題目列表(包括答案和解析)
（本小題滿分12分）如圖，在三棱錐P－ABC中，
，
，點(diǎn)
分別是AC、PC的中點(diǎn)，
底面ABC．
（1）求證：
平面
；
（2）當(dāng)
時(shí)，求直線
與平面
所成的角的大�。�
（3）當(dāng)
取何值時(shí)，
在平面內(nèi)的射影恰好為
的重心？
|
（本小題滿分12分）
如圖甲，直角梯形ABCD中，AB∥CD，，點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，且MN⊥AB，MC⊥CB，BC＝2，MB＝4，現(xiàn)將梯形ABCD沿MN折起，使平面AMND與平面MNCB垂直（如圖乙）
（1）求證：AB∥平面DNC；
（2）當(dāng)DN的長(zhǎng)為何值時(shí)，二面角D－BC－N的大小為
？
（本小題滿分12分）
如圖，在斜邊為AB的Rt△ABC，過(guò)A作PA⊥平面ABC，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F．
(1)求證：BC⊥平面PAC．
(2)求證：PB⊥平面AEF．
(3)若AP=AB=2，試用tgθ(∠BPC=θ)表示△AEF的面積、當(dāng)tgθ取何值時(shí)，△AEF的面積最大？最大面積是多少？
（本小題滿分12分）
已知直線l：y=x，圓C1的圓心為（3，0），且經(jīng)過(guò)（4，1）點(diǎn).
（1）求圓C1的方程；
（2）若圓C2與圓C1關(guān)于直線l對(duì)稱，點(diǎn)A、B分別為圓C1、C2上任意一點(diǎn)，求|AB|的最小值；
（3）已知直線l上一點(diǎn)M在第一象限，兩質(zhì)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒
個(gè)單位沿射線OM方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.問(wèn)：當(dāng)t為何值時(shí)直線PQ與圓C1相切？
（本小題滿分12分）如圖，定點(diǎn)
的坐標(biāo)分別為
，一質(zhì)點(diǎn)
從原點(diǎn)出發(fā)，始終沿
軸的正方向運(yùn)動(dòng)，已知第1分鐘內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了1個(gè)單位，之后每分鐘內(nèi)比上一分鐘內(nèi)多運(yùn)動(dòng)了2個(gè)單位，記第
分鐘內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了
個(gè)單位，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置為
．
（Ⅰ）求、
的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)為何值時(shí)，
取得最大，最大值為多少？
一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．答案：A
解：依題意可知：由
顯然：
但
不能推出
。
故選A ；
2．答案：D
解：依題意可知：設(shè)點(diǎn)
，則在點(diǎn)P處的切線的斜率為
，即
，又
故選D ；
3．答案：C
解：依題意可知：由
是奇函數(shù)，
故選C ；
4．答案：A
解：依題意可知：由
故選A；
5．答案：C
解：如圖：函數(shù)
是周期函數(shù)，T=1。
故選C；
6．答案：A
解：依題意可知：由
，
，
又
。
故選A ；
7．答案：B
解：依題意可知：由圖可知：
。
8．答案：A
解：依題意可知：如圖，
，
則在
中，
；
則在
中，
；
則在
中，
；
故選A ；
9．答案：D
解：依題意可知：因
表示與
同方向的單位向量，
表示與
同方向的單位向量，故
，而
，
又（+）
，說(shuō)明
向量與
向量垂直，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知：向量所在直線 過(guò)向量所在線段中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可逆推
為等腰三角形。又與夾角為
，故為等邊三角形。
故選D ；
10．答案：A
解：設(shè)
，在
上，
，
，
，排除D；在
上，
，
，，排除B與C；故選A。
11．答案：B
解法一：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
條直線；
條直線組成
對(duì)直線；正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
