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漢諾塔問題是指有三根桿子和套在一根桿子上的若干大小不等的碟片，按下列規(guī)則，把碟片從一根桿子上全部移到另一根桿子上：（1）每次只能移動(dòng)1個(gè)碟片；（2）較大的碟片不能放在較小的碟片上面．
如圖所示，將B桿上所有碟片移到A桿上，C桿可以作為過渡桿使用，稱將碟片從一根桿子移動(dòng)到另一根桿子為移動(dòng)一次，記將B桿子上的n個(gè)碟片移動(dòng)到A桿上最少需要移動(dòng)a_n次．
（1）寫出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)bn=

1

an+1

+

1

anan+1

，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明

2

3

≤Sn＜1．

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如圖有三根針和套在一根針上的n（n∈N^*）個(gè)金屬片．按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上． 
1．每次只能移動(dòng)1個(gè)金屬片；                      
2．較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面．
現(xiàn)用a_n表示把n個(gè)金屬片從中間的針移到右邊的針上所至少需要移動(dòng)的次數(shù)，請(qǐng)回答下列問題：
（1）寫出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）記b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj（i，j∈N^*）；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的積b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和．例：

1≤i≤j≤2

b_ib_j=

b

2 1

+b₁b₂+

b

2 2

=

1

2

[（b₁+b₂）²+（

b

2 1

+

b

2 2

）]
（3）證明：

1

7

≤

S1

S2

+

S1S3

S2S4

+…+

S1S3…S2n-1

S2S4…S2n

＜

4

21

（n∈N^*）

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如圖所示，在1號(hào)管上套著大小不同（從大到�。┑膎個(gè)鐵環(huán)，按下列規(guī)則：①每次移動(dòng)一個(gè)鐵環(huán)；②較大的鐵環(huán)不能放在較小鐵環(huán)的上面．將鐵環(huán)全部套到3號(hào)管上，最少需要移動(dòng)的次數(shù)設(shè)為a_n，猜想a_n 的表達(dá)式，并加以證明．

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1．（共12 分）解：（I），，

= ?

                                     2分

                                                 4分

= .                                                     5分

又                               6分             

函數(shù)的最大值為.                                             7分

當(dāng)且僅當(dāng)（Z）時(shí)，函數(shù)取得最大值為.

（II）由（Z），                          9分

得  （Z）.                                   11分

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[](Z).                     12

2．解：(Ⅰ) 選手甲答道題進(jìn)入決賽的概率為；    ……………1分

選手甲答道題進(jìn)入決賽的概率為；…………………………3分

選手甲答5道題進(jìn)入決賽的概率為；   …………………5分

∴選手甲可進(jìn)入決賽的概率++．        …………………7分

   (Ⅱ)依題意，的可能取值為．則有，               

，       

， …………………………10分

因此，有

ξ

3

4

5

P

．          ……………………………12分

3．（共12分）解法一：

解：（Ⅰ）且平面.-------------2分                 

為在平面內(nèi)的射影.         --------3分                                            

又⊥, ∴⊥.            ----------4分

（Ⅱ） 由（Ⅰ）⊥，又⊥，

∴為所求二面角的平面角.         -------6分

又∵==4,

∴=4 .  ∵=2 , ∴=60°. -------8分

即二面角大小為60°.

（Ⅲ）過作于D，連結(jié),            

由（Ⅱ）得平面平面,又平面,

∴平面平面,且平面平面,

∴平面.

∴為在平面內(nèi)的射影.

. --------10分

在中，，

在中，，.

∴ =.                       ------------11分                       

所以直線與平面所成角的大小為.         ----12分               

解法二：解：（Ⅰ）由已知，

以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.                             

則 ,.            -------2分  

則，.

.     

.       ----------------4分

   （Ⅱ），平面.

是平面的法向量. -------5分

設(shè)側(cè)面的法向量為,

,.

,

      .令則.

則得平面的一個(gè)法向量.               ---------6分

.       

即二面角大小為60°.     ----------8分

（Ⅲ）由（II）可知是平面的一個(gè)法向量.     --------10分

又， .   -----11分                    

所以直線與平面所成角為           ---------12分

4．解：（I）函數(shù)

    當(dāng)  …………2分

    當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下：

―

0

+

極小值

    由上表可知，函數(shù)；

    單調(diào)遞增區(qū)間是

    極小值是         …………6分

   （II）由      …………7分

    又函數(shù)為[1，4]上單調(diào)減函數(shù)，

    則在[1，4]上恒成立，所以不等式在[1，4]上恒成立.

