題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù)。
(1)求函數(shù)的最小正周期和最大值;
(2)求函數(shù)的增區(qū)間;
(3)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?
【解析】本試題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的運(yùn)用。第一問(wèn)中,利用可知函數(shù)的周期為,最大值為。
第二問(wèn)中,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同。故當(dāng),解得x的范圍即為所求的區(qū)間。
第三問(wèn)中,利用圖像將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 (縱坐標(biāo)不變),然后把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),再向上平移1個(gè)單位即可。
解:(1)函數(shù)的最小正周期為,最大值為。
(2)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間相同。
即
所求的增區(qū)間為,
即
所求的減區(qū)間為,。
(3)將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 (縱坐標(biāo)不變),然后把縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),再向上平移1個(gè)單位即可。
汕頭二中擬建一座長(zhǎng)米,寬米的長(zhǎng)方形體育館.按照建筑要求,每隔米(,為正常數(shù))需打建一個(gè)樁位,每個(gè)樁位需花費(fèi)萬(wàn)元(樁位視為一點(diǎn)且打在長(zhǎng)方形的邊上),樁位之間的米墻面需花萬(wàn)元,在不計(jì)地板和天花板的情況下,當(dāng)為何值時(shí),所需總費(fèi)用最少?
【解析】本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。先求需打個(gè)樁位.再求解墻面所需費(fèi)用為:,最后表示總費(fèi)用,利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性,求解最值。
解:由題意可知,需打個(gè)樁位. …………………2分
墻面所需費(fèi)用為:,……4分
∴所需總費(fèi)用()…7分
令,則
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.
∴當(dāng)時(shí),取極小值為.而在內(nèi)極值點(diǎn)唯一,所以.∴當(dāng)時(shí),(萬(wàn)元),即每隔3米打建一個(gè)樁位時(shí),所需總費(fèi)用最小為1170萬(wàn)元.
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