題目列表(包括答案和解析)
(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。
已知函數(shù)的反函數(shù)。定義:若對給定的實數(shù),函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”。
(1) 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2) 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3) 設(shè)函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”。求的表達式。
(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分3分,第2小題滿分6分,
第3小題滿分7分.
已知雙曲線.
(1)求雙曲線的漸近線方程;
(2)已知點的坐標(biāo)為.設(shè)是雙曲線上的點,是點關(guān)于原點的對稱點.
記.求的取值范圍;
(3)已知點的坐標(biāo)分別為,為雙曲線上在第一象限內(nèi)的點.記為經(jīng)過原點與點的直線,為截直線所得線段的長.試將表示為直線的斜率的函數(shù).
(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分、第3小題滿分6分.
設(shè),常數(shù),定義運算“”:,定義運算“”: ;對于兩點、,定義.
(1)若,求動點的軌跡;
(2)已知直線與(1)中軌跡交于、兩點,若,試求的值;
(3)在(2)中條件下,若直線不過原點且與軸交于點S,與軸交于點T,并且與(1)中軌跡交于不同兩點P、Q , 試求的取值范圍.
(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.
已知函數(shù)的反函數(shù).定義:若對給定的實數(shù),函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“和性質(zhì)”;若函數(shù)與互為反函數(shù),則稱滿足“積性質(zhì)”.
(1) 判斷函數(shù)是否滿足“1和性質(zhì)”,并說明理由;
(2) 求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);
(3) 設(shè)函數(shù)對任何,滿足“積性質(zhì)”.求的表達式.
(本題滿分16分)本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分4分,第3小題滿分8分。
已知雙曲線C的中心是原點,右焦點為F,一條漸近線m:,設(shè)過點A的直線l的方向向量。
(1)求雙曲線C的方程;
(2)若過原點的直線,且a與l的距離為,求K的值;
(3)證明:當(dāng)時,在雙曲線C的右支上不存在點Q,使之到直線l的距離為。
一、填空題:
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.2009 9.4個 10.①② 11.
二、選擇題:
12.B 13.C 14.D 15.D
三、解答題:
16.解:(Ⅰ)因為點的坐標(biāo)為,根據(jù)三角函數(shù)定義可知,
,, 2分
所以 4分
(Ⅱ)因為三角形為正三角形,所以,,, 5分
所以
7分
所以
。 11分
17.方法一:(I)證明:連結(jié)OC,因為所以
又所以, 2分
在中,由已知可得 而
所以所以即,
而 所以平面。 5分
(II)解:取AC的中點M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角, 7分
在中,因為是直角斜邊AC上的中線,所以所以
所以異面直線AB與CD所成角的大小為。 12分
18.解:(Ⅰ)由年銷售量為件,按利潤的計算公式,有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤分別為:
且 2分
所以 5分
(Ⅱ)因為所以為增函數(shù),
,所以時,生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤為(萬美元)
又,所以時,生產(chǎn)B產(chǎn)品
有最大利潤為460(萬美元) 8分
現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤最大,為此,我們作差比較:
10分
所以:當(dāng)時,投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤;
當(dāng)時,生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤;
當(dāng)時,投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤。12分
19.解:(1)當(dāng)時, ,成立,所以是偶函數(shù);
3分
當(dāng)時,,這時所以是非奇非偶函數(shù); 6分
(2)當(dāng)時,設(shè)且,則
9分
當(dāng)時,因為且,所以
所以,
,所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 14分
20.解:(Ⅰ)由拋物線:知,設(shè),在上,且,所以,得,代入,得,
所以。 4分
在上,由已知橢圓的半焦距,于是
消去并整理得 , 解得(不合題意,舍去).
故橢圓的方程為。 7分
(另法:因為在上,
所以,所以,以下略。)
(Ⅱ)由得,所以點O到直線的距離為
,又,
所以,
且。 10分
下面視提出問題的質(zhì)量而定:
如問題一:當(dāng)面積為時,求直線的方程。() 得2分
問題二:當(dāng)面積取最大值時,求直線的方程。() 得4分
21.解:(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
(2)由題意知數(shù)列的前34項成首項為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項開始,奇數(shù)項均為3,偶數(shù)項均為1, 6分
從而= 8分
= 10分
(3)證明:①若,則題意成立, 12分
②若,此時數(shù)列的前若干項滿足,即,
設(shè),則當(dāng)時,,
從而此時命題成立; 14分
③若,由題意得,則由②的結(jié)論知此時命題也成立,
綜上所述,原命題成立。 16分
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