題目列表(包括答案和解析)
第一部分 力&物體的平衡
第一講 力的處理
一、矢量的運(yùn)算
1、加法
表達(dá): + = 。
名詞:為“和矢量”。
法則:平行四邊形法則。如圖1所示。
和矢量大小:c = ,其中α為和的夾角。
和矢量方向:在、之間,和夾角β= arcsin
2、減法
表達(dá): = - 。
名詞:為“被減數(shù)矢量”,為“減數(shù)矢量”,為“差矢量”。
法則:三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點(diǎn),然后連接兩時(shí)量末端,指向被減數(shù)時(shí)量的時(shí)量,即是差矢量。
差矢量大。篴 = ,其中θ為和的夾角。
差矢量的方向可以用正弦定理求得。
一條直線(xiàn)上的矢量運(yùn)算是平行四邊形和三角形法則的特例。
例題:已知質(zhì)點(diǎn)做勻速率圓周運(yùn)動(dòng),半徑為R ,周期為T(mén) ,求它在T內(nèi)和在T內(nèi)的平均加速度大小。
解說(shuō):如圖3所示,A到B點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程,A到C點(diǎn)對(duì)應(yīng)T的過(guò)程。這三點(diǎn)的速度矢量分別設(shè)為、和。
根據(jù)加速度的定義 = 得:= ,=
由于有兩處涉及矢量減法,設(shè)兩個(gè)差矢量 = - ,= - ,根據(jù)三角形法則,它們?cè)趫D3中的大小、方向已繪出(的“三角形”已被拉伸成一條直線(xiàn))。
本題只關(guān)心各矢量的大小,顯然:
= = = ,且: = = , = 2=
所以:= = = ,= = = 。
(學(xué)生活動(dòng))觀察與思考:這兩個(gè)加速度是否相等,勻速率圓周運(yùn)動(dòng)是不是勻變速運(yùn)動(dòng)?
答:否;不是。
3、乘法
矢量的乘法有兩種:叉乘和點(diǎn)乘,和代數(shù)的乘法有著質(zhì)的不同。
⑴ 叉乘
表達(dá):× =
名詞:稱(chēng)“矢量的叉積”,它是一個(gè)新的矢量。
叉積的大。篶 = absinα,其中α為和的夾角。意義:的大小對(duì)應(yīng)由和作成的平行四邊形的面積。
叉積的方向:垂直和確定的平面,并由右手螺旋定則確定方向,如圖4所示。
顯然,×≠×,但有:×= -×
⑵ 點(diǎn)乘
表達(dá):· = c
名詞:c稱(chēng)“矢量的點(diǎn)積”,它不再是一個(gè)矢量,而是一個(gè)標(biāo)量。
點(diǎn)積的大。篶 = abcosα,其中α為和的夾角。
二、共點(diǎn)力的合成
1、平行四邊形法則與矢量表達(dá)式
2、一般平行四邊形的合力與分力的求法
余弦定理(或分割成RtΔ)解合力的大小
正弦定理解方向
三、力的分解
1、按效果分解
2、按需要——正交分解
第二講 物體的平衡
一、共點(diǎn)力平衡
1、特征:質(zhì)心無(wú)加速度。
2、條件:Σ = 0 ,或 = 0 , = 0
例題:如圖5所示,長(zhǎng)為L(zhǎng) 、粗細(xì)不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛,繩子與水平方向的夾角在圖上已標(biāo)示,求橫桿的重心位置。
解說(shuō):直接用三力共點(diǎn)的知識(shí)解題,幾何關(guān)系比較簡(jiǎn)單。
答案:距棒的左端L/4處。
(學(xué)生活動(dòng))思考:放在斜面上的均質(zhì)長(zhǎng)方體,按實(shí)際情況分析受力,斜面的支持力會(huì)通過(guò)長(zhǎng)方體的重心嗎?
解:將各處的支持力歸納成一個(gè)N ,則長(zhǎng)方體受三個(gè)力(G 、f 、N)必共點(diǎn),由此推知,N不可能通過(guò)長(zhǎng)方體的重心。正確受力情形如圖6所示(通常的受力圖是將受力物體看成一個(gè)點(diǎn),這時(shí),N就過(guò)重心了)。
答:不會(huì)。
二、轉(zhuǎn)動(dòng)平衡
1、特征:物體無(wú)轉(zhuǎn)動(dòng)加速度。
2、條件:Σ= 0 ,或ΣM+ =ΣM-
如果物體靜止,肯定會(huì)同時(shí)滿(mǎn)足兩種平衡,因此用兩種思路均可解題。
3、非共點(diǎn)力的合成
大小和方向:遵從一條直線(xiàn)矢量合成法則。
作用點(diǎn):先假定一個(gè)等效作用點(diǎn),然后讓所有的平行力對(duì)這個(gè)作用點(diǎn)的和力矩為零。
第三講 習(xí)題課
1、如圖7所示,在固定的、傾角為α斜面上,有一塊可以轉(zhuǎn)動(dòng)的夾板(β不定),夾板和斜面夾著一個(gè)質(zhì)量為m的光滑均質(zhì)球體,試求:β取何值時(shí),夾板對(duì)球的彈力最小。
解說(shuō):法一,平行四邊形動(dòng)態(tài)處理。
對(duì)球體進(jìn)行受力分析,然后對(duì)平行四邊形中的矢量G和N1進(jìn)行平移,使它們構(gòu)成一個(gè)三角形,如圖8的左圖和中圖所示。
由于G的大小和方向均不變,而N1的方向不可變,當(dāng)β增大導(dǎo)致N2的方向改變時(shí),N2的變化和N1的方向變化如圖8的右圖所示。
顯然,隨著β增大,N1單調(diào)減小,而N2的大小先減小后增大,當(dāng)N2垂直N1時(shí),N2取極小值,且N2min = Gsinα。
法二,函數(shù)法。
看圖8的中間圖,對(duì)這個(gè)三角形用正弦定理,有:
= ,即:N2 = ,β在0到180°之間取值,N2的極值討論是很容易的。
答案:當(dāng)β= 90°時(shí),甲板的彈力最小。
2、把一個(gè)重為G的物體用一個(gè)水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上,F(xiàn)隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖9所示,則在t = 0開(kāi)始物體所受的摩擦力f的變化圖線(xiàn)是圖10中的哪一個(gè)?
