題目列表(包括答案和解析)
一、選擇題(每小題5分,共60分)
1.D 2.A 3.D 4.D 5.A 6.C 7.B 8.B 9.C 10.A 11.C 12.B
二、填空題(每小題5分,共20分)
13.2 14. 15. 16.③④
三、解答題(共70分)
17.(本小題滿分10分)
解:(Ⅰ)由 可得:
又
. --------------------------------5分
(Ⅱ),
. ---------------------------------10分
18.(本小題滿分12分)
解: 設(shè)A隊(duì)得分為2分的事件為,
(Ⅰ)∴. ------------------4分
(Ⅱ)設(shè)A隊(duì)得分不少于2分的事件為M , B隊(duì)得分不多于2分的事件為N,
由(Ⅰ)得A隊(duì)得分為2分的事件為, A隊(duì)得分為3分的事件為,
B隊(duì)得分為3分的事件為,
∴ - ----------------- 9分
. ------------------ 12分
19.(本小題滿分12分)
解法一、
(Ⅰ)連結(jié)交于點(diǎn)O,
∵平面,平面∩平面
∴
又∵是的中點(diǎn)
∴ 是的中點(diǎn). ------------------6分
(Ⅱ)作 ,垂足為,連結(jié)
面
平面
∴是在平面上的射影
∴
∴是二面角的平面角
∵,
在直角三角形中,
,
二面角的大小為. ------------------12分
解法二、
(Ⅰ)建立如圖所示空間坐標(biāo)系
則,
平面的法向量為由
得,
平面 ,
.
所以點(diǎn)是棱的中點(diǎn).
(Ⅱ)平面的法向量,設(shè)平面的法向量為. 則
二面角的大小為.
20.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)由得:,所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為
. ------------------------4分
(Ⅱ)由得:
從而
故數(shù)列是單調(diào)遞增的數(shù)列,又因是中的最小項(xiàng),要使恒成立,
則只需 成立即可,由此解得,由于∈,
故適合條件的的最大值為1. ------------------------12分
21.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ), 是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,
所以函數(shù)圖象的對稱中心即為. -----------------2分
,其圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為
所以函數(shù)圖象的對稱中心與導(dǎo)函數(shù)圖象的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)相同. -----------------4分
(Ⅱ)令得.
當(dāng)變化時(shí),變化情況如下表:
0
0
極大值
極小值
時(shí),有極大值2,
,曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.
直線的方程為 -----------------6分
曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.
直線的方程為
又曲線在點(diǎn)處的切線的斜率.
直線的方程為.
聯(lián)立直線的方程與直線的方程, ,解得,
.-----------------10分
聯(lián)立直線的方程與直線的方程, ,解得,
.
,
所以. -----------------12分
圖象如右:
22.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ)過點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)
依題意得:,
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為是以為焦點(diǎn),直線為準(zhǔn)線的拋物線,
即曲線的方程是 ---------------------4分
(Ⅱ)解法一:設(shè)、、,則
由知,, ∴,
又∵切線AQ的方程為:,注意到
切線AQ的方程可化為:,
由在切線AQ上, ∴
所以點(diǎn)在直線上;
同理,由切線BQ的方程可得:.
所以點(diǎn)在直線上;
可知,直線AB的方程為:,
即直線AB的方程為:,
∴直線AB必過定點(diǎn). ------------------------12分
(Ⅱ)解法二:設(shè),切點(diǎn)的坐標(biāo)為,則
由知,,得切線方程:.
即為:,又∵在切線上,
所以可得:,解之得:.
所以切點(diǎn),
∴.
故直線AB的方程為:
化簡得:
即直線AB的方程為:
∴直線AB必過定點(diǎn).
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