題目列表(包括答案和解析)
已知是公差為d的等差數(shù)列,
是公比為q的等比數(shù)列
(Ⅰ)若 ,是否存在
,有
?請(qǐng)說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若(a、q為常數(shù),且aq
0)對(duì)任意m存在k,有
,試求a、q滿足的充要條件;
(Ⅲ)若試確定所有的p,使數(shù)列
中存在某個(gè)連續(xù)p項(xiàng)的和式數(shù)列中
的一項(xiàng),請(qǐng)證明.
【解析】第一問(wèn)中,由得
,整理后,可得
、
,
為整數(shù)
不存在
、
,使等式成立。
(2)中當(dāng)時(shí),則
即
,其中
是大于等于
的整數(shù)
反之當(dāng)時(shí),其中
是大于等于
的整數(shù),則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數(shù)
(3)中設(shè)當(dāng)
為偶數(shù)時(shí),
式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
式不成立。由
式得
,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng)
,
為奇數(shù)時(shí),
結(jié)合二項(xiàng)式定理得到結(jié)論。
解(1)由得
,整理后,可得
、
,
為整數(shù)
不存在
、
,使等式成立。
(2)當(dāng)時(shí),則
即
,其中
是大于等于
的整數(shù)反之當(dāng)
時(shí),其中
是大于等于
的整數(shù),則
,
顯然,其中
、
滿足的充要條件是
,其中
是大于等于
的整數(shù)
(3)設(shè)當(dāng)
為偶數(shù)時(shí),
式左邊為偶數(shù),右邊為奇數(shù),
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
式不成立。由
式得
,整理
當(dāng)時(shí),符合題意。當(dāng)
,
為奇數(shù)時(shí),
由
,得
當(dāng)
為奇數(shù)時(shí),此時(shí),一定有
和
使上式一定成立。
當(dāng)
為奇數(shù)時(shí),命題都成立
設(shè)函數(shù)f(x)=在[1,+∞
上為增函數(shù).
(1)求正實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)比較的大小,說(shuō)明理由;
(3)求證:(n∈N*, n≥2)
【解析】第一問(wèn)中,利用
解:(1)由已知:,依題意得:
≥0對(duì)x∈[1,+∞
恒成立
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1,+∞恒成立 ∴a-1≥0即:a≥1
(2)∵a=1 ∴由(1)知:f(x)=在[1,+∞)上為增函數(shù),
∴n≥2時(shí):f()=
(3) ∵ ∴
已知橢圓的離心率為
,以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線
相切.
(I)求橢圓的方程;
(II)若過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線與橢圓
相交于兩點(diǎn)
,設(shè)
為橢圓上一點(diǎn),且滿足
(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),當(dāng)
<
時(shí),求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【解析】本試題主要考查了橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。
第一問(wèn)中,利用
第二問(wèn)中,利用直線與橢圓聯(lián)系,可知得到一元二次方程中,可得k的范圍,然后利用向量的
<
不等式,表示得到t的范圍。
解:(1)由題意知
D
[解析] 依題意得0<a<1,于是由f(1-)>1得loga(1-
)>logaa,0<1-
<a,由此解得1<x<
,因此不等式f(1-
)>1的解集是(1,
),選D.
已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x)=,a≠0,f(1)=1,且使f(x)=2x成立的實(shí)數(shù)x只有一個(gè).
(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式;
(2)若數(shù)列{an}滿足a1=,an+1=f(an),bn=
-1,n∈N*,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,并求出{bn}的通項(xiàng)公式;
(3)在(2)的條件下,證明:a1b1+a2b2+…+anbn<1(n∈N*).
【解析】解: (1)由f(x)=,f(1)=1,得a=2b+1.
由f(x)=2x只有一解,即=2x,
也就是2ax2-2(1+b)x=0(a≠0)只有一解,
∴b=-1.∴a=-1.故f(x)=.…………………………………………4分
(2)an+1=f(an)=(n∈N*),bn=
-1, ∴
=
=
=
,
∴{bn}為等比數(shù)列,q=.又∵a1=
,∴b1=
-1=
,
bn=b1qn-1=n-1=
n(n∈N*).……………………………9分
(3)證明:∵anbn=an=1-an=1-
=
,
∴a1b1+a2b2+…+anbn=+
+…+
<
+
+…+
==1-
<1(n∈N*).
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