解說(shuō):靜力學(xué)旨在解決靜態(tài)問(wèn)題和準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程的問(wèn)題,但本題是一個(gè)例外。物體在豎直方向的運(yùn)動(dòng)先加速后減速,平衡方程不再適用。如何避開(kāi)牛頓第二定律,是本題授課時(shí)的難點(diǎn)。
靜力學(xué)的知識(shí),本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。
水平方向合力為零,得:支持力N持續(xù)增大。
物體在運(yùn)動(dòng)時(shí),滑動(dòng)摩擦力f = μN(yùn) ,必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ,與N沒(méi)有關(guān)系。
對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程加以分析,物體必有加速和減速兩個(gè)過(guò)程。據(jù)物理常識(shí),加速時(shí),f < G ,而在減速時(shí)f > G 。
答案:B 。
3、如圖11所示,一個(gè)重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上,另一輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)為k ,自由長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L<2R),一端固定在大圓環(huán)的頂點(diǎn)A ,另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時(shí)位于大環(huán)上的B點(diǎn)。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。
解說(shuō):平行四邊形的三個(gè)矢量總是可以平移到一個(gè)三角形中去討論,解三角形的典型思路有三種:①分割成直角三角形(或本來(lái)就是直角三角形);②利用正、余弦定理;③利用力學(xué)矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。
分析小球受力→矢量平移,如圖12所示,其中F表示彈簧彈力,N表示大環(huán)的支持力。
(學(xué)生活動(dòng))思考:支持力N可不可以沿圖12中的反方向?(正交分解看水平方向平衡——不可以。)
容易判斷,圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的,所以:
⑴
由胡克定律:F = k(- R) ⑵
幾何關(guān)系:= 2Rcosθ ⑶
解以上三式即可。
答案:arccos 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧,其它條件不變,則彈簧彈力怎么變?環(huán)的支持力怎么變?
答:變;不變。
(學(xué)生活動(dòng))反饋練習(xí):光滑半球固定在水平面上,球心O的正上方有一定滑輪,一根輕繩跨過(guò)滑輪將一小球從圖13所示的A位置開(kāi)始緩慢拉至B位置。試判斷:在此過(guò)程中,繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化?
解:和上題完全相同。
答:T變小,N不變。
4、如圖14所示,一個(gè)半徑為R的非均質(zhì)圓球,其重心不在球心O點(diǎn),先將它置于水平地面上,平衡時(shí)球面上的A點(diǎn)和地面接觸;再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上,平衡時(shí)球面上的B點(diǎn)與斜面接觸,已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。
解說(shuō):練習(xí)三力共點(diǎn)的應(yīng)用。
根據(jù)在平面上的平衡,可知重心C在OA連線(xiàn)上。根據(jù)在斜面上的平衡,支持力、重力和靜摩擦力共點(diǎn),可以畫(huà)出重心的具體位置。幾何計(jì)算比較簡(jiǎn)單。
答案:R 。
(學(xué)生活動(dòng))反饋練習(xí):靜摩擦足夠,將長(zhǎng)為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上,最多能碼多少塊?
解:三力共點(diǎn)知識(shí)應(yīng)用。
答: 。
4、兩根等長(zhǎng)的細(xì)線(xiàn),一端拴在同一懸點(diǎn)O上,另一端各系一個(gè)小球,兩球的質(zhì)量分別為m1和m2 ,已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線(xiàn)張開(kāi)一定角度,分別為45和30°,如圖15所示。則m1 : m2??為多少?
解說(shuō):本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學(xué)問(wèn)題。
對(duì)兩球進(jìn)行受力分析,并進(jìn)行矢量平移,如圖16所示。
首先注意,圖16中的灰色三角形是等腰三角形,兩底角相等,設(shè)為α。
而且,兩球相互作用的斥力方向相反,大小相等,可用同一字母表示,設(shè)為F 。
對(duì)左邊的矢量三角形用正弦定理,有:
= ①
同理,對(duì)右邊的矢量三角形,有: = ②
解①②兩式即可。
答案:1 : 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:解本題是否還有其它的方法?
答:有——將模型看成用輕桿連成的兩小球,而將O點(diǎn)看成轉(zhuǎn)軸,兩球的重力對(duì)O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡(jiǎn)便。
應(yīng)用:若原題中繩長(zhǎng)不等,而是l1 :l2 = 3 :2 ,其它條件不變,m1與m2的比值又將是多少?
解:此時(shí)用共點(diǎn)力平衡更加復(fù)雜(多一個(gè)正弦定理方程),而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。
答:2 :3 。
5、如圖17所示,一個(gè)半徑為R的均質(zhì)金屬球上固定著一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)桿,細(xì)桿的左端用鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細(xì)桿恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦(已知摩擦因素為μ),所以要將木板從球下面向右抽出時(shí),至少需要大小為F的水平拉力。試問(wèn):現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進(jìn)一些,至少需要多大的水平推力?
解說(shuō):這是一個(gè)典型的力矩平衡的例題。
以球和桿為對(duì)象,研究其對(duì)轉(zhuǎn)軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)平衡,設(shè)木板拉出時(shí)給球體的摩擦力為f ,支持力為N ,重力為G ,力矩平衡方程為:
f R + N(R + L)= G(R + L) ①
球和板已相對(duì)滑動(dòng),故:f = μN(yùn) ②
解①②可得:f =
再看木板的平衡,F(xiàn) = f 。
同理,木板插進(jìn)去時(shí),球體和木板之間的摩擦f′= = F′。
答案: 。
第四講 摩擦角及其它
一、摩擦角
1、全反力:接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱(chēng)全反力,一般用R表示,亦稱(chēng)接觸反力。
2、摩擦角:全反力與支持力的最大夾角稱(chēng)摩擦角,一般用φm表示。
此時(shí),要么物體已經(jīng)滑動(dòng),必有:φm = arctgμ(μ為動(dòng)摩擦因素),稱(chēng)動(dòng)摩擦力角;要么物體達(dá)到最大運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),必有:φms = arctgμs(μs為靜摩擦因素),稱(chēng)靜摩擦角。通常處理為φm = φms 。
3、引入全反力和摩擦角的意義:使分析處理物體受力時(shí)更方便、更簡(jiǎn)捷。
二、隔離法與整體法
1、隔離法:當(dāng)物體對(duì)象有兩個(gè)或兩個(gè)以上時(shí),有必要各個(gè)擊破,逐個(gè)講每個(gè)個(gè)體隔離開(kāi)來(lái)分析處理,稱(chēng)隔離法。
在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時(shí),應(yīng)注意相互作用力的大小和方向關(guān)系。
2、整體法:當(dāng)各個(gè)體均處于平衡狀態(tài)時(shí),我們可以不顧個(gè)體的差異而講多個(gè)對(duì)象看成一個(gè)整體進(jìn)行分析處理,稱(chēng)整體法。
應(yīng)用整體法時(shí)應(yīng)注意“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”的涵義。
三、應(yīng)用
1、物體放在水平面上,用與水平方向成30°的力拉物體時(shí),物體勻速前進(jìn)。若此力大小不變,改為沿水平方向拉物體,物體仍能勻速前進(jìn),求物體與水平面之間的動(dòng)摩擦因素μ。
解說(shuō):這是一個(gè)能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目?梢酝ㄟ^(guò)不同解法的比較讓學(xué)生留下深刻印象。
法一,正交分解。(學(xué)生分析受力→列方程→得結(jié)果。)
法二,用摩擦角解題。
引進(jìn)全反力R ,對(duì)物體兩個(gè)平衡狀態(tài)進(jìn)行受力分析,再進(jìn)行矢量平移,得到圖18中的左圖和中間圖(注意:重力G是不變的,而全反力R的方向不變、F的大小不變),φm指摩擦角。
再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個(gè)頂角為30°的等腰三角形,其頂角的角平分線(xiàn)必垂直底邊……故有:φm = 15°。
最后,μ= tgφm 。
答案:0.268 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:如果F的大小是可以選擇的,那么能維持物體勻速前進(jìn)的最小F值是多少?
