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題目列表(包括答案和解析)

(本題12分)已知向量

    (1)求cos ()的值;

    (2)若0<,<0,且sin=,求sin

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(本題12分)已知數(shù)列是等差數(shù)列,a2 = 3,a5 = 6,數(shù)列的前n項(xiàng)和是Tn,且Tn +

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和Mn;

(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)記cn =,求的前n項(xiàng)和Sn

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(本題12分)在如圖所示的四面體ABCD中,AB、BC、CD兩兩互相垂直,且BC=CD=1。(1)求證:平面ACD⊥平面ABC;(2)求二面角C-AB-D的大小。

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(本題12分)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)锳,集合,

(1)求;  (2)若,求的取值范圍。

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(本題12分)某研究所計(jì)劃利用“神七”宇宙飛船進(jìn)行新產(chǎn)品搭載實(shí)驗(yàn),計(jì)劃搭載新產(chǎn)品A、B,該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實(shí)驗(yàn)費(fèi)用和預(yù)計(jì)產(chǎn)生收益來決定具體安排,通過調(diào)查,有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:

產(chǎn)品A(件)

產(chǎn)品B(件)

研制成本、搭載費(fèi)用之和(萬元)

20

30

計(jì)劃最大資金額300萬元

產(chǎn)品重量(千克)

10

5

最大搭載重量110千克

預(yù)計(jì)收益(萬元)

80

60

如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進(jìn)行搭載,才能使總預(yù)計(jì)收益達(dá)到最大,最大收益是多少?

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一、選擇題(本大題共12小題,每題5分,共60分)

1.A    2.B    3.C    4.A    5.D    6.C    7.B    8.C    9.A

10.B   11.(理)C(文)B       12.D

二、填空題(本大題共4小題,每題4分,共16分)

13.                           14.②③                 15.47                    16.□

三、解答題(本大題共6小題,共計(jì)76分)

17.解:

   (1)依題意函數(shù)的圖象按向量平移后得

                                                ………………………2分

       即=                                                ………………………4分

       又

       比較得a=1,b=0                                                                  ………………………6分

   (2)

       =                                                             ………………………9分

      

      

       ∴的單調(diào)增區(qū)間為[,]          ……………………12分

18.解:

   (1)設(shè)連對的個(gè)數(shù)為y,得分為x

       因?yàn)閥=0,1,2,4,所以x=0,2,4,8.

      

x

0

2

4

8

   

       于是x的分布列為

……9分

 

 

   (2)Ex=0×+2×+4×+8×=2

       即該人得分的期望為2分。                                                     ……………………12分

   (文)

   (1)從口袋A中摸出的3個(gè)球?yàn)樽罴衙蚪M合即為從口袋A中摸出2個(gè)紅球和一個(gè)黑球

       其概念為                                                     ……………………6分

   (2)由題意知:每個(gè)口袋中摸球?yàn)樽罴呀M合的概率相同,從5個(gè)口袋中摸球可以看成5

       次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),故所求概率為………………………12分

19.解法一:以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1

       所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建

       立空間直角坐標(biāo)系D―xyz,則

       A(a,0,0)、B(a,2a,0)、

       C(0,2a,0)、A1(a,0,a)、

       D1(0,0,a)。E、P分別是BC、A1D1

       的中點(diǎn),M、N分別是AE、CD1的中點(diǎn)

       ∴……………………………………2分

   (1)⊥面ADD1A1

       而=0,∴,又∵M(jìn)N面ADD1A1,∴MN∥面ADD1A1;………4分

   (2)設(shè)面PAE的法向量為,又

       則又

       ∴=(4,1,2),又你ABCD的一個(gè)法向量為=(0,0,1)

       ∴

       所以二面角P―AE―D的大小為                        ………………………8分

   (3)設(shè)為平面DEN的法向量,

       又=(),=(0,a),,0,a)

       ∴所以面DEN的一個(gè)法向量=(4,-1,2)

       ∵P點(diǎn)到平面DEN的距離為

       ∴

      

       所以                                              ……………………12分

       解法二:

