已知定直線l：x=1和定點M（t，0）（t∈R），動點P到M的距離等于點P到直線l距離的2倍．
（1）求動點P的軌跡方程，并討論它表示什么曲線；
（2）當t=4時，設(shè)點P的軌跡為曲線C，過點M作傾斜角為θ（θ＞0）的直線交曲線C于A、B兩點，直線l與x軸交于點N．若點N恰好落在以線段AB為直徑的圓上，求θ的值．

已知數(shù)列{a_n}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=

t

是函數(shù)f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=2(1-

1

an

)，當t=2時，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）當t=2時，求證：對于任意的正整數(shù)n，有 

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

．

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2t-3（t∈R且t≠±1），an+1=

(2tn+1-3)an+2(t-1)tn-1

an+2tn-1

（n∈N^*）．
（1）當t=2時，求證：{

2n-1

an+1

}是等差數(shù)列；
（2）若t＞0，試比較a_n+1與a_n的大��；
（3）在（2）的條件下，已知函數(shù)f（x）=

x

x2+4

（x＞0），是否存在正整數(shù)t，使得對一切n∈N^*不等式f（a_n+1）＜f（a_n）恒成立？若存在，求出t的最小值；若不存在，請說明理由．