（2012•鹽城一模）[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，⊙O的半徑OB垂直于直徑AC，D為AO上一點(diǎn)，BD的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)E點(diǎn)的圓的切線(xiàn)交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于P．
求證：PD²=PA•PC．

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若數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，b₁=b，

an=-2an-1+4bn-1 bn=-5an-1+7bn-1

，（n∈N，n≥2）．請(qǐng)按照要求完成下列各題，并將答案填在答題紙的指定位置上．
（1）可考慮利用算法來(lái)求a_m，b_m的值，其中m為給定的數(shù)據(jù)（m≥2，m∈N）．右圖算法中，虛線(xiàn)框中所缺的流程，可以為下面A、B、C、D中的

ACD

ACD

（請(qǐng)?zhí)畛鋈�部答案�?BR>A、B、
C、D、

（2）我們可證明當(dāng)a≠b，5a≠4b時(shí)，{a_n-b_n}及{5a_n-4b_n}均為等比數(shù)列，請(qǐng)按答紙題要求，完成一個(gè)問(wèn)題證明，并填空．
證明：{a_n-b_n}是等比數(shù)列，過(guò)程如下：a_n-b_n=（-2a_n-1+4b_n-1）+（5a_n-1-7b_n-1）=3a_n-1-3b_n-1=3（a_n-1-b_n-1）
所以{a_n-b_n}是以a₁-b₁=a-b≠0為首項(xiàng)，以

3

3

為公比的等比數(shù)列；
同理{5a_n-4b_n}是以5a₁-4b₁=5a-4b≠0為首項(xiàng)，以

2

2

為公比的等比數(shù)列
（3）若將a_n，b_n寫(xiě)成列向量形式，則存在矩陣A，使

an bn

=A

an-1 bn-1

=A(A

an-2 bn-2

)=A2

an-2 bn-2

=…=An-1

a1 b1

，請(qǐng)回答下面問(wèn)題：
①寫(xiě)出矩陣A=

-2 4 -5 7

-2 4 -5 7

；  ②若矩陣B_n=A+A²+A³+…+Aⁿ，矩陣C_n=PB_nQ，其中矩陣C_n只有一個(gè)元素，且該元素為B_n中所有元素的和，請(qǐng)寫(xiě)出滿(mǎn)足要求的一組P，Q：

P=

1   1

，Q=

1 1

P=

1   1

，Q=

1 1

； ③矩陣C_n中的唯一元素是

2ⁿ⁺²-4

2ⁿ⁺²-4

．
計(jì)算過(guò)程如下：

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線(xiàn)C：xy=1在矩陣

2 2 - 2 2 2 2 2 2

對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線(xiàn)C₁：

x=3cosθ y=2sinθ

（θ為參數(shù)）和曲線(xiàn)C₂：ρsin（θ-

π

4

）=

2

．
（1）將兩曲線(xiàn)方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜

c

4

，|y-b|＜

c

6

，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點(diǎn)，BC=4，過(guò)C作圓的切線(xiàn)l，過(guò)A作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)AD，D為垂足，AD與圓O交于點(diǎn)E，求線(xiàn)段AE的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ₁=3及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α1=

1 1

，特征值λ₂=-1及其對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量α2=

1 -1

，求矩陣A的逆矩陣A^-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度），已知點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點(diǎn)B的極坐標(biāo)為(4，

π

2

)，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A且傾斜角為

π

4

，圓C以點(diǎn)B為圓心，4為半徑，試求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=

a2+b2

，y=

c2+d2

．求證：xy≥

(ac+bd)(ad+bc)

．

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[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計(jì)20分．請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
過(guò)圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線(xiàn)和割線(xiàn)交圓于A，B，且PB=7，∠ABP=∠ABC，C是圓上一點(diǎn)使得BC=5，求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
求曲線(xiàn)C：xy=1在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)C′的方程．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
已知曲線(xiàn)C₁：（θ為參數(shù)）和曲線(xiàn)C₂：ρsin（θ-）=．
（1）將兩曲線(xiàn)方程分別化成普通方程；
（2）求兩曲線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)．
D．（選修4-5：不等式選講）
已知|x-a|＜，|y-b|＜，求證：|2x-3y-2a+3b|＜c．