解:見(jiàn)圖18,右圖中虛線(xiàn)的長(zhǎng)度即Fmin ,所以,F(xiàn)min = Gsinφm 。
答:Gsin15°(其中G為物體的重量)。
2、如圖19所示,質(zhì)量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上,并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體,使物體能夠沿斜面向上勻速運(yùn)動(dòng),而斜面體始終靜止。已知斜面的質(zhì)量M = 10kg ,傾角為30°,重力加速度g = 10m/s2 ,求地面對(duì)斜面體的摩擦力大小。
解說(shuō):
本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。
法一,隔離法。簡(jiǎn)要介紹……
法二,整體法。注意,滑塊和斜面隨有相對(duì)運(yùn)動(dòng),但從平衡的角度看,它們是完全等價(jià)的,可以看成一個(gè)整體。
做整體的受力分析時(shí),內(nèi)力不加考慮。受力分析比較簡(jiǎn)單,列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。
答案:26.0N 。
(學(xué)生活動(dòng))地面給斜面體的支持力是多少?
解:略。
答:135N 。
應(yīng)用:如圖20所示,一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上,斜面的傾角為θ。另一質(zhì)量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上,使之能沿斜面勻速上滑,且要求斜面體靜止不動(dòng),就必須施加一個(gè)大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個(gè)F的大小和方向。
解說(shuō):這是一道難度較大的靜力學(xué)題,可以動(dòng)用一切可能的工具解題。
法一:隔離法。
由第一個(gè)物理情景易得,斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ
對(duì)第二個(gè)物理情景,分別隔離滑塊和斜面體分析受力,并將F沿斜面、垂直斜面分解成Fx和Fy ,滑塊與斜面之間的兩對(duì)相互作用力只用兩個(gè)字母表示(N表示正壓力和彈力,f表示摩擦力),如圖21所示。
對(duì)滑塊,我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——
Fx = f + mgsinθ
Fy + mgcosθ= N
且 f = μN(yùn) = Ntgθ
綜合以上三式得到:
Fx = Fytgθ+ 2mgsinθ ①
對(duì)斜面體,只看水平方向平衡就行了——
P = fcosθ+ Nsinθ
即:4mgsinθcosθ=μN(yùn)cosθ+ Nsinθ
代入μ值,化簡(jiǎn)得:Fy = mgcosθ ②
②代入①可得:Fx = 3mgsinθ
最后由F =解F的大小,由tgα= 解F的方向(設(shè)α為F和斜面的夾角)。
答案:大小為F = mg,方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內(nèi)部。
法二:引入摩擦角和整體法觀念。
仍然沿用“法一”中關(guān)于F的方向設(shè)置(見(jiàn)圖21中的α角)。
先看整體的水平方向平衡,有:Fcos(θ- α) = P ⑴
再隔離滑塊,分析受力時(shí)引進(jìn)全反力R和摩擦角φ,由于簡(jiǎn)化后只有三個(gè)力(R、mg和F),可以將矢量平移后構(gòu)成一個(gè)三角形,如圖22所示。
在圖22右邊的矢量三角形中,有: = = ⑵
注意:φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ ⑶
解⑴⑵⑶式可得F和α的值。
第六部分 振動(dòng)和波
第一講 基本知識(shí)介紹
《振動(dòng)和波》的競(jìng)賽考綱和高考要求有很大的不同,必須做一些相對(duì)詳細(xì)的補(bǔ)充。
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)定義:= -k ①
凡是所受合力和位移滿(mǎn)足①式的質(zhì)點(diǎn),均可稱(chēng)之為諧振子,如彈簧振子、小角度單擺等。
諧振子的加速度:= -
2、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的方程
回避高等數(shù)學(xué)工具,我們可以將簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)在某一條直線(xiàn)上的投影運(yùn)動(dòng)(以下均看在x方向的投影),圓周運(yùn)動(dòng)的半徑即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A 。
依據(jù):x = -mω2Acosθ= -mω2
對(duì)于一個(gè)給定的勻速圓周運(yùn)動(dòng),m、ω是恒定不變的,可以令:
mω2 = k
這樣,以上兩式就符合了簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式①。所以,x方向的位移、速度、加速度就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的相關(guān)規(guī)律。從圖1不難得出——
位移方程: = Acos(ωt + φ) ②
速度方程: = -ωAsin(ωt +φ) ③
加速度方程:= -ω2A cos(ωt +φ) ④
相關(guān)名詞:(ωt +φ)稱(chēng)相位,φ稱(chēng)初相。
運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的相互關(guān)系:= -ω2
A =
tgφ= -
3、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的合成
a、同方向、同頻率振動(dòng)合成。兩個(gè)振動(dòng)x1 = A1cos(ωt +φ1)和x2 = A2cos(ωt +φ2) 合成,可令合振動(dòng)x = Acos(ωt +φ) ,由于x = x1 + x2 ,解得
A = ,φ= arctg
顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅A最大,當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),合振幅最小。
b、方向垂直、同頻率振動(dòng)合成。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)垂直的振動(dòng)x = A1cos(ωt + φ1)和y = A2cos(ωt + φ2)時(shí),這兩個(gè)振動(dòng)方程事實(shí)上已經(jīng)構(gòu)成了質(zhì)點(diǎn)在二維空間運(yùn)動(dòng)的軌跡參數(shù)方程,消去參數(shù)t后,得一般形式的軌跡方程為
+-2cos(φ2-φ1) = sin2(φ2-φ1)
