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(1)求以O為頂點.軸為對稱軸.且過A.B兩點的拋物線方程,(2)設Q為拋物線準線上任意一點.過Q作拋物線的兩條切線.切點分別為M.N.求證:直線MN過一定點. 【查看更多】

如圖，直角坐標系xOy中，Rt△ABC中∠C=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12.若一雙曲線E以B、C為焦點，且經過A、D兩點。

（1）求雙曲線的方程；

（2）若過點P（m,0）（m為非零常數）的直線L與雙曲線E相交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且，問x軸上是否存在定點G，使？若存在，求出所有這樣定點G的坐標；若不存在，請說明理由。

設函數，其中．

（I）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；

（Ⅱ）當時，設，討論的單調性；

（Ⅲ）在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

設函數，其中．
（I）若函數圖象恒過定點P，且點P關于直線的對稱點在的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當時，設，討論的單調性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設，曲線上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

設函數

，其中

．
（I）若函數

圖象恒過定點P，且點P關于直線

的對稱點在

的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當

時，設

，討論

的單調性；
（Ⅲ）在(I)的條件下，設

，曲線

上是否存在兩點P、Q，使△OPQ(O為原點)是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．

（2013•懷化三模）設函數f(x)=

1

3

mx3+(4+m)x2，g(x)=aln(x-1)，其中a≠0．
（Ⅰ）若函數y=g（x）圖象恒過定點P，且點P關于直線x=

3

2

的對稱點在y=f（x）的圖象上，求m的值；
（Ⅱ）當a=8時，設F（x）=f′（x）+g（x+1），討論F（x）的單調性；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設G(x)=

f(x)，x≤2

g(x)，x＞2

，曲線y=G（x）上是否存在兩點P、Q，使△OPQ（O為原點）是以O為直角頂點的直角三角形，且斜邊的中點在y軸上？如果存在，求a的取值范圍；如果不存在，說明理由．