題目列表(包括答案和解析)
若關于的方程
有且只有一個正實根,則實數(shù)
的取值范圍是
若關于的方程
有且只有一個正實根,則實數(shù)
的取值范圍是
關于的方程
至少有一個正根,則實數(shù)
的取值范圍為 .
關于的方程
至少有一個正根,則實數(shù)
的取值范圍為 .
2008年7月
【課前預習】
答案: 1、; 2、B.【試題分析】令
,可求得:
。易知函數(shù)
的零點所在區(qū)間為
。
3、; 4、-4。
四.典例解析
題型1:方程的根與函數(shù)零點
例1. 分析:利用函數(shù)零點的存在性定理或圖像進行判斷。
解析:(1)方法一:
∴
故。
方法二:
令解得
,
所以函數(shù)。
(2)∵,
∴。
(3)∵,
,
∴,故
在
存在零點。
評析:函數(shù)的零點存在性問題常用的辦法有三種:一是定理;二是用方程;三是用圖像
例2. 解析:(1)方法一令則根據(jù)選擇支可以求得
<0;
<0;
>0.因為
<0可得零點在(2,3)內(nèi)選C
方法二:在同一平面直角坐標系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖)。它們的交點橫坐標
,顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D
至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了。實際上這是要比較
與2的大小。當x=2時,lgx=lg2,3-x=1。由于lg2<1,因此
>2,從而判定
∈(2,3),故本題應選C
(2)原方程等價于
即
構造函數(shù)和
,作出它們的圖像,易知平行于x軸的直線與拋物線的交點情況可得:
①當或
時,原方程有一解;
②當時,原方程有兩解;
③當或
時,原方程無解。
點評:圖象法求函數(shù)零點,考查學生的數(shù)形結合思想。本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間。數(shù)形結合,要在結合方面下功夫。不僅要通過圖象直觀估計,而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值,通過比較其大小進行判斷
題型2:零點存在性定理
例3.解析:(1)函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且
當x∈(-m,1-m)時,f ’(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)
當x∈(1-m, +∞)時,f ’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)
根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且
對x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故當整數(shù)m≤1時,f(x) ≥1-m≥0
(2)證明:由(I)知,當整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0,
函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)減函數(shù).
由所給定理知,存在唯一的
而當整數(shù)m>1時,
類似地,當整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在 上為連續(xù)增函數(shù)且 f(1-m)與
異號,由所給定理知,存在唯一的
故當m>1時,方程f(x)=0在內(nèi)有兩個實根。
點評:本題以信息給予的形式考察零點的存在性定理。解決該題的解題技巧主要在區(qū)間的放縮和不等式的應用上。
例4. 解析:由零點存在性定理可知選項D不正確;對于選項B,可通過反例“在區(qū)間
上滿足
,但其存在三個解
”推翻;同時選項A可通過反例“
在區(qū)間
上滿足
,但其存在兩個解
”;選項D正確,見實例“
在區(qū)間
上滿足
,但其不存在實數(shù)解”。
點評:該問題詳細介紹了零點存在性定理的理論基礎。
題型3:二分法的概念
例5. 解析:如果函數(shù)在某區(qū)間滿足二分法題設,且在區(qū)間內(nèi)存在兩個及以上的實根,二分法只可能求出其中的一個,只要限定了近似解的范圍就可以得到函數(shù)的近似解,二分法的實施滿足零點存在性定理,在區(qū)間內(nèi)一定存在零點,甚至有可能得到函數(shù)的精確零點。
點評:該題深入解析了二分法的思想方法。
例6.解析:由四舍五入的原則知道,當時,精度達到
。此時差限
是0.0005,選項為C。
點評:該題考察了差限的定義,以及它對精度的影響。
題型4:應用“二分法”求函數(shù)的零點和方程的近似解
例7. 解析:原方程即。令
,
用計算器做出如下對應值表
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
2.5820
3.0530
27918
1.0794
-4.6974
觀察上表,可知零點在(1,2)內(nèi)
取區(qū)間中點=1.5,且
,從而,可知零點在(1,1.5)內(nèi);
再取區(qū)間中點=1.25,且
,從而,可知零點在(1.25,1.5)內(nèi);
同理取區(qū)間中點=1.375,且
,從而,可知零點在(1.25,1.375)內(nèi);
由于區(qū)間(1.25,1.375)內(nèi)任一值精確到0.1后都是1.3。故結果是1.3。
點評:該題系統(tǒng)的講解了二分法求方程近似解的過程,通過本題學會借助精度終止二分法的過程。
例8. 分析:本例除借助計算器或計算機確定方程解所在的大致區(qū)間和解的個數(shù)外,你是否還可以想到有什么方法確定方程的根的個數(shù)?
略解:圖象在閉區(qū)間,
上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)
,在
,
上至多有一個零點。
點評:①第一步確定零點所在的大致區(qū)間,
,可利用函數(shù)性質(zhì),也可借助計算機或計算器,但盡量取端點為整數(shù)的區(qū)間,盡量縮短區(qū)間長度,通?纱_定一個長度為1的區(qū)間;
②建議列表樣式如下:
零點所在區(qū)間
中點函數(shù)值
區(qū)間長度
[1,2]
>0
1
[1,1.5]
<0
0.5
[1.25,1.5]
<0
0.25
如此列表的優(yōu)勢:計算步數(shù)明確,區(qū)間長度小于精度時,即為計算的最后一步。
題型5:一元二次方程的根與一元二次函數(shù)的零點
例9. 分析:從二次方程的根分布看二次函數(shù)圖像特征,再根據(jù)圖像特征列出對應的不等式(組)。
解析:(1)設,
由,知
∴
,
∴
(2)令
∴
,
且,∴
,∴
,
綜上,。
評析:二次方程、二次函數(shù)、二次不等式三者密不可分。
例10.解析:設,則
的二根為
和
。
(1)由及
,可得
,即
,
即 兩式相加得
,所以,
;
(2)由, 可得
。
又,所以
同號。
∴ ,
等價于
或,
即 或
解之得 或
。
點評:條件實際上給出了
的兩個實數(shù)根所在的區(qū)間,因此可以考慮利用上述圖像特征去等價轉(zhuǎn)化。
【課外作業(yè)】
1. 答案:A,令即可;
2. 答案:B;
3.答案:C,由可得
關于
對稱,∴
,∴
∴
,∴
,∵
,∴
。
4、 答案:D, ∵,∴
∴
, ∴
5. 答案:C,先求出,根據(jù)單調(diào)性求解;
五.思維總結
1.函數(shù)零點的求法:
①(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;
②(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。
2.解決二次函數(shù)的零點分布問題要善于結合圖像,從判別式、韋達定理、對稱軸、區(qū)間端點函數(shù)值的正負、二次函數(shù)圖像的開口方向等方面去考慮使結論成立的所有條件。函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切,聯(lián)系的方法就是數(shù)形結合。
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com