顯然,當(dāng)φ2-φ1 = 2kπ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有y = x ,軌跡為直線(xiàn),合運(yùn)動(dòng)仍為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);
當(dāng)φ2-φ1 = (2k + 1)π時(shí)(k = 0,±1,±2,…),有+= 1 ,軌跡為橢圓,合運(yùn)動(dòng)不再是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng);
當(dāng)φ2-φ1取其它值,軌跡將更為復(fù)雜,稱(chēng)“李薩如圖形”,不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
c、同方向、同振幅、頻率相近的振動(dòng)合成。令x1 = Acos(ω1t + φ)和x2 = Acos(ω2t + φ) ,由于合運(yùn)動(dòng)x = x1 + x2 ,得:x =(2Acost)cos(t +φ)。合運(yùn)動(dòng)是振動(dòng),但不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),稱(chēng)為角頻率為的“拍”現(xiàn)象。
4、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期
由②式得:ω= ,而圓周運(yùn)動(dòng)的角速度和簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的角頻率是一致的,所以
T = 2π ⑤
5、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的能量
一個(gè)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振子的能量由動(dòng)能和勢(shì)能構(gòu)成,即
= mv2 + kx2 = kA2
注意:振子的勢(shì)能是由(回復(fù)力系數(shù))k和(相對(duì)平衡位置位移)x決定的一個(gè)抽象的概念,而不是具體地指重力勢(shì)能或彈性勢(shì)能。當(dāng)我們計(jì)量了振子的抽象勢(shì)能后,其它的具體勢(shì)能不能再做重復(fù)計(jì)量。
6、阻尼振動(dòng)、受迫振動(dòng)和共振
和高考要求基本相同。
二、機(jī)械波
1、波的產(chǎn)生和傳播
產(chǎn)生的過(guò)程和條件;傳播的性質(zhì),相關(guān)參量(決定參量的物理因素)
2、機(jī)械波的描述
a、波動(dòng)圖象。和振動(dòng)圖象的聯(lián)系
b、波動(dòng)方程
如果一列簡(jiǎn)諧波沿x方向傳播,振源的振動(dòng)方程為y = Acos(ωt + φ),波的傳播速度為v ,那么在離振源x處一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程便是
y = Acos〔ωt + φ - ·2π〕= Acos〔ω(t - )+ φ〕
這個(gè)方程展示的是一個(gè)復(fù)變函數(shù)。對(duì)任意一個(gè)時(shí)刻t ,都有一個(gè)y(x)的正弦函數(shù),在x-y坐標(biāo)下可以描繪出一個(gè)瞬時(shí)波形。所以,稱(chēng)y = Acos〔ω(t - )+ φ〕為波動(dòng)方程。
3、波的干涉
a、波的疊加。幾列波在同一介質(zhì)種傳播時(shí),能獨(dú)立的維持它們的各自形態(tài)傳播,在相遇的區(qū)域則遵從矢量疊加(包括位移、速度和加速度的疊加)。
b、波的干涉。兩列波頻率相同、相位差恒定時(shí),在同一介質(zhì)中的疊加將形成一種特殊形態(tài):振動(dòng)加強(qiáng)的區(qū)域和振動(dòng)削弱的區(qū)域穩(wěn)定分布且彼此隔開(kāi)。
我們可以用波程差的方法來(lái)討論干涉的定量規(guī)律。如圖2所示,我們用S1和S2表示兩個(gè)波源,P表示空間任意一點(diǎn)。
當(dāng)振源的振動(dòng)方向相同時(shí),令振源S1的振動(dòng)方程為y1 = A1cosωt ,振源S1的振動(dòng)方程為y2 = A2cosωt ,則在空間P點(diǎn)(距S1為r1 ,距S2為r2),兩振源引起的分振動(dòng)分別是
y1′= A1cos〔ω(t ? )〕
y2′= A2cos〔ω(t ? )〕
P點(diǎn)便出現(xiàn)兩個(gè)頻率相同、初相不同的振動(dòng)疊加問(wèn)題(φ1 = ,φ2 = ),且初相差Δφ= (r2 – r1)。根據(jù)前面已經(jīng)做過(guò)的討論,有
r2 ? r1 = kλ時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)加強(qiáng),振幅為A1 + A2 ;
r2 ? r1 =(2k ? 1)時(shí)(k = 0,±1,±2,…),P點(diǎn)振動(dòng)削弱,振幅為│A1-A2│。
4、波的反射、折射和衍射
知識(shí)點(diǎn)和高考要求相同。
5、多普勒效應(yīng)
當(dāng)波源或者接受者相對(duì)與波的傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)時(shí),接收者會(huì)發(fā)現(xiàn)波的頻率發(fā)生變化。多普勒效應(yīng)的定量討論可以分為以下三種情況(在討論中注意:波源的發(fā)波頻率f和波相對(duì)介質(zhì)的傳播速度v是恒定不變的)——
a、只有接收者相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖3所示)
設(shè)接收者以速度v1正對(duì)靜止的波源運(yùn)動(dòng)。
如果接收者靜止在A點(diǎn),他單位時(shí)間接收的波的個(gè)數(shù)為f ,
當(dāng)他迎著波源運(yùn)動(dòng)時(shí),設(shè)其在單位時(shí)間到達(dá)B點(diǎn),則= v1 ,、
在從A運(yùn)動(dòng)到B的過(guò)程中,接收者事實(shí)上“提前”多接收到了n個(gè)波
n = = =
顯然,在單位時(shí)間內(nèi),接收者接收到的總的波的數(shù)目為:f + n = f ,這就是接收者發(fā)現(xiàn)的頻率f1 。即
f1 = f
顯然,如果v1背離波源運(yùn)動(dòng),只要將上式中的v1代入負(fù)值即可。如果v1的方向不是正對(duì)S ,只要將v1出正對(duì)的分量即可。
b、只有波源相對(duì)介質(zhì)運(yùn)動(dòng)(如圖4所示)
設(shè)波源以速度v2正對(duì)靜止的接收者運(yùn)動(dòng)。
如果波源S不動(dòng),在單位時(shí)間內(nèi),接收者在A點(diǎn)應(yīng)接收f(shuō)個(gè)波,故S到A的距離:= fλ
在單位時(shí)間內(nèi),S運(yùn)動(dòng)至S′,即= v2 。由于波源的運(yùn)動(dòng),事實(shí)造成了S到A的f個(gè)波被壓縮在了S′到A的空間里,波長(zhǎng)將變短,新的波長(zhǎng)
