設(shè)x1.x2(x1≠x2)是函數(shù)上的兩個(gè)極值點(diǎn). 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)其定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x1與x2都有,則稱函數(shù)f(x)為上凸函數(shù). 若函數(shù)f(x)為上凸函數(shù),則對(duì)定義域內(nèi)任意x1、x2、x3,…,xn都有(當(dāng)x1=x2=x3=…=xn時(shí)等號(hào)成立),稱此不等式為琴生不等式,現(xiàn)有下列命題:
①f(x)=lnx(x>0)是上凸函數(shù);
②二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是上凸函數(shù)的充要條件是a>0;
③f(x)是上凸函數(shù),若A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是f(x)圖象上任意兩點(diǎn),點(diǎn)C在線段AB上,且,則
④設(shè)A,B,C是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角,則sinA+sinB+sinC的最大值是
其中,正確命題的序號(hào)是(     )(寫出所有你認(rèn)為正確命題的序號(hào)).

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已知函數(shù)f(x)=x(x-6)+alnx在x∈(2,+∞)上不具有單調(diào)性.
(I)求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)若f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),設(shè)g(x)=f′(x)+6-
2
x2
,試證明:對(duì)任意兩個(gè)不相等正數(shù)x1、x2,不等式|g(x1)-g(x2)|>
38
27
|x1-x2|
恒成立.

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+
1
2
ax2+ax-2(a∈R)

(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上為單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)設(shè)A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),若直線AB的斜率不小于-
5
6
,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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已知函數(shù)f(x)=x4+ax3+bx2+c,其圖象在y軸上的截距為-5,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,在[1,2]上單調(diào)遞減,又當(dāng)x=0,x=2時(shí)取得極小值.
(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)能否找到垂直于x軸的直線,使函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于此直線對(duì)稱,并證明你的結(jié)論;
*(Ⅲ)設(shè)使關(guān)于x的方程f(x)=λ2x2-5恰有三個(gè)不同實(shí)根的實(shí)數(shù)λ的取值范圍為集合A,且兩個(gè)非零實(shí)根為x1、x2.試問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m2+tm+2≤|x1-x2|對(duì)任意t∈[-3,3],λ∈A恒成立?若存在,求m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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已知函數(shù)f(x)=ax+bsinx,當(dāng)x=
π
3
時(shí),f(x)取得極小值
π
3
-
3

(1)求a,b的值;
(2)設(shè)直線l:y=g(x),曲線S:y=F(x).若直線l與曲線S同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:
①直線l與曲線S相切且至少有兩個(gè)切點(diǎn);
②對(duì)任意x∈R都有g(shù)(x)≥F(x).則稱直線l為曲線S的“上夾線”.
試證明:直線l:y=x+2是曲線S:y=ax+bsinx的“上夾線”.
(3)記h(x)=
1
8
[5x-f(x)]
,設(shè)x1是方程h(x)-x=0的實(shí)數(shù)根,若對(duì)于h(x)定義域中任意的x2、x3,當(dāng)|x2-x1|<1,且|x3-x1|<1時(shí),問(wèn)是否存在一個(gè)最小的正整數(shù)M,使得|h(x3)-h(x2)|≤M恒成立,若存在請(qǐng)求出M的值;若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

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