個(gè)面，其中12個(gè)四點(diǎn)面（6個(gè)表面，4個(gè)面對(duì)角面，2個(gè)體對(duì)角面），8個(gè)三點(diǎn)面；每個(gè)四點(diǎn)面上有
條直線，6條直線組成
對(duì)直線，12個(gè)四點(diǎn)面由12×15=180對(duì)直線組成；每個(gè)三點(diǎn)面上有
條直線，3條直線組成對(duì)直線，8個(gè)三點(diǎn)面由8×3=24對(duì)直線組成；由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
解法二：正方體的八個(gè)頂點(diǎn)可確定
個(gè)四面體，每個(gè)四面體中有三對(duì)異面直線，由正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)所確定的所有直線中，取出兩條，這兩條直線是異面直線的概率為
；
12．答案：A
解：①正確；①中依題意可令
，
當(dāng)
時(shí)，
在
上為減函數(shù)，
又因
在區(qū)間
為減函數(shù)，故
；
②錯(cuò)誤；②中
當(dāng)
當(dāng)
③錯(cuò)誤；③中當(dāng)
時(shí)，
④正確；
圓的對(duì)稱軸為直徑所在的直線，故原命題正確。
故答案為：A。
二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在橫線上。
13．答案：
解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為
，則
直線PQ的方程為：
即
，
Q點(diǎn)的坐標(biāo)為
，R點(diǎn)的坐標(biāo)為
，
故答案為：；
14．答案：
解：依題意可知：正四棱錐S―ABCD的底面正方形ABCD在過(guò)球心O的大圓上，設(shè)球半徑為R，AC=2R=
，
；
設(shè)球心O到側(cè)面SAB的距離為
，連接
，
，過(guò)
作
于
，
連接SM，則
，
，
又
4
。
故答案為：；
15．答案：10
解：依題意可知：由
令
，故
的系數(shù)為
。
故答案為：10 ；
16．答案：③
解：依題意可知：①錯(cuò)，因在
上，
為減函數(shù)，而在
上，
為增函數(shù)。
②錯(cuò)，因在
上，為增函數(shù)，而在
上，為減函數(shù)。
③正確。因在
上，為增函數(shù)。
④錯(cuò)，因在
上，為增函數(shù)，而在
上，為減函數(shù)，故
時(shí)，函數(shù)有極大值。
⑤錯(cuò)，因在上，為增函數(shù)，故
時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極大值。
故答案為：③；
三、解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
（17）解：
，設(shè)
中有
個(gè)元素，顯然有
，其中最大的一個(gè)是
，由于是正整數(shù)集合，故
且
；
當(dāng)
時(shí)，
，此時(shí)不符合題意；
當(dāng)
時(shí)，
或
或，顯然只有符合題意；
當(dāng)
時(shí)，設(shè)
其中
，
此時(shí)令
，
若
，則
，
不符合題意；
若
，由于是正整數(shù)集合，故
，
故時(shí)不符合題意；
綜上所述。
（18）解：令
故當(dāng)
（19）。答：與平面
垂直的直線條數(shù)有1條為
；
證法一：依題意由圖可知：連
，
連
，
；
證法二：依題意由圖建立空間直角坐標(biāo)系：
，
設(shè)與
垂直的法向量為
，則有：
，而
，故
。
（20）解：設(shè)S為勞動(dòng)村全體農(nóng)民的集合，
為
季度勞動(dòng)村在外打工的農(nóng)民的集合，則
為季度勞動(dòng)村沒(méi)有在外打工的農(nóng)民的集合，由題意有
所以
勞動(dòng)村的農(nóng)民全年在外打工為
，則
，
但
，
所以
，
即
。
故勞動(dòng)村至少有
的農(nóng)民全年在外打工。
（21）解：①作圖進(jìn)行受力分析，如下圖示；
由向量的平行四邊形法則，力的平衡及解直角三角形等知識(shí)，得出：
② ∵
，∴
故
在上為減函數(shù)，
∴當(dāng)逐漸增大時(shí)，
也逐漸增大。
③要最小，則為最大，∴當(dāng)為
時(shí)，最小，最小值是
。
④要
，則
，∴當(dāng)為
時(shí)，。
（22）解：（Ⅰ）C的焦點(diǎn)為F（1，0），直線l的斜率為1，所以l的方程為
將
代入方程
，并整理得 
設(shè)
則有 
所以
夾角的大小為
（Ⅱ）由題設(shè)
得 
|
， ∵ 
∴
③
，依題意有
又F（1，0），得直線l方程為
時(shí)，l在方程y軸上的截距為
可知
在[4，9]上是遞減的，