λ′= = = =
而每個(gè)波在介質(zhì)中的傳播速度仍為v ,故“被壓縮”的波(A接收到的波)的頻率變?yōu)?/p>
f2 = = f
當(dāng)v2背離接收者,或有一定夾角的討論,類(lèi)似a情形。
c、當(dāng)接收者和波源均相對(duì)傳播介質(zhì)運(yùn)動(dòng)
當(dāng)接收者正對(duì)波源以速度v1(相對(duì)介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),波源也正對(duì)接收者以速度v2(相對(duì)介質(zhì)速度)運(yùn)動(dòng),我們的討論可以在b情形的過(guò)程上延續(xù)…
f3 = f2 = f
關(guān)于速度方向改變的問(wèn)題,討論類(lèi)似a情形。
6、聲波
a、樂(lè)音和噪音
b、聲音的三要素:音調(diào)、響度和音品
c、聲音的共鳴
第二講 重要模型與專(zhuān)題
一、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明與周期計(jì)算
物理情形:如圖5所示,將一粗細(xì)均勻、兩邊開(kāi)口的U型管固定,其中裝有一定量的水銀,汞柱總長(zhǎng)為L(zhǎng) 。當(dāng)水銀受到一個(gè)初始的擾動(dòng)后,開(kāi)始在管中振動(dòng)。忽略管壁對(duì)汞的阻力,試證明汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并求其周期。
模型分析:對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的證明,只要以汞柱為對(duì)象,看它的回復(fù)力與位移關(guān)系是否滿(mǎn)足定義式①,值得注意的是,回復(fù)力系指振動(dòng)方向上的合力(而非整體合力)。當(dāng)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)被證明后,回復(fù)力系數(shù)k就有了,求周期就是順理成章的事。
本題中,可設(shè)汞柱兩端偏離平衡位置的瞬時(shí)位移為x 、水銀密度為ρ、U型管橫截面積為S ,則次瞬時(shí)的回復(fù)力
ΣF = ρg2xS = x
由于L、m為固定值,可令: = k ,而且ΣF與x的方向相反,故汞柱做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
周期T = 2π= 2π
答:汞柱的周期為2π 。
學(xué)生活動(dòng):如圖6所示,兩個(gè)相同的柱形滾輪平行、登高、水平放置,繞各自的軸線(xiàn)等角速、反方向地轉(zhuǎn)動(dòng),在滾輪上覆蓋一塊均質(zhì)的木板。已知兩滾輪軸線(xiàn)的距離為L(zhǎng) 、滾輪與木板之間的動(dòng)摩擦因素為μ、木板的質(zhì)量為m ,且木板放置時(shí),重心不在兩滾輪的正中央。試證明木板做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),并求木板運(yùn)動(dòng)的周期。
思路提示:找平衡位置(木板重心在兩滾輪中央處)→ú力矩平衡和Σ?F6= 0結(jié)合求兩處彈力→ú求摩擦力合力…
答案:木板運(yùn)動(dòng)周期為2π 。
鞏固應(yīng)用:如圖7所示,三根長(zhǎng)度均為L(zhǎng) = 2.00m地質(zhì)量均勻直桿,構(gòu)成一正三角形框架ABC,C點(diǎn)懸掛在一光滑水平軸上,整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。桿AB是一導(dǎo)軌,一電動(dòng)松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng),F(xiàn)觀察到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng),而框架卻靜止不動(dòng),試討論松鼠的運(yùn)動(dòng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)。
解說(shuō):由于框架靜止不動(dòng),松鼠在豎直方向必平衡,即:松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。設(shè)松鼠的質(zhì)量為m ,即:
N = mg ①
再回到框架,其靜止平衡必滿(mǎn)足框架所受合力矩為零。以C點(diǎn)為轉(zhuǎn)軸,形成力矩的只有松鼠的壓力N、和松鼠可能加速的靜摩擦力f ,它們合力矩為零,即:
MN = Mf
現(xiàn)考查松鼠在框架上的某個(gè)一般位置(如圖7,設(shè)它在導(dǎo)軌方向上距C點(diǎn)為x),上式即成:
N·x = f·Lsin60° ②
解①②兩式可得:f = x ,且f的方向水平向左。
根據(jù)牛頓第三定律,這個(gè)力就是松鼠在導(dǎo)軌方向上的合力。如果我們以C在導(dǎo)軌上的投影點(diǎn)為參考點(diǎn),x就是松鼠的瞬時(shí)位移。再考慮到合力與位移的方向因素,松鼠的合力與位移滿(mǎn)足關(guān)系——
= -k
其中k = ,對(duì)于這個(gè)系統(tǒng)而言,k是固定不變的。
顯然這就是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義式。
答案:松鼠做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。
評(píng)說(shuō):這是第十三屆物理奧賽預(yù)賽試題,問(wèn)法比較模糊。如果理解為定性求解,以上答案已經(jīng)足夠。但考慮到原題中還是有定量的條件,所以做進(jìn)一步的定量運(yùn)算也是有必要的。譬如,我們可以求出松鼠的運(yùn)動(dòng)周期為:T = 2π = 2π = 2.64s 。
二、典型的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)
1、彈簧振子
物理情形:如圖8所示,用彈性系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧連著一個(gè)質(zhì)量為m的小球,置于傾角為θ
第二部分 牛頓運(yùn)動(dòng)定律
第一講 牛頓三定律
一、牛頓第一定律
1、定律。慣性的量度
2、觀念意義,突破“初態(tài)困惑”
二、牛頓第二定律
1、定律
2、理解要點(diǎn)
a、矢量性
b、獨(dú)立作用性:ΣF → a ,ΣFx → ax …
c、瞬時(shí)性。合力可突變,故加速度可突變(與之對(duì)比:速度和位移不可突變);牛頓第二定律展示了加速度的決定式(加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測(cè)量手段”)。
3、適用條件
a、宏觀、低速
b、慣性系
對(duì)于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析
三、牛頓第三定律
1、定律
2、理解要點(diǎn)
a、同性質(zhì)(但不同物體)
b、等時(shí)效(同增同減)
c、無(wú)條件(與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)、空間選擇無(wú)關(guān))
