已知集合M是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù)；
②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．
（Ⅰ）判斷函數(shù)y=-x³是否屬于集合M？并說明理由．若是，請(qǐng)找出區(qū)間[a，b]；
（Ⅱ）若函數(shù)y=

x-1

+t∈M，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

已知函數(shù)y=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（Ⅰ）如果函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）的值域?yàn)閇6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函數(shù)y=x²+

c

x2

（常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（Ⅲ）對(duì)函數(shù)y=x+

a

x

和y=x²+

a

x2

（常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)F（x）=（x²+

1

x

）ⁿ+（

1

x2

+x）ⁿ（n是正整數(shù)）在區(qū)間[

1

2

，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．

已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：在定義域內(nèi)存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函數(shù)f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）設(shè)函數(shù)f(x)=lg

a

x2+1

∈M，求a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=2^x圖象與函數(shù)y=-x的圖象有交點(diǎn)，證明：函數(shù)f（x）=2^x+x²∈M．