(Ⅲ) 若=是閉函數(shù).求實數(shù)的取值范圍 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

函數(shù)，其圖象在處的切線方程為．

（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；

（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

 

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函數(shù)，其圖象在處的切線方程為．
（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；
（Ⅱ）若函數(shù)的圖象與的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由．

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函數(shù)f（x）=ax3-6ax2+3bx+b，其圖象在x=2處的切線方程為3x+y-11=0。
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與y=f′（x）+5x+m的圖象有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在點P，使得過點P的直線若能與曲線y=f（x）圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積相等？若存在，求出P點的坐標；若不存在，說明理由。

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對于函數(shù)y=f（x），x∈D，若同時滿足以下條件：
①函數(shù)f（x）是D上的單調(diào)函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則稱函數(shù)f（x）是閉函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f(x)=2x+
4
x
，x∈[1，10]；g（x）=-x3，x∈R是不是閉函數(shù)，并說明理由；
（2）若函數(shù)f(x)=
x+2
+k，x∈[-2，+∞）是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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對于函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①函數(shù)y=f（x）在定義域D內(nèi)是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù)；
②存在區(qū)間[a，b]⊆3D，使函數(shù)f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則稱f（x）是D上的閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)f（x）=-x3符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)g（x）=
3
4
x+
1
x
，在區(qū)間（0，+∞）上是否為閉函數(shù)；
（3）若函數(shù)φ（x）=k+
x+2
是閉函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍．

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一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為 ，               ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：4x2+20ax-29a2=0，           ………………………   6分

又，由得：

12=，                         ………………………  9分

解得a2=1，則b2=3，所以為所求�！�  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（-∞0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

參考答案

一．選擇題：

1．B  2．D  2．B  3．C   4．C　5． A  6．C   7．B  8．A  9．D  10．D

 

二．填空題：

11．a+b  12．{x|x>2, 或0<x<1} 13．4，或－1  14． 15．120º   16．②④

三．解答題：

17．由題設，得，，，雙曲線為，  …… 2分

直線AB的方程為，                   ………………………  4分

代入到雙曲線方程得：，       ………………………   6分

又，由得：

，                         ………………………  9分

解得，則，所以為所求�！�  12分

18．解：（Ⅰ）由題設可得 f '(x)=3x2+2ax+b，           ………………………  2分

   ∵ f '(x)的圖像過點（0，0），（2，0）

∴                              ………………………  5分

解之得：a=－3，b=0                             ………………………  7分

（Ⅱ）由f '(x)=3x2－6x＞0，得x＞2，或x＜0；      ………………………  9分

∴ 當在（－∞，0）上,在(0,2)上,在上,

故在（－∞，0）,上遞增,在(0,2)上遞減,      

因此在x=2處取得極小值,所以x0=2，            ………………………  12分

由f (2)=－5，得c=－1，

∴f（x）=x3－3x2－1                               ………………………  14分

19．：解法一：

 (Ⅰ) 過P作MN∥B1C1，分別交A1B1、D1C1于M、N，則M、N A1B1、D1C1的中點，連MB，NC由四邊形BCNM是平行四邊形，             ………………………  2分

∵E、M分別為AB、A1B1中點，∴A1E∥MB

又MB平面PBC，∴A1E∥平面PBC。               ………………………  4分

(Ⅱ)  過A作AF⊥MB，垂足為F，連PF，

∵BC⊥平面ABB1A1，AF平面ABB1A1，

∴AF⊥BC， BC∩MB=B，∴AF⊥平面PBC，

∴∠APF就是直線AP與平面PBC所成的角，  ………… 6分

設AA1=a，則AB=a，AF=，AP=，sin∠APF=

所以，直線AP與平面PBC所成的角是arcsin。             ………… 9分

（Ⅲ）連OP、OB、OC，則OP⊥BC，由三垂線定理易得OB⊥PC，OC⊥PB，所以O在平面PBC中的射影是△PBC的垂心，又O在平面PBC中的射影是△PBC的重心，則△PBC為正三角形。即PB=PC=BC                                 ………… 12分

所以k=。

反之，當k=時，PA=AB=PB=PC=BC，所以三棱錐為正三棱錐，

∴O在平面PBC內(nèi)的射影為的重心                     ………… 14分

解法二：（建立空間坐標系）

 

 

 

 

 

 

20．解  (Ⅰ)由=3在[a ，b]上為減函數(shù)，

   得   可得a = ?1 ， b = 1 ，∴ 所求區(qū)間是[?1，1]．  ………… 5分

 

    (Ⅱ)取1 = 1 ， 2 = 10，可得()不是減函數(shù)；取1 =，可得()在(0 ， +∞)不是增函數(shù)，所以()不是閉函數(shù)．         ………… 10分

(Ⅲ)設函數(shù)符合條件②的區(qū)間為[a ，b]，則

故a ， b是方程=的兩個實根，命題等價于

有兩個不等實根．            ………… 13分

當k時，解得：，∴ ；

當時，這時無解．

所以 k的取值范圍是．                          ………… 16分

 

 

21．解：(Ⅰ)由f(x)=x3+ax2+bx+c關于點(1,1)成中心對稱，所以

        x3+ax2+bx+c+(2－x)3+a(2－x)2+b(2－x)+c=2               ………… 3分

對一切實數(shù)x恒成立．得：a=－3，b+c=3，

對由f '(1)=0，得b=3，c=0，

故所求的表達式為：f(x)= x3－3x2+3x．                      ………… 7分

(Ⅱ) an+1=f (an)= an 3－3 an 2+3 an    (1)

令bn=an－1，0<bn<1，由代入(1)得：bn+1=，bn=，………… 10分

∴ 1＞bn ＞bn+1 ＞0

    (a1－a2)?(a3－1)+(a2－a3)?(a4－1)+…+(an－an+1)?(an+2－1)=

＜=b1-bn+1＜b1＜1。                    ………… 14分

 （本題證法較多，其它證明方法得分可參照以上評分標準分步給分）

 

 

 


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