第二講 牛頓定律的應(yīng)用
一、牛頓第一、第二定律的應(yīng)用
單獨(dú)應(yīng)用牛頓第一定律的物理問(wèn)題比較少,一般是需要用其解決物理問(wèn)題中的某一個(gè)環(huán)節(jié)。
應(yīng)用要點(diǎn):合力為零時(shí),物體靠慣性維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài);只有物體有加速度時(shí)才需要合力。有質(zhì)量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。
1、如圖1所示,在馬達(dá)的驅(qū)動(dòng)下,皮帶運(yùn)輸機(jī)上方的皮帶以恒定的速度向右運(yùn)動(dòng),F(xiàn)將一工件(大小不計(jì))在皮帶左端A點(diǎn)輕輕放下,則在此后的過(guò)程中( )
A、一段時(shí)間內(nèi),工件將在滑動(dòng)摩擦力作用下,對(duì)地做加速運(yùn)動(dòng)
B、當(dāng)工件的速度等于v時(shí),它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力
C、當(dāng)工件相對(duì)皮帶靜止時(shí),它位于皮帶上A點(diǎn)右側(cè)的某一點(diǎn)
D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對(duì)靜止的狀態(tài)
解說(shuō):B選項(xiàng)需要用到牛頓第一定律,A、C、D選項(xiàng)用到牛頓第二定律。
較難突破的是A選項(xiàng),在為什么不會(huì)“立即跟上皮帶”的問(wèn)題上,建議使用反證法(t → 0 ,a → ∞ ,則ΣFx → ∞ ,必然會(huì)出現(xiàn)“供不應(yīng)求”的局面)和比較法(為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)?因?yàn)槿耸强梢孕巫、重心可以調(diào)節(jié)的特殊“物體”)
此外,本題的D選項(xiàng)還要用到勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律。用勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律和牛頓第二定律不難得出
只有當(dāng)L > 時(shí)(其中μ為工件與皮帶之間的動(dòng)摩擦因素),才有相對(duì)靜止的過(guò)程,否則沒(méi)有。
答案:A、D
思考:令L = 10m ,v = 2 m/s ,μ= 0.2 ,g取10 m/s2 ,試求工件到達(dá)皮帶右端的時(shí)間t(過(guò)程略,答案為5.5s)
進(jìn)階練習(xí):在上面“思考”題中,將工件給予一水平向右的初速v0 ,其它條件不變,再求t(學(xué)生分以下三組進(jìn)行)——
① v0 = 1m/s (答:0.5 + 37/8 = 5.13s)
② v0 = 4m/s (答:1.0 + 3.5 = 4.5s)
③ v0 = 1m/s (答:1.55s)
2、質(zhì)量均為m的兩只鉤碼A和B,用輕彈簧和輕繩連接,然后掛在天花板上,如圖2所示。試問(wèn):
① 如果在P處剪斷細(xì)繩,在剪斷瞬時(shí),B的加速度是多少?
② 如果在Q處剪斷彈簧,在剪斷瞬時(shí),B的加速度又是多少?
解說(shuō):第①問(wèn)是常規(guī)處理。由于“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”,故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值,所以此時(shí)B鉤碼的加速度為零(A的加速度則為2g)。
第②問(wèn)需要我們反省這樣一個(gè)問(wèn)題:“彈簧不會(huì)立即發(fā)生形變”的原因是什么?是A、B兩物的慣性,且速度v和位移s不能突變。但在Q點(diǎn)剪斷彈簧時(shí),彈簧卻是沒(méi)有慣性的(沒(méi)有質(zhì)量),遵從理想模型的條件,彈簧應(yīng)在一瞬間恢復(fù)原長(zhǎng)!即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?/p>
答案:0 ;g 。
二、牛頓第二定律的應(yīng)用
應(yīng)用要點(diǎn):受力較少時(shí),直接應(yīng)用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時(shí),結(jié)合正交分解與“獨(dú)立作用性”解題。
在難度方面,“瞬時(shí)性”問(wèn)題相對(duì)較大。
1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑,試求其加速度。
解說(shuō):受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應(yīng)用
答案:gsinθ。
思考:如果斜面解除固定,上表仍光滑,傾角仍為θ,要求滑塊與斜面相對(duì)靜止,斜面應(yīng)具備一個(gè)多大的水平加速度?(解題思路完全相同,研究對(duì)象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應(yīng)注意區(qū)別。答:gtgθ。)
進(jìn)階練習(xí)1:在一向右運(yùn)動(dòng)的車(chē)廂中,用細(xì)繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài),試求車(chē)廂的加速度。(和“思考”題同理,答:gtgθ。)
進(jìn)階練習(xí)2、如圖4所示,小車(chē)在傾角為α的斜面上勻加速運(yùn)動(dòng),車(chē)廂頂用細(xì)繩懸掛一小球,發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個(gè)穩(wěn)定的夾角β。試求小車(chē)的加速度。
解:繼續(xù)貫徹“矢量性”的應(yīng)用,但數(shù)學(xué)處理復(fù)雜了一些(正弦定理解三角形)。
分析小球受力后,根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形,并找到相應(yīng)的夾角。設(shè)張力T與斜面方向的夾角為θ,則
θ=(90°+ α)- β= 90°-(β-α) (1)
對(duì)灰色三角形用正弦定理,有
= (2)
解(1)(2)兩式得:ΣF =
最后運(yùn)用牛頓第二定律即可求小球加速度(即小車(chē)加速度)
答: 。
2、如圖6所示,光滑斜面傾角為θ,在水平地面上加速運(yùn)動(dòng)。斜面上用一條與斜面平行的細(xì)繩系一質(zhì)量為m的小球,當(dāng)斜面加速度為a時(shí)(a<ctgθ),小球能夠保持相對(duì)斜面靜止。試求此時(shí)繩子的張力T 。
解說(shuō):當(dāng)力的個(gè)數(shù)較多,不能直接用平行四邊形尋求合力時(shí),宜用正交分解處理受力,在對(duì)應(yīng)牛頓第二定律的“獨(dú)立作用性”列方程。
正交坐標(biāo)的選擇,視解題方便程度而定。
