靜止平衡必滿足框架所受合力矩為零。以C點為轉軸，形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ，它們合力矩為零，即：

M_N = M_f

現考查松鼠在框架上的某個一般位置（如圖7，設它在導軌方向上距C點為x），上式即成：

N·x = f·Lsin60°                 ②

解①②兩式可得：f = x ，且f的方向水平向左。

根據牛頓第三定律，這個力就是松鼠在導軌方向上的合力。如果我們以C在導軌上的投影點為參考點，x就是松鼠的瞬時位移。再考慮到合力與位移的方向因素，松鼠的合力與位移滿足關系——

= －k

其中k =  ，對于這個系統(tǒng)而言，k是固定不變的。

顯然這就是簡諧運動的定義式。

答案：松鼠做簡諧運動。

評說：這是第十三屆物理奧賽預賽試題，問法比較模糊。如果理解為定性求解，以上答案已經足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件，所以做進一步的定量運算也是有必要的。譬如，我們可以求出松鼠的運動周期為：T = 2π = 2π = 2.64s 。

二、典型的簡諧運動

1、彈簧振子

物理情形：如圖8所示，用彈性系數為k的輕質彈簧連著一個質量為m的小球，置于傾角為θ