14．已知橢圓上的點(diǎn)與關(guān)于x軸對(duì)稱.且為該橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).則 ▲ . 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)F橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在橢圓E上，以M為圓心的圓與x軸切于點(diǎn)F，與y軸交于A、B兩點(diǎn)，且△ABM是邊長(zhǎng)為2的正三角形；又橢圓E上的P、Q兩點(diǎn)關(guān)于直線l：y=x+n對(duì)稱．
（I）求橢圓E的方程；
（II）當(dāng)直線l過(guò)點(diǎn)（0，
1
5
）時(shí)，求直線PQ的方程；
（III）若點(diǎn)C是直線l上一點(diǎn)，且∠PCQ=
2π
3
，求△PCQ面積的最大值．

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說(shuō)明：

    一、本解答給出了每題要考查的主要知識(shí)和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則。

二、對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后續(xù)部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后續(xù)部分的給分，但不得超過(guò)該部分正確解答所給分?jǐn)?shù)的一半；如果后續(xù)部分的解答存在較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，則不再給分。

三、解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)。

四、每題只給整數(shù)分?jǐn)?shù)，選擇題和填空題不給中間分。

一、選擇題：

題號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

B

C

C

D

A

A

B

C

B

D

二、填空題：

11．40.6,1.1  12． 13． 14．30  15．  16．（1，1），（2，2），（3，4），（4，8）

三、解答題：

  17．（Ⅰ），                         ①            …………………2分

    又， ∴                 ②             ……………… 4分

    由①、②得              …………………………………………………………… 6分

   （Ⅱ）  ……………………………………… 8分

                 …………………………………………………………………… 10分

     …………………………………………………………………………12分

18．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，則，

，

，又，

，∴橢圓的方程為：    …………………………………………7分

（Ⅱ）當(dāng)過(guò)直線的斜率不存在時(shí)，點(diǎn)，則；

     當(dāng)過(guò)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，

設(shè)，由    得：

       …………………………………………10分

 

                                           ……13分

綜合以上情形，得：    ……………………………………………………14分

∴GH∥AD∥EF，∴E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面. ……………………1分

又H為AB中點(diǎn)，∴EH∥PB. 又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB∥平面EFG.                 ………………………………4分

   （Ⅱ）取BC的中點(diǎn)M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，

∴∠EGM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EG與BD所成的角.……6分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，又GM=，………………7分

∴在△MGE中，     ………………8分

故異面直線EG與BD所成的角為arccos，                   ………………………………9分

又AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB. ……………………………………10分

又∵E，F(xiàn)分別是PA，PD中點(diǎn)，∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB.   

又EF面EFQ，∴面EFQ⊥面PAB. ………………………………11分

過(guò)A作AT⊥ER于T，則AT⊥平面EFQ，

∴AT就是點(diǎn)A到平面EFQ的距離. ………………………………12分

設(shè)，則

    在，            …………………………13分

     解得 故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ=時(shí)，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8. ……………………… 14分

解法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）， 


   

    
    

    
   （Ⅰ） …………1分
    設(shè)，  即，
    
              ……………3分
    ，∴PB∥平面EFG. ………………………………………………………… 4分
   （Ⅱ）∵,             
…………………………………………5分
    ，           
……………………… 8分
故異面直線EG與BD所成的角為arcos.           
……………………………………
9分
   （Ⅲ）假設(shè)線段CD上存在一點(diǎn)Q滿足題設(shè)條件，令
    ∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（2－m，2，0）， ……………………………………10分
    而， 設(shè)平面EFQ的法向量為，則
     
    令，             ……………………………………………………12分
    又， ∴點(diǎn)A到平面EFQ的距離，……13分
    即，不合題意，舍去.
    故存在點(diǎn)Q，當(dāng)CQ=時(shí)，點(diǎn)A到平面EFQ的距離為0.8.          
……………………14分
20． (Ⅰ)，         
………………2分
當(dāng)時(shí)，，        …………4分
  
（Ⅱ）是單調(diào)增函數(shù)；   ………………6分
由是單調(diào)減函數(shù)；      ………………8分
  
（Ⅲ）是偶函數(shù)，對(duì)任意都有成立
*  對(duì)任意都有成立
1°由（Ⅱ）知當(dāng)或時(shí)，是定義域上的單調(diào)函數(shù)，
對(duì)任意都有成立
時(shí)，對(duì)任意都有成立                  
…………10分
2°當(dāng)時(shí)，，由
上是單調(diào)增函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，∴對(duì)任意都有
時(shí)，對(duì)任意都有成立              
………………12分
綜上可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有成立          
.……14分
21、（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{}的公差是，則，解得
所以               
……………………………………2分
由=－1＜0
得適合條件①；又，所以當(dāng)=4或5時(shí)，取得最大值20，即≤20，適合條件②。綜上所述， …………………………………………4分
（Ⅱ）因?yàn)?sub>，所以當(dāng)n≥3時(shí)，，此時(shí)數(shù)列單調(diào)遞減；當(dāng)=1，2時(shí)，，即
因此數(shù)列中的最大項(xiàng)是，所以≥7………………………………………………………8分
（Ⅲ）假設(shè)存在正整數(shù)，使得成立，
由數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，可得               
……………10分
因?yàn)?sub>                
……11分
由 
            …13分
因?yàn)?sub>
依次類推，可得           
……………………………………………15分
又存在，使，總有，故有，這與數(shù)列（）的各項(xiàng)均為正整數(shù)矛盾！
所以假設(shè)不成立，即對(duì)于任意,都有成立.           ………………………16分
 
		

	
	

		



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