解法一:先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸,與a垂直的方向上建y軸,如圖7所示(N為斜面支持力)。于是可得兩方程
ΣFx = ma ,即Tx - Nx = ma
ΣFy = 0 , 即Ty + Ny = mg
代入方位角θ,以上兩式成為
T cosθ-N sinθ = ma (1)
T sinθ + Ncosθ = mg (2)
這是一個(gè)關(guān)于T和N的方程組,解(1)(2)兩式得:T = mgsinθ + ma cosθ
解法二:下面嘗試一下能否獨(dú)立地解張力T 。將正交分解的坐標(biāo)選擇為:x——斜面方向,y——和斜面垂直的方向。這時(shí),在分解受力時(shí),只分解重力G就行了,但值得注意,加速度a不在任何一個(gè)坐標(biāo)軸上,是需要分解的。矢量分解后,如圖8所示。
根據(jù)獨(dú)立作用性原理,ΣFx = max
即:T - Gx = max
即:T - mg sinθ = m acosθ
顯然,獨(dú)立解T值是成功的。結(jié)果與解法一相同。
答案:mgsinθ + ma cosθ
思考:當(dāng)a>ctgθ時(shí),張力T的結(jié)果會(huì)變化嗎?(從支持力的結(jié)果N = mgcosθ-ma sinθ看小球脫離斜面的條件,求脫離斜面后,θ條件已沒(méi)有意義。答:T = m 。)
學(xué)生活動(dòng):用正交分解法解本節(jié)第2題“進(jìn)階練習(xí)2”
進(jìn)階練習(xí):如圖9所示,自動(dòng)扶梯與地面的夾角為30°,但扶梯的臺(tái)階是水平的。當(dāng)扶梯以a = 4m/s2的加速度向上運(yùn)動(dòng)時(shí),站在扶梯上質(zhì)量為60kg的人相對(duì)扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s2,試求扶梯對(duì)人的靜摩擦力f 。
解:這是一個(gè)展示獨(dú)立作用性原理的經(jīng)典例題,建議學(xué)生選擇兩種坐標(biāo)(一種是沿a方向和垂直a方向,另一種是水平和豎直方向),對(duì)比解題過(guò)程,進(jìn)而充分領(lǐng)會(huì)用牛頓第二定律解題的靈活性。
答:208N 。
3、如圖10所示,甲圖系著小球的是兩根輕繩,乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩,方位角θ已知,F(xiàn)將它們的水平繩剪斷,試求:在剪斷瞬間,兩種情形下小球的瞬時(shí)加速度。
解說(shuō):第一步,闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。
(學(xué)生活動(dòng))思考:用豎直的繩和彈簧懸吊小球,并用豎直向下的力拉住小球靜止,然后同時(shí)釋放,會(huì)有什么現(xiàn)象?原因是什么?
結(jié)論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變(胡克定律)。
第二步,在本例中,突破“繩子的拉力如何瞬時(shí)調(diào)節(jié)”這一難點(diǎn)(從即將開(kāi)始的運(yùn)動(dòng)來(lái)反推)。
知識(shí)點(diǎn),牛頓第二定律的瞬時(shí)性。
答案:a甲 = gsinθ ;a乙 = gtgθ 。
應(yīng)用:如圖11所示,吊籃P掛在天花板上,與吊籃質(zhì)量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住,當(dāng)懸掛吊籃的細(xì)繩被燒斷瞬間,P、Q的加速度分別是多少?
解:略。
答:2g ;0 。
三、牛頓第二、第三定律的應(yīng)用
要點(diǎn):在動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中,如果遇到幾個(gè)研究對(duì)象時(shí),就會(huì)面臨如何處理對(duì)象之間的力和對(duì)象與外界之間的力問(wèn)題,這時(shí)有必要引進(jìn)“系統(tǒng)”、“內(nèi)力”和“外力”等概念,并適時(shí)地運(yùn)用牛頓第三定律。
在方法的選擇方面,則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本,后者有局限,也有難度,但常常使解題過(guò)程簡(jiǎn)化,使過(guò)程的物理意義更加明晰。
對(duì)N個(gè)對(duì)象,有N個(gè)隔離方程和一個(gè)(可能的)整體方程,這(N + 1)個(gè)方程中必有一個(gè)是通解方程,如何取舍,視解題方便程度而定。
補(bǔ)充:當(dāng)多個(gè)對(duì)象不具有共同的加速度時(shí),一般來(lái)講,整體法不可用,但也有一種特殊的“整體方程”,可以不受這個(gè)局限(可以介紹推導(dǎo)過(guò)程)——
Σ= m1 + m2 + m3 + … + mn
其中Σ只能是系統(tǒng)外力的矢量和,等式右邊也是矢量相加。
1、如圖12所示,光滑水平面上放著一個(gè)長(zhǎng)為L(zhǎng)的均質(zhì)直棒,現(xiàn)給棒一個(gè)沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用,則棒中各部位的張力T隨圖中x的關(guān)系怎樣?
解說(shuō):截取隔離對(duì)象,列整體方程和隔離方程(隔離右段較好)。
答案:N = x 。
思考:如果水平面粗糙,結(jié)論又如何?
解:分兩種情況,(1)能拉動(dòng);(2)不能拉動(dòng)。
第(1)情況的計(jì)算和原題基本相同,只是多了一個(gè)摩擦力的處理,結(jié)論的化簡(jiǎn)也麻煩一些。
第(2)情況可設(shè)棒的總質(zhì)量為M ,和水平面的摩擦因素為μ,而F = μMg ,其中l(wèi)<L ,則x<(L-l)的右段沒(méi)有張力,x>(L-l)的左端才有張力。
答:若棒仍能被拉動(dòng),結(jié)論不變。
若棒不能被拉動(dòng),且F = μMg時(shí)(μ為棒與平面的摩擦因素,l為小于L的某一值,M為棒的總質(zhì)量),當(dāng)x<(L-l),N≡0 ;當(dāng)x>(L-l),N = 〔x -〈L-l〉〕。
應(yīng)用:如圖13所示,在傾角為θ的固定斜面上,疊放著兩個(gè)長(zhǎng)方體滑塊,它們的質(zhì)量分別為m1和m2 ,它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ1和μ2 ,系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑,則它們之間的摩擦力大小為:
A、μ1 m1gcosθ ; B、μ2 m1gcosθ ;
C、μ1 m2gcosθ ; D、μ1 m2gcosθ ;
解:略。
答:B 。(方向沿斜面向上。)
思考:(1)如果兩滑塊不是下滑,而是以初速度v0一起上沖,以上結(jié)論會(huì)變嗎?(2)如果斜面光滑,兩滑塊之間有沒(méi)有摩擦力?(3)如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子,上面的滑塊換成小球,它們以初速度v0一起上沖,球應(yīng)對(duì)盒子的哪一側(cè)內(nèi)壁有壓力?
