23、課本小結與復習的參考例題中，給大家分別用“綜合法”，“比較法”和“分析法”證明了不等式：已知a，b，c，d都是實數(shù)，且a²+b²=1，c²+d²=1，則|ac+bd|≤1．這就是著名的柯西（Cauchy．法國）不等式當n=2時的特例，即（ac+bd）²≤（a²+b²）（c²+d²），等號當且僅當ad=bc時成立．
請分別用中文語言和數(shù)學語言簡潔地敘述柯西不等式，并用一種方法加以證明．

（2013•內江二模）在實數(shù)集R中定義一種運算“⊕”，對任意a，b⊕b為唯一確定的實數(shù)且具有性質：
（1）對任意a，b∈R，有a⊕b=b⊕a；
（2）對任意a∈R，有a⊕0=a；
（3）對任意a，b，c∈R，有（a⊕b）⊕c=c⊕（ab）+（a⊕c）+（c⊕b）-2c．
已知函數(shù)f(x)=x⊕

1

x

，則下列命題中：
（1）函數(shù)f（x）的最小值為3；
（2）函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；
（3）函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，-1）、（1，+∞）．
其中正確例題的序號有．

（2003•北京）設y=f（x）是定義在區(qū)間[-1，1]上的函數(shù)，且滿足條件：（i）f（-1）=f（1）=0；（ii）對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|≤|u-v|．
（Ⅰ）證明：對任意的x∈[-1，1]，都有x-1≤f（x）≤1-x；
（Ⅱ）判斷函數(shù)g(x)=

1+x，x∈[-1，0) 1-x，x∈[0，1]

是否滿足題設條件；
（Ⅲ）在區(qū)間[-1，1]上是否存在滿足題設條件的函數(shù)y=f（x），且使得對任意的u，v∈[-1，1]，都有|f（u）-f（v）|=u-v．
若存在，請舉一例：若不存在，請說明理由．

某公司有5萬元資金用于投資項目，如果成功，一年后可獲利22%，一旦失敗，一年后將喪失全部資金的50%，下表是過去200例類似項目開發(fā)的實施結果，則該公司一年后估計可獲得的收益的期望是（元）

投資成功	投資失敗
174次	26次

15、隨著科學技術的不斷發(fā)展，人類通過計算機已找到了630萬位的最大質數(shù)．陳成在學習中發(fā)現(xiàn)由41，43，47，53，61，71，83，97組成的數(shù)列中每一個數(shù)都是質數(shù)，他根據(jù)這列數(shù)的一個通項公式，得出了數(shù)列的后幾項，發(fā)現(xiàn)它們也是質數(shù)．于是他斷言：根據(jù)這個通項公式寫出的數(shù)均為質數(shù)．請你寫出這個通項公式 ，
從這個通項公式舉出一個反例，說明陳成的說法是錯誤的：．