(1)求證平面, 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,給定兩點A(1,0),B(0,-2),點C滿足
OC
OA
OB
,其中α,β∈R,且α-2β=1.
(Ⅰ)求點C的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點C的軌跡與雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
交于兩點M,N,且以MN為直徑的圓過原點,求證:
1
a2
-
1
b2
為定值.

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平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,給定兩點M(1,-3)N(5,1),若點C滿足
OC
=t
OM
+(1-t)
ON
(t∈R)

(Ⅰ)求點C的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)點C的軌跡與拋物線y2=4x交于A、B兩點,求證:
OA
OB
;
(Ⅲ)求以AB為直徑的圓的方程.

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平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A1(x1,y1),A2(x2,y2),…,An(xn,yn)是直線l:y=kx+b上的n個點
(n∈N*,k、b均為非零常數(shù)).
(1)若數(shù)列{xn}成等差數(shù)列,求證:數(shù)列{yn}也成等差數(shù)列;
(2)若點P是直線l上一點,且
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
,求a1+a2的值;
(3)若點P滿足
OP
=a1
OA1
+a2
OA2
+…+an
OAn
,我們稱
OP
是向量
OA1
OA2
,…,
OAn
的線性組合,{an}是該線性組合的系數(shù)數(shù)列.當(dāng)
OP
是向量
OA1
OA2
,…,
OAn
的線性組合時,請參考以下線索:
①系數(shù)數(shù)列{an}需滿足怎樣的條件,點P會落在直線l上?
②若點P落在直線l上,系數(shù)數(shù)列{an}會滿足怎樣的結(jié)論?
③能否根據(jù)你給出的系數(shù)數(shù)列{an}滿足的條件,確定在直線l上的點P的個數(shù)或坐標(biāo)?
試提出一個相關(guān)命題(或猜想)并開展研究,寫出你的研究過程.[本小題將根據(jù)你提出的命題(或猜想)的完備程度和研究過程中體現(xiàn)的思維層次,給予不同的評分].

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13、求證:兩條異面直線不能同時和一個平面垂直;

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平面內(nèi)n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條不共點.
(1)設(shè)這n條直線互相分割成f(n)條線段或射線,猜想f(n)的表達(dá)式并給出證明;
(2)求證:這n條直線把平面分成
n(n+1)2
+1
個區(qū)域.

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1.C      2.C      3.B       4.A      5.C      6.C      7.D      8.C      9.D      10.B

1l.B      12.A

2.解析:

       ,∴選C.

3.解析:是增函數(shù) 

       故,即

       又

       ,故選B.

4.解析:如圖作出可行域,作直線,平移直線位置,使其經(jīng)過點.此時目標(biāo)函數(shù)取得最大值(注意反號)

       ,故選A

5.解析:設(shè)有人投中為事件,則,

       故選C.

6.解析:展開式中通項;

      

       由,得,故選C.

7.解析:

       由

,故選D.

8.略

9.解析:由得準(zhǔn)線方程,雙曲線準(zhǔn)線方程為

       ,解得

       ,故選D.

10.解析:設(shè)正四面體的棱長為2,取中點為,連接,則所成的角,在

,故選B.

11.解析:

由題意,則,故選B.

12.解析:由已知,

       為球的直么

       ,又,

       設(shè),則

       ,

      

       又由,解得

       ,故選A.

另法:將四面體置于正方休中.

       正方體的對角線長為球的直徑,由此得,然后可得

二、填空題

13.3;解析:上的投影是

14.(0.2);解析:由,解得

15.

解析:,

      

       由余弦定理為鈍角

       ,即,

       解得

16.②③;

解析:容易知命題①是錯的,命題②、③都是對的,對于命題④我們考查如圖所示的正方體,政棱長為,顯然為平面內(nèi)兩條距離為的平行直線,它們在底面內(nèi)的射影、仍為兩條距離為的平行直線.但兩平面卻是相交的.

三、

17.解:(1),

              ,

,故

       (2)

              由

設(shè)邊上的高為。則

18.(1)設(shè)甲、乙兩人同時參加災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件,則

(2)記甲、乙兩人同時參加同一災(zāi)區(qū)服務(wù)為事件,那么

19.解:

      

(1)平面

           ∵二面角為直二面角,且,

              平面              平面

(2)(法一)連接交于點,連接是邊長為2的正方形,                   ,

平面,由三垂線定理逆定理得

是二面角的平面角

由(1)平面,

中,

∴在中,

故二面角等于

(2)(法二)利用向量法,如圖以之中點為坐標(biāo)原點建立空間坐標(biāo)系,則

             

             

              ,

              設(shè)平面的法向量分別為,則由

              ,而平面的一個法向理

             

              故所求二面角等于

20.解:(1)由題設(shè),即

              易知是首項為,公差為2的等差數(shù)列,

           ∴通項公式為,

    (2)由題設(shè),,得是以公比為的等比數(shù)列.

       

        由

 

21.解:(1)由題意,由拋物線定義可求得曲線的方程為

(2)證明:設(shè)點、的坐標(biāo)分別為

             若直線有斜率時,其坐標(biāo)滿足下列方程組:

              ,        

              若沒有斜率時,方程為

              又

             

              ;又,

                         

22.(1)解:方程可化為

當(dāng)時,,又,于是,解得,故

       (2)解:設(shè)為曲線上任一點,由知曲線在點處的切線方程為,即

              令,得,從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為

,得,從而得切線與直線的交點坐標(biāo)為.所以點處的切線與直線所圍成的三角形面積為.故曲線上任一點處的切線與直線所圍成的三角形的面積為定值,此定值為6.

 

 

 


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