解:略。
答:(1)不會(huì);(2)沒(méi)有;(3)若斜面光滑,對(duì)兩內(nèi)壁均無(wú)壓力,若斜面粗糙,對(duì)斜面上方的內(nèi)壁有壓力。
2、如圖15所示,三個(gè)物體質(zhì)量分別為m1 、m2和m3 ,帶滑輪的物體放在光滑水平面上,滑輪和所有接觸面的摩擦均不計(jì),繩子的質(zhì)量也不計(jì),為使三個(gè)物體無(wú)相對(duì)滑動(dòng),水平推力F應(yīng)為多少?
解說(shuō):
此題對(duì)象雖然有三個(gè),但難度不大。隔離m2 ,豎直方向有一個(gè)平衡方程;隔離m1 ,水平方向有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程;整體有一個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。就足以解題了。
答案:F = 。
思考:若將質(zhì)量為m3物體右邊挖成凹形,讓m2可以自由擺動(dòng)(而不與m3相碰),如圖16所示,其它條件不變。是否可以選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)腇′,使三者無(wú)相對(duì)運(yùn)動(dòng)?如果沒(méi)有,說(shuō)明理由;如果有,求出這個(gè)F′的值。
解:此時(shí),m2的隔離方程將較為復(fù)雜。設(shè)繩子張力為T(mén) ,m2的受力情況如圖,隔離方程為:
= m2a
隔離m1 ,仍有:T = m1a
解以上兩式,可得:a = g
最后用整體法解F即可。
答:當(dāng)m1 ≤ m2時(shí),沒(méi)有適應(yīng)題意的F′;當(dāng)m1 > m2時(shí),適應(yīng)題意的F′= 。
3、一根質(zhì)量為M的木棒,上端用細(xì)繩系在天花板上,棒上有一質(zhì)量為m的貓,如圖17所示。現(xiàn)將系木棒的繩子剪斷,同時(shí)貓相對(duì)棒往上爬,但要求貓對(duì)地的高度不變,則棒的加速度將是多少?
解說(shuō):法一,隔離法。需要設(shè)出貓爪抓棒的力f ,然后列貓的平衡方程和棒的動(dòng)力學(xué)方程,解方程組即可。
法二,“新整體法”。
據(jù)Σ= m1 + m2 + m3 + … + mn ,貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力,豎直向下,而貓的加速度a1 = 0 ,所以:
( M + m )g = m·0 + M a1
解棒的加速度a1十分容易。
答案:g 。
四、特殊的連接體
當(dāng)系統(tǒng)中各個(gè)體的加速度不相等時(shí),經(jīng)典的整體法不可用。如果各個(gè)體的加速度不在一條直線(xiàn)上,“新整體法”也將有一定的困難(矢量求和不易)。此時(shí),我們回到隔離法,且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。
解題思想:抓某個(gè)方向上加速度關(guān)系。方法:“微元法”先看位移關(guān)系,再推加速度關(guān)系。、
1、如圖18所示,一質(zhì)量為M 、傾角為θ的光滑斜面,放置在光滑的水平面上,另一個(gè)質(zhì)量為m的滑塊從斜面頂端釋放,試求斜面的加速度。
解說(shuō):本題涉及兩個(gè)物體,它們的加速度關(guān)系復(fù)雜,但在垂直斜面方向上,大小是相等的。對(duì)兩者列隔離方程時(shí),務(wù)必在這個(gè)方向上進(jìn)行突破。
(學(xué)生活動(dòng))定型判斷斜面的運(yùn)動(dòng)情況、滑塊的運(yùn)動(dòng)情況。
位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律,加速度矢量a1和a2也具有這樣的關(guān)系。
(學(xué)生活動(dòng))這兩個(gè)加速度矢量有什么關(guān)系?
沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標(biāo),可得:
a1y = a2y ①
且:a1y = a2sinθ ②
隔離滑塊和斜面,受力圖如圖20所示。
對(duì)滑塊,列y方向隔離方程,有:
mgcosθ- N = ma1y ③
對(duì)斜面,仍沿合加速度a2方向列方程,有:
Nsinθ= Ma2 ④
解①②③④式即可得a2 。
答案:a2 = 。
(學(xué)生活動(dòng))思考:如何求a1的值?
解:a1y已可以通過(guò)解上面的方程組求出;a1x只要看滑塊的受力圖,列x方向的隔離方程即可,顯然有mgsinθ= ma1x ,得:a1x = gsinθ 。最后據(jù)a1 = 求a1 。
答:a1 = 。
2、如圖21所示,與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ,可以無(wú)摩擦地在棒上滑動(dòng),開(kāi)始時(shí)與棒的A端相距b ,相對(duì)棒靜止。當(dāng)棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運(yùn)動(dòng),加速度為a(且a>gtgθ)時(shí),求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時(shí)間。
解說(shuō):這是一個(gè)比較特殊的“連接體問(wèn)題”,尋求運(yùn)動(dòng)學(xué)參量的關(guān)系似乎比動(dòng)力學(xué)分析更加重要。動(dòng)力學(xué)方面,只需要隔離滑套C就行了。
(學(xué)生活動(dòng))思考:為什么題意要求a>gtgθ?(聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”)
定性繪出符合題意的運(yùn)動(dòng)過(guò)程圖,如圖22所示:S表示棒的位移,S1表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標(biāo)后,S1x表示S1在x方向上的分量。不難看出:
S1x + b = S cosθ ①
設(shè)全程時(shí)間為t ,則有:
S = at2 ②
S1x = a1xt2 ③
而隔離滑套,受力圖如圖23所示,顯然:
mgsinθ= ma1x ④
解①②③④式即可。
答案:t =
另解:如果引進(jìn)動(dòng)力學(xué)在非慣性系中的修正式 Σ+ * = m (注:*為慣性力),此題極簡(jiǎn)單。過(guò)程如下——
以棒為參照,隔離滑套,分析受力,如圖24所示。
注意,滑套相對(duì)棒的加速度a相是沿棒向上的,故動(dòng)力學(xué)方程為:
F*cosθ- mgsinθ= ma相 (1)
其中F* = ma (2)
而且,以棒為參照,滑套的相對(duì)位移S相就是b ,即:
b = S相 = a相 t2 (3)
解(1)(2)(3)式就可以了。
第二講 配套例題選講
教材范本:龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓(xùn)練教材》,知識(shí)出版社,2002年8月第一版。
例題選講針對(duì)“教材”第三章的部分例題和習(xí)題。
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專(zhuān)區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專(zhuān)區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話(huà):027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com