題目列表(包括答案和解析)
(本小題滿分16分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:函數(shù)在上單調(diào)遞增;(Ⅱ)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn),求的值;
(Ⅲ)若存在,使得,試求的取值范圍.
(本小題滿分16分) 設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù). (1)若,求的取值范圍; (2)求的最小值; (3)設(shè)函數(shù),求不等式的解集.
(本小題滿分16分)
按照某學(xué)者的理論,假設(shè)一個(gè)人生產(chǎn)某產(chǎn)品單件成本為元,如果他賣出該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為;如果他買進(jìn)該產(chǎn)品的單價(jià)為元,則他的滿意度為.如果一個(gè)人對(duì)兩種交易(賣出或買進(jìn))的滿意度分別為和,則他對(duì)這兩種交易的綜合滿意度為.
現(xiàn)假設(shè)甲生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為12元和5元,乙生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的單件成本分別為3元和20元,設(shè)產(chǎn)品A、B的單價(jià)分別為元和元,甲買進(jìn)A與賣出B的綜合滿意度為,乙賣出A與買進(jìn)B的綜合滿意度為
(1)求和關(guān)于、的表達(dá)式;當(dāng)時(shí),求證:=;
(2)設(shè),當(dāng)、分別為多少時(shí),甲、乙兩人的綜合滿意度均最大?最大的綜合滿意度為多少? (3)記(2)中最大的綜合滿意度為,試問能否適當(dāng)選取、的值,使得和同時(shí)成立,但等號(hào)不同時(shí)成立?試說明理由。
(本小題滿分16分)已知⊙和點(diǎn).
(Ⅰ)過點(diǎn)向⊙引切線,求直線的方程;
(Ⅱ)求以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長(zhǎng)4的⊙的方程;
(Ⅲ)設(shè)為(Ⅱ)中⊙上任一點(diǎn),過點(diǎn)向⊙引切線,切點(diǎn)為Q. 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
(本小題滿分16分)已知⊙和點(diǎn).
(Ⅰ)過點(diǎn)向⊙引切線,求直線的方程;
(Ⅱ)求以點(diǎn)為圓心,且被直線截得的弦長(zhǎng)為 4的⊙的方程;
(Ⅲ)設(shè)為(Ⅱ)中⊙上任一點(diǎn),過點(diǎn)向⊙引切線,切點(diǎn)為Q. 試探究:平面內(nèi)是否存在一定點(diǎn),使得為定值?若存在,請(qǐng)舉出一例,并指出相應(yīng)的定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
一、填空題
1. 2. 3.既不充分條件又不必要條件 4.[-4,-π][0,π]
5. 6.6 7. 8.2個(gè) 9.等腰直角三角形
10. 11.(-3,4),(-1,2) 12.①、②、⑤ 13.
14.C
二、解答題
15.(本小題滿分14分)
解:(1)設(shè)由得
它的解集為(1,3)得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……(1) ……3分
有等根得
……(2) ……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為 ……8分
(2)由
及 ……10分
由 ……12分
解得 ……14分
16.(本小題滿分14分)
解:由得, ………………………………2分
又
, ……………………………………6分
由得, …………………………10分
. ……14分
17.(本小題滿分15分).
已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為,且不等式的解集為.
(1)若方程有兩個(gè)相等的根,求的解析式;
(2)若的最大值為正數(shù),求的取值范圍.
解:(1)設(shè)由得
它的解集為(1,3)得方程的兩根為1和3且a<0
即 ……(1) ……3分
有等根得
……(2) ……6分
由(1)(2)及得
故的解析式為 ……8分
(2)由
及 ……10分
由 ……12分
解得 ……15分
18解:(1)當(dāng)m=2時(shí),A=(-2,2),B=(-1,3)∴ AB=(-1,2).……5分
(2)當(dāng)m<0時(shí),B=(1+m,1-m)
要使BA,必須,此時(shí)
當(dāng)m=0時(shí),B=,BA;適合 ……10分
當(dāng)m>0時(shí),B=(1-m,m+1)
要使BA,必須,此時(shí)0<m≤1. ……13分
∴綜上可知,使BA的實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1,1] ……15分
法2
要使BA,必須,此時(shí)
∴使BA的實(shí)數(shù)m的取值范圍為[-1,1] ……15分
18.(本小題滿分15分)
(1)解:由得,
. ………………2分
設(shè)
=<0(討論a>1和0<a<1),
得f(x)為R上的增函數(shù). ………………5分
(2)由, …………7分
即得, ………………9分
得1<m<. ………………10分
(3)f(x)在R上為增函數(shù))f(x) 當(dāng)時(shí))f(x)-4的值恒為負(fù)數(shù), ………13分
而f(x)在R上單調(diào)遞增得f(2)-40, ………………15分
19.(本小題滿分16分)
解:(1)∵f(x+1)為偶函數(shù),
∴恒成立,
即(
∴.
∵函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x相切,
∴二次方程有兩相等實(shí)數(shù)根,
∴
………………6分
(2)
………………8分
即為方程的兩根
. ………………11分
∵m<n且.
故當(dāng);
當(dāng)k>1時(shí),
當(dāng)k=1時(shí),[m,n]不存在. ………………16分
20.(本小題滿分16分)
解:(1)若為函數(shù)f(x)不動(dòng)點(diǎn),則有,
整理得 ① ………………2分
根據(jù)題意可判斷方程①有兩個(gè)根,且這兩個(gè)根互為相反數(shù),得
>
所以b=3 ,a>0 ………………4分
而 ,所以.
即b=3,a>0,且a≠9. ………………5分
(2)在(1)的條件下,當(dāng)a=8時(shí),.
由 ,解得兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為,……6分
設(shè)點(diǎn)P(x ,y),則y>3 ,即 >3解得x<-3 . ………………8分
設(shè)點(diǎn)P(x,y)到直線A
. ………………10分
當(dāng)且僅當(dāng),即x=―4時(shí),取等號(hào),此時(shí)P(―4,4). ……12分
(3)命題正確. ………………13分
因?yàn)?sub>f(x)定義在R上的奇函數(shù),所以f(―0)=―f(0) ,所以0是奇函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
設(shè)c≠0是奇函數(shù)f(x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則f(c)=c ,由,所以―c也是f (x)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).
所以奇函數(shù)f(x)的非零不動(dòng)點(diǎn)如果存在,則必成對(duì)出現(xiàn),故奇函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個(gè). ………………16分
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