由TCD.CD平面PCD得T平面PCD. 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

(Ⅰ)證明PC⊥AD;

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;

(Ⅲ)設(shè)E為棱PA上的點,滿足異面直線BE與CD所成的角為30°,求AE的長.

 

【解析】解法一:如圖,以點A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,依題意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0), ,P(0,0,2).

(1)證明:易得,于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量,

,即.不防設(shè),可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

(3)設(shè)點E的坐標(biāo)為(0,0,h),其中,由此得.

,故 

所以,,解得,即.

解法二:(1)證明:由,可得,又由,,故.又,所以.

(2)如圖,作于點H,連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中,,由此得由(1)知,故在中,

因此所以二面角的正弦值為.

(3)如圖,因為,故過點B作CD的平行線必與線段AD相交,設(shè)交點為F,連接BE,EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD,故.在中,

中,由,,

可得.由余弦定理,,

所以.

 

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如圖,在底面是正方形的四棱錐P—ABCD中,平面PCD⊥平面ABCD,PC=PD=CD=2.

(I)求證:PD⊥BC;

(II)求二面角B—PD—C的正切值。

【解析】第一問利用∵平面PCD⊥平面ABCD,又∵平面PCD∩平面ABCD=CD,

BC在平面ABCD內(nèi) ,BC⊥CD,∴BC⊥平面PCD.

∴PD⊥BC.

第二問中解:取PD的中點E,連接CE、BE,

為正三角形,

由(I)知BC⊥平面PCD,∴CE是BE在平面PCD內(nèi)的射影,

∴BE⊥PD.∴∠CEB為二面角B—PD—C的平面角,進(jìn)而求解。

 

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(本小題滿分14分)

如圖,四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,四邊形ABCD中,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=

(I)求證:平面PAB⊥平面PAD;

(II)設(shè)AB=AP.

       (i)若直線PB與平面PCD所成的角為,求線段AB的長;

       (ii)在線段AD上是否存在一個點G,使得點G到點P,B,C,D的距離都相等?說明理

由。

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已知四棱錐的底面為直角梯形,,底面,且,的中點。

(1)證明:面;

(2)求所成的角;

(3)求面與面所成二面角的余弦值.

【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì),證明CD⊥平面PAD.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出向量的坐標(biāo),然后由向量的夾角公式求得余弦值,從而得所成角的大小.

(3)分別求出平面的法向量和面的一個法向量,然后求出兩法向量的夾角即可.

 

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精英家教網(wǎng)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PD⊥底面ABCD,M、N分別為PA、BC的中點,且PD=
2
,CD=1
(1)求證:MN∥平面PCD;
(2)求證:平面PAC⊥平面PBD;
(3)求三棱錐P-ABC的體積.

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