    即在[1，4]上恒成立.            …………10分

    又在[1，4]為減函數(shù)，

    所以

    所以                   …………12分

5．解：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、 ，         ……2分

又，  ,      ………3分

解得，                   

橢圓的方程為 ．                       ………4分

   （Ⅱ）由，得．

設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則……5分

．

   （1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則．

   （2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，

由，得       即

點(diǎn)在橢圓上，有，

化簡(jiǎn)，得．

，有．………………①         ……………7分

又，

由，得．……………………………②　　 　

將①、②兩式，得．

，，則且．

綜合（1）、（2）兩種情況，得實(shí)數(shù)的取值范圍是． ………………8分

（Ⅲ），點(diǎn)到直線的距離，

的面積

                ．           ………………………… 10分

由①有，代入上式并化簡(jiǎn)，得．

，．                    ……………………… 11分

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．

當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為． ……………………… 12分

6．解：（1）

……………………4分

（2）的對(duì)稱軸垂直于x軸，且頂點(diǎn)為P_n，

∴設(shè)的方程為

把，

∴的方程為

∵……………………6分

∴

∴

=…………………………8分

（3）

∴S中最大數(shù)a₁=－17.…………………………10分

設(shè)公差為d，則a₁₀=

由此得

又∵∴∴

∴……………………12分

本資料來源于《七彩教育網(wǎng)》http://www.7caiedu.cn

2009屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)（26）：函數(shù)與方程的思想方法

《2009年新課標(biāo)考試大綱》明確指出“數(shù)學(xué)知識(shí)是指《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中所規(guī)定的必修課程、選修課程系列2和系列4中的數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學(xué)思想方法”。其中數(shù)學(xué)思想方法包括： 函數(shù)與方程的思想方法、 數(shù)形結(jié)合的思想方法 、 分類整合的思想方法、 特殊與一般的思想方法、 轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法、 必然與或然的思想方法。數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)的規(guī)律性的理性認(rèn)識(shí)。高考通過對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，能夠最有效地檢測(cè)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，能夠最有效地反映出學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的銜接、綜合和滲透的能力。《考試大綱》對(duì)數(shù)學(xué)考查的要求是“數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，要善于從本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)試卷的框架結(jié)構(gòu)” 。而數(shù)學(xué)思想方法起著重要橋梁連接和支稱作用，“對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象和概括的考查，考查時(shí)必須要與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合，通過數(shù)學(xué)知識(shí)的考查，反映考生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度” �！� 數(shù)學(xué)科的命題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，注重對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的考查，注重對(duì)數(shù)學(xué)能力的考查，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值，同時(shí)兼顧試題的基礎(chǔ)性、綜合性和現(xiàn)實(shí)性，重視試題間的層次性，合理調(diào)控綜合程度，堅(jiān)持多角度、多層次的考查，努力實(shí)現(xiàn)全面考查綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)的要求。” 數(shù)學(xué)的思想方法滲透到數(shù)學(xué)的各個(gè)角落，無處不在，有些題目還要考查多個(gè)數(shù)學(xué)思想。在高考復(fù)習(xí)時(shí)，要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想在提高解題能力的重要性，在復(fù)習(xí)中要有意識(shí)地滲透這些數(shù)學(xué)思想，提升數(shù)學(xué)思想。

一、函數(shù)與方程的思想

所謂函數(shù)的思想，就是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)、集合對(duì)應(yīng)的思想，去分析和研究數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運(yùn)用函數(shù)的圖像和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是要善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)去觀察分析處理問題。

所謂方程的思想就是分析數(shù)學(xué)問題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過解方程（組），或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析轉(zhuǎn)化問題使問題獲得解決，方程思想是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是利用方程或方程觀點(diǎn)觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉(zhuǎn)化的。

函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學(xué)思想，它貫穿于整個(gè)高中教學(xué)中，中學(xué)數(shù)學(xué)中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結(jié)為函數(shù)，尤其是導(dǎo)數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中注重函數(shù)與方程的思想是相當(dāng)重要的．在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點(diǎn)來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運(yùn)算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)的交匯處，從思想方法與相關(guān)能力相綜合的角度進(jìn)行深入考查。

1、利用函數(shù)與方程的性質(zhì)解題

例1．（2008安徽卷，理,11）若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù)，且滿足，則有（    ）

A．                 B．

C．