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點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD中AB，BC，CD，AD的中點(diǎn)，若AC=BD，且AC與BD成90°，則四邊形EFGH是（　�。�

A．菱形

B．梯形

C．正方形

D．空間四邊形

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點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC三邊AB，BC，CA的中點(diǎn)，求證：
（1）

AB

+

BE

=

AC

+

CE

．
（2）

EA

+

FB

+

DC

=

0

．

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一．選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分.

ABCCB  ADCCD  BD

二．填空題：本大題共4個(gè)小題,每小題5分,共20分.

13. 6 ；14. 60 ；15.；16 .446.

三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17. （Ⅰ）設(shè)的公比為q（q>0）,依題意可得

解得                                             （5分）

∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為                                                          （6分）

（Ⅱ）                                   （10分）

18. （Ⅰ）（2分）∴；   （4分）

當(dāng)，即，時(shí)單調(diào)遞增

∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為                                 （6分）

（Ⅱ）∵，∴，∴     （10分）

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí).                    （12分）

19.（Ⅰ）記表示甲以獲勝；表示乙以獲勝，則，互斥，事件，

∴     （6分）

（Ⅱ）記表示甲以獲勝；表示甲以獲勝， 則_，互斥，事件， ∴（12分）

20．                    解法一：（Ⅰ）證明：在直三棱柱中，

面面ABC，又D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥面，∴CD⊥，∵AB=，∴⊥，

又DE∥∴⊥DE ，又DE∩CD =D

∴⊥平面CDE                                     （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知⊥平面CDE，設(shè)與DE交于點(diǎn)M ，

過B作BN⊥CE，垂足為N，連結(jié)MN ， 則A₁N⊥CE，故∠A₁NM即為二面角的平面角.                                                                        （9分） 

∵，，又由△ENM   △EDC得

.   又∵

在Rt△A₁MN中，tan∠A₁NM ，                                            （12分）

故二面角的大小為.                                                     （12分）

解法二：AC=BC=2，AB=，可得AC⊥BC，故可以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示直角

坐標(biāo)系C-xyz.則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），

D（1，1，0），E （0，2，），（2，0，）（3分）

（Ⅰ）（-2，2，-），（1，1，0），

（0，2，）.∵，

∴， 又CE∩CD =C

∴⊥平面CDE                            （6分）

（Ⅱ）設(shè)平面A₁CE的一個(gè)法向量為n＝（x，y，z），　　　（2，0，），

（0，2，）．∴由n，n得，

令得，，n=（2，1，）                         （9分）

又由（Ⅰ）知（-2，2，-）為平面DCE的法向量.

等于二面角的平面角.                          （11分）

.                                       （12分）

二面角的大小為.                              （12分）

21．（Ⅰ）．由題意知為方程的兩根

由，得                             （3分）

從而，．

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)和時(shí)，

故在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．     （7分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在上單調(diào)遞減，在處取得極值，此時(shí)，若存在，使得，

即有就是  解得.              （12分）

故b的取值范圍是.                                （12分）        

22. （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為(a>b>0)，由已知c=1，

又2a= .   所以a=,b²=a²-c²=1，

橢圓C的方程是+ x² =1.                                                                  （4分）

  （Ⅱ）若直線l與x軸重合，則以AB為直徑的圓是x²+y²=1,

若直線l垂直于x軸，則以AB為直徑的圓是(x+)²+y²=．

由解得即兩圓相切于點(diǎn)(1，０)．

因此所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(1，0)．

事實(shí)上，點(diǎn)T(1，０)就是所求的點(diǎn)．證明如下：                             （7分）

當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1，0)．

若直線l不垂直于x軸，可設(shè)直線l：y=k(x+)．

由即(k²+2)x²+k²x+k²-2=0.

記點(diǎn)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

又因?yàn)?sub>=(x₁-1, y₁), =(x₂-1, y₂),

?=(x₁-1)(x₂-1)+y₁y₂=(x₁-1)(x₂-1)+k²(x₁+)(x₂+)

=(k²+1)x₁x₂+(k²-1)(x₁+x₂)+k²+1

=(k²+1) +(k²-1) + +1=0，       （11分）

所以TA⊥TB，即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1，0)．

所以在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)T(1，0)滿足條件．                        （12分）