題目列表(包括答案和解析)
已知函數(shù),給出下列四個(gè)命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱;②函數(shù)的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱;③函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減;④將函數(shù)圖象向左平移一個(gè)單位,再向下平移一個(gè)單位后與函數(shù)
的圖象重合。其中正確命題的序號(hào)是---------------。
已知函數(shù),給出下列四個(gè)命題:
①是函數(shù)
圖像的一個(gè)對(duì)稱中心;
②的最小正周期是
;
③在區(qū)間
上是增函數(shù);
④的圖象關(guān)于直線
對(duì)稱;
⑤時(shí),
的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2013122109410101735103/SYS201312210941229173734413_ST.files/image009.png">
其中正確的命題為 ( )
A.①②④ B.③④⑤ C.②③ D.③④
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
1.B 2. B 3. C 4. C 5.D 6. B 7.C 8. B.
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,共30分)
9. 6,17,28,39,40,51,62,73
. 10. . 11. 0.
12. 20.
13. .
14.
. 15.
.
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
16.(本小題滿分12分)
解:(Ⅰ),即
,
∴,∴
.∵
,∴
.
(Ⅱ)mn
,
|m
n|
.
∵,∴
,∴
.從而
.
∴當(dāng)=1,即
時(shí),|m
n|
取得最小值
.
所以,|mn|
.
17.(本小題滿分12分)
解:(1)設(shè)擲兩顆正方體骰子所得的點(diǎn)數(shù)記為(x,y),其中,
則獲一等獎(jiǎng)只有(6,6)一種可能,其概率為:;
獲二等獎(jiǎng)共有(6,5)、(5,6)、(4,6)、(6,4)、(5,5)共5種可能,其概率為:;
設(shè)事件A表示“同行的三位會(huì)員一人獲一等獎(jiǎng)、兩人獲二等獎(jiǎng)”,則有:
P(A)=;
ξ
30-a
-70
0
30
p
(2)設(shè)俱樂(lè)部在游戲環(huán)節(jié)收益為ξ元,則ξ的可能取值為,
,0,
,…7分
其分布列為:
則:Eξ=;
由Eξ=0得:a=310,即一等獎(jiǎng)可設(shè)價(jià)值為310 元的獎(jiǎng)品。
18.(本小題滿分14分)
證明:(1)取EC的中點(diǎn)是F,連結(jié)BF,
則BF//DE,∴∠FBA或其補(bǔ)角即為異面直線DE與AB所成的角.
在△BAF中,AB=,BF=AF=
.∴
.
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.………5分
(2)AC⊥平面BCE,過(guò)C作CG⊥DE交DE于G,連AG.
可得DE⊥平面ACG,從而AG⊥DE
∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角.
在△ACG中,∠ACG=90°,AC=4,CG=
∴.∴
.
∴二面角A-ED-B的的正弦值為.
(3)
∴幾何體的體積V為16.
方法二:(坐標(biāo)法)(1)以C為原點(diǎn),以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.
則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,2),E(0,0,4)
,∴
∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為.
(2)平面BDE的一個(gè)法向量為,
設(shè)平面ADE的一個(gè)法向量為,
∴
從而,
令,則
,
∴二面角A-ED-B的的正弦值為.
(3),∴幾何體的體積V為16.
19.(本小題滿分14分)
【解】(Ⅰ)法1:依題意,顯然的斜率存在,可設(shè)直線
的方程為
,
整理得 . ①
設(shè)是方程①的兩個(gè)不同的根,
∴, ②
且,由
是線段
的中點(diǎn),得
,∴
.
解得,代入②得,
的取值范圍是(12,+∞).
于是,直線的方程為
,即
法2:設(shè),
,則有
依題意,,∴
.
∵是
的中點(diǎn),
∴,
,從而
.
又由在橢圓內(nèi),∴
,
∴的取值范圍是
.
直線的方程為
,即
.
(Ⅱ)∵垂直平分
,∴直線
的方程為
,即
,
代入橢圓方程,整理得. ③
又設(shè),
的中點(diǎn)為
,則
是方程③的兩根,
∴.
到直線
的距離
,故所求的以線段
的中點(diǎn)
為圓心且與直線
相切的圓的方程為:
.
20.(本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:由題意得,,所以
=
(Ⅱ)證:令,
,則
=1
所以=
(1),
=
(2),
(2)―(1),得―
=
,
化簡(jiǎn)得(3)
(4),(4)―(3)得
在(3)中令,得
,從而
為等差數(shù)列
(Ⅲ)記,公差為
,則
=
則,
則,當(dāng)且僅當(dāng)
,即
時(shí)等號(hào)成立
21.(本小題滿分14分)
解:(1)由題意,≥0在
上恒成立,即
.
∵θ∈(0,π),∴.故
在
上恒成立,
只須,即
,只有
.結(jié)合θ∈(0,π),得
.
(2)由(1),得.
.
∵在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),
∴或者
在[1,+∞)恒成立.
等價(jià)于
,即
,
而 ,(
)max=1,∴
.
等價(jià)于
,即
在[1,+∞)恒成立,
而∈(0,1],
.
綜上,m的取值范圍是.
(3)構(gòu)造,
.
當(dāng)時(shí),
,
,
,所以在[1,e]上不存在一個(gè)
,使得
成立.
當(dāng)時(shí),
.
因?yàn)?sub>,所以
,
,所以
在
恒成立.
故在
上單調(diào)遞增,
,只要
,
解得.故
的取值范圍是
.
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