例1設(shè)函數(shù).已知和為的極值點(diǎn)． (Ⅰ)求和的值, (Ⅱ)討論的單調(diào)性, (Ⅲ)設(shè).試比較與的大�。� 解:(Ⅰ)因?yàn)? . 又和為的極值點(diǎn).所以. 因此 解方程組得.． (Ⅱ)因?yàn)?. 所以. 令.解得..． 因?yàn)楫?dāng)時(shí)., 當(dāng)時(shí).． 所以在和上是單調(diào)遞增的, 在和上是單調(diào)遞減的． 可知. 故. 令. 則． 令.得. 因?yàn)闀r(shí).. 所以在上單調(diào)遞減． 故時(shí)., 因?yàn)闀r(shí).. 所以在上單調(diào)遞增． 故時(shí).． 所以對(duì)任意.恒有.又. 因此. 故對(duì)任意.恒有． 說(shuō)明:本題主要考查函數(shù)的極值及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題.另外利用導(dǎo)數(shù)證明不等式也是09年高考不科忽視的考查方向. 例2．已知函數(shù).求導(dǎo)函數(shù).并確定的單調(diào)區(qū)間． 解: ． 令.得． 當(dāng).即時(shí).的變化情況如下表: 0 當(dāng).即時(shí).的變化情況如下表: 0 所以.當(dāng)時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞增. 在上單調(diào)遞減． 當(dāng)時(shí).函數(shù)在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞增.在上單調(diào)遞減． 當(dāng).即時(shí)..所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.在上單調(diào)遞減． 例3．已知函數(shù).其中. (Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為.求函數(shù)的解析式, (Ⅱ)討論函數(shù)的單調(diào)性, (Ⅲ)若對(duì)于任意的.不等式在上恒成立.求的取值范圍. 解:(Ⅰ).由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得.于是． 由切點(diǎn)在直線上可得.解得． 所以函數(shù)的解析式為． (Ⅱ)． 當(dāng)時(shí).顯然()．這時(shí)在.內(nèi)是增函數(shù)． 當(dāng)時(shí).令.解得． 當(dāng)變化時(shí)..的變化情況如下表: + 0 - - 0 + ↗ 極大值 ↘ ↘ 極小值 ↗ 所以在.內(nèi)是增函數(shù).在.(0,)內(nèi)是減函數(shù)． 知.在上的最大值為與中的較大者.對(duì)于任意的.不等式在上恒成立.當(dāng)且僅當(dāng).即.對(duì)任意的成立． 從而得.所以滿足條件的的取值范圍是． 說(shuō)明:本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.解不等式等基礎(chǔ)知識(shí).考查運(yùn)算能力.綜合分析和解決問題的能力． 例4．水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化.現(xiàn)用t表示時(shí)間.以月為單位.年初為起點(diǎn).根據(jù)歷年數(shù)據(jù).某水庫(kù)的蓄水量關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為 V(t)= (Ⅰ)該水庫(kù)的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期.以i-1＜t＜i表示第i月份,問一年內(nèi)哪幾個(gè)月份是枯水期? (Ⅱ)求一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量. 解:(Ⅰ)①當(dāng)0＜t10時(shí).V(t)=(-t2+14t-40) 化簡(jiǎn)得t2-14t+40>0, 解得t＜4.或t＞10.又0＜t10.故0＜t＜4. ②當(dāng)10＜t12時(shí).V(t)＝4(t-10)(3t-41)+50＜50, 化簡(jiǎn)得(t-10)(3t-41)＜0, 解得10＜t＜.又10＜t12,故 10＜t12. 綜合得0<t<4,或10<t12, 故知枯水期為1月.2月. 3月.4月.11月.12月共6個(gè)月. 知:V(t)的最大值只能在內(nèi)達(dá)到. 由V′(t)= 令V′(t)=0,解得t=8. 當(dāng)t變化時(shí).V′(t) 與V (t)的變化情況如下表: t (4,8) 8 V′(t) + 0 - V(t) 極大值 由上表.V(t)在t＝8時(shí)取得最大值V(8)＝8e2+50-108.32. 故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是108.32億立方米 說(shuō)明:本小題主要考查函數(shù).導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí).考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力. 例5．已知函數(shù)(且.)恰有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn).其中一個(gè)是． (Ⅰ)求函數(shù)的另一個(gè)極值點(diǎn), (Ⅱ)求函數(shù)的極大值和極小值.并求時(shí)的取值范圍． 解:(Ⅰ).由題意知. 即得.(*).． 由得. 由韋達(dá)定理知另一個(gè)極值點(diǎn)為(或)． 式得.即． 當(dāng)時(shí).,當(dāng)時(shí).． (i)當(dāng)時(shí).在和內(nèi)是減函數(shù).在內(nèi)是增函數(shù)． . . 由及.解得． (ii)當(dāng)時(shí).在和內(nèi)是增函數(shù).在內(nèi)是減函數(shù)． . 恒成立． 綜上可知.所求的取值范圍為． 例6．求證下列不等式 (1) (2) (3) 證明:(1) ∴ 為上 ∴ 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式 令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 說(shuō)明:利用導(dǎo)數(shù)證明不等式這一部分內(nèi)容不可忽視.它本質(zhì)是還是考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及最值問題. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

（08年山東卷文）（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)，已知和為的極值點(diǎn)．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）討論的單調(diào)性；

（Ⅲ）設(shè)，試比較與的大小．

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