已知數(shù)列的前項和為，且 (N^*),其中．

(Ⅰ) 求的通項公式；

(Ⅱ) 設 (N^*).

①證明： ；

② 求證：.

【解析】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式的求解和運用。運用關系式，表示通項公式，然后得到第一問，第二問中利用放縮法得到，②由于，

所以利用放縮法，從此得到結論。

解：(Ⅰ)當時，由得.  ……2分

若存在由得，

從而有，與矛盾，所以.

從而由得得.  ……6分

 (Ⅱ)①證明：

證法一：∵∴

∴ 

∴.…………10分

證法二：，下同證法一.           ……10分

證法三：（利用對偶式）設，，

則.又，也即，所以，也即，又因為，所以.即

                    ………10分

證法四：（數(shù)學歸納法）①當時, ,命題成立;

   ②假設時,命題成立,即,

   則當時,

    即

即

故當時，命題成立.

綜上可知，對一切非零自然數(shù)，不等式②成立.           ………………10分

②由于，

所以，

從而.

也即

已知，函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．

  （Ⅰ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

  （Ⅱ）設數(shù)列的通項，是前項和，證明：．

【解析】本試題主要考查導數(shù)在研究函數(shù)中的運用，求解函數(shù)給定區(qū)間的最值問題，以及能結合數(shù)列的相關知識，表示數(shù)列的前n項和，同時能構造函數(shù)證明不等式的數(shù)學思想。是一道很有挑戰(zhàn)性的試題。

數(shù)列，（）由下列條件確定：①；②當時，與滿足：當時，,；當時，，.

（Ⅰ）若，，求，，，并猜想數(shù)列的通項公式（不需要證明）；

（Ⅱ）在數(shù)列中，若(,且)，試用表示，；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，設數(shù)列滿足，， (其中為給定的不小于2的整數(shù))，求證：當時，恒有.

（08年黃岡市質檢文） （14分） 把自然數(shù)按上小下大、左小右大的原則排成如圖的三角形數(shù)表（每行比上一行多一個數(shù)）．設是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)的第個數(shù)（如）．

⑴試用表示（不要求證明）；

⑵若，求的值；

⑶記三角形數(shù)表從上往下數(shù)第行各數(shù)和為，令，若數(shù)列的前項和為，求．