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一、

1．C       2．A      3．D      4．C       5．A      6．B       7．A      8．C       9．D      10．C

11．D     12．B

1～5略

6．或．

7．解：

       ．

其展開(kāi)式中含的項(xiàng)是：，系數(shù)等于．

8．解：根據(jù)題意：．

9．解：，橢圓離心率為，，．

10．解：依腰意作出圖形．取中點(diǎn)，連接、，則，不妨設(shè)四面體棱長(zhǎng)為2，則是等腰三角形，必是銳角，就是與所成的角，．

11．解：已知兩腰所在直線(xiàn)斜率為1，，設(shè)底邊所在直線(xiàn)斜率為，已知底角相等，由到角公式得：

       ，解得或．

       由于等腰三角底邊過(guò)點(diǎn)（，0）則只能取．

12．解：如圖，正四面體中，是

中心，連，此四面體內(nèi)切球與外接球具有共同球心．必在上，并且等于內(nèi)切球半徑，等于外接球半徑．記面積為，則

，從而．

二、

13．．解：，與共線(xiàn)．

14．．解：，曲線(xiàn)在（1，0）處的切線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，則，的傾角是．

15．曲線(xiàn)      ①，化作標(biāo)準(zhǔn)形式為，表示橢圓，由于對(duì)稱(chēng)性．取焦點(diǎn)，過(guò)且傾角是135°的弦所在直線(xiàn)方程為：，即②，聯(lián)立式①與式②．消去y，得：，由弦長(zhǎng)公式得：．

16．充要條件①：底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影恰是底面的中心．

充要條件②：底面是正三角形．且三條側(cè)棱長(zhǎng)相等，

充要條件③：底面是正三角形，且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等．

再如：底面是正三角形．且三條側(cè)棱與底面所成角相等；三條側(cè)棱長(zhǎng)相等，且三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等；三個(gè)側(cè)面與底面所成角相等，三個(gè)側(cè)面兩兩所成二面角相等．

三、

17．解：，則，，．由正弦定理得

       ，

       ．

18．（1）證：已知是正三棱柱，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連，，則、、兩兩垂直，以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，又已知，

則．

，，則，又因與相交，故面．

（2）解：由（1）知，是面的一個(gè)法向量．

，設(shè)是面的一個(gè)法向量，則①，②，取，聯(lián)立式①、②解得，則．

              二面角是銳二面角，記其大小為．則

              ，

二面角的大小，亦可用傳統(tǒng)方法解（略）．

19．解：已知各投保學(xué)生是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立，且每個(gè)投保學(xué)生在一年內(nèi)出險(xiǎn)的概率都是，記投保的5000個(gè)學(xué)生中出險(xiǎn)的人數(shù)為，則（5000，0．004）即服從二項(xiàng)分布．

（1）記“保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種中一年內(nèi)支付賠償金至少5000元”為事件A，則

              ，

              ．

（2）該保險(xiǎn)公司學(xué)平險(xiǎn)除種總收入為元=25萬(wàn)元，支出成本8萬(wàn)元，支付賠償金5000元=0．5萬(wàn)元，盈利萬(wàn)元．

由~知，，

進(jìn)而萬(wàn)元．

故該保險(xiǎn)公司在學(xué)平險(xiǎn)險(xiǎn)種上盈利的期望是7萬(wàn)元．

20．解（1）：由得，即，

              ，而

由表可知，在及上分別是增函數(shù)，在及上分別是減函數(shù)．

．   

（2）時(shí)，等價(jià)于，記，

則，因，

則在上是減函數(shù)，，故．

當(dāng)時(shí)，就是，顯然成立，綜上可得的取值范圍是：

22．解：（1）由條件可知橢圓的方程是：

                ①，直線(xiàn)的方程是            ②，

聯(lián)立式①、②消去并整理得，由此出發(fā)時(shí)，是等比數(shù)列，

．

（2）由（1）可知，．當(dāng)時(shí)，

       ，

       是遞減數(shù)列

       對(duì)恒成立．

       ，時(shí)，是遞減數(shù)列．

21．解（1）：，由解得函數(shù)定義域呈．

              ，由解得，列表如下：

0

0

ㄊ

極大

ㄋ

ㄋ

極小

ㄊ

              解得，進(jìn)而求得中點(diǎn)．

              己知在直線(xiàn)上，則．

       （2）．

設(shè)，則，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離

．

，由于直線(xiàn)與線(xiàn)段相交于，則，則．

記，則．

其次，，同理求得到的中離：，

設(shè)，即，由得．

，

即且時(shí)，．

又，當(dāng)即時(shí)，．注意到，由對(duì)稱(chēng)性，時(shí)仍有

故，進(jìn)而．

故四邊形的面積：

，

當(dāng)時(shí)，．