設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}為一等比數(shù)列.且a2=4.a4=16.求. 【查看更多】

 

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設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2=4，a4=16．
（1）求
lim
n→∞
lga1+lga2+…lgan
n2

（2）記bn=2•log2an，證明：對(duì)任意的n∈N*，有
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
＞
n+1
成立．

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（2008•嘉定區(qū)一模）設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意的n∈N*，Sn是an2和an的等差中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）在集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}中，是否存在正整數(shù)m，使得不等式Sn-1005＞
a
2
n
2
對(duì)一切滿足n＞m的正整數(shù)n都成立？若存在，則這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小正整數(shù)m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與數(shù)列{Sn}有關(guān)的數(shù)列{un}，使得
lim
n→∞
(u1+u2+…+un)存在，并求出這個(gè)極限值．

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設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn滿足Sn=(
an+1
2
)2
①先求出a1，a2，a3，a4的值，然后猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明．
②設(shè)bn=
1
anan+1
，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．

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設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)所有自然數(shù)n，有
Sn
=
1+an
2
，則通過(guò)歸納猜測(cè)可得到Sn=
n2
n2
．

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設(shè)正數(shù)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=
1
2
(an+
1
an
)（n∈N+），試求a1、a2、a3，并猜想an，然后用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

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