   (1)證明:取CD的中點(diǎn)為K,連接

       ∵M(jìn),N,K分別為AE,CD1,CD的中點(diǎn)

       ∴MK∥AD,ND∥DD1,∴MK∥面ADD1A1,NK∥面ADD1A1

       ∴面MNK∥面ADD1A1,∴MN∥面ADD1A1,                     ………………………4分

   (2)設(shè)F為AD的中點(diǎn),∵P為A1D1的中點(diǎn)

       ∴PF∥DD1,PF⊥面ABCD

       作FH⊥AE,交AE于H,連結(jié)PH,則由三垂

       線定理得AE⊥PH,從而∠PHF為二面角

       P―AE―D的平面角。

       在Rt△AAEF中,AF=,EF=2,AE=,

       從而FH=

       在Rt△PFH中,tan∠PHF=

       故:二面角P―AE―D的大小為arctan

   (3)

       作DQ⊥CD1,交CD1于Q,

       由A1D1⊥面CDD1C1,得A1D1⊥DQ,∴DQ⊥面BCD1A1。

       在Rt△CDD1中,

       ∴  ……………………12分

20.解:(理)

   (1)函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+

       當(dāng)a=-2e時(shí),            ……………………2分

       當(dāng)x變化時(shí),,的變化情況如下:

(0,

,+

0

極小值

       由上表可知,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,

       單調(diào)遞增區(qū)間為(,+

       極小值是)=0                                                           ……………………6分

   (2)由           ……………………7分

       又函數(shù)為[1,4]上單調(diào)減函數(shù),

       則在[1,4]上恒成立,所以不等式在[1,4]上恒成立。

       即在,[1,4]上恒成立                                           ……………………10分

       又=在[1,4]上為減函數(shù)

       ∴的最小值為

       ∴                                                                            ……………………12分

   (文)(1)∵函數(shù)在[0,1]上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞

       減,

       ∴x=1時(shí),取得極大值,

       ∴

       ∴4-12+2a=0a=4                                                                                      ………………………4分

   (2)A(x0,f(x0))關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2- x0,f(x0

      

       =

       ∴A關(guān)于直線x=1的對稱點(diǎn)B也在函數(shù)的圖象上            …………………8分

   (3)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有3個(gè)交點(diǎn),等價(jià)于方程

       恰有3個(gè)不等實(shí)根,

      

       ∵x=0是其中一個(gè)根,

       ∴方程有兩個(gè)非零不等實(shí)根

                                       ……………………12分

21.解:(理)(1)由已知得:

              

       ∵                                                     ①…………………2分

       ∴                                                                 ②

       ②―①

       即

       又

       ∴                                                                      ……………………5分

       ∴{an}成等差數(shù)列,且d=1,又a1=1,∴…………………6分

   (2)∵

       ∴

       ∴                   …………………8分

       兩式相減

      

       ∴                                                          ……………………10分

       ∴               ……………………12分

   (文)(1)由已知得:

      

       ∴

       ∵                                                     ①…………………2分

       ∴                                                                 ②

       ②―①

       即

       又

       ∴                                                                      ……………………5分

       ∴{an}成等差數(shù)列,且d=1,又a1=1,∴…………………6分

   (2)∵

       ∴

       ∴                   …………………8分

       兩式相減

      

       ∴                                                          ……………………10分

       ∴               ……………………12分

22.解:(1)

       設(shè)M(x,y)是曲線C上任一點(diǎn),因?yàn)镻M⊥x軸,

       所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,3y)                                                  …………………2分

       點(diǎn)P在橢圓,所以

       因此曲線C的方程是                                           …………………5分

   (2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),顯然不滿足條件

       所以設(shè)直線l的方程為與橢圓交于Ax1y1),Bx2y2),N點(diǎn)所在直線方

       程為

       ,由

                                               ……………………6分

       由△=………………8分

       ∵,所以四邊形OANB為平行四邊形              …………………9分

       假設(shè)存在矩形OANB,則

      

      

       所以

       即                                                                   ……………………11分

       設(shè)N(),由,得

       ,

       即N點(diǎn)在直線

       所以存在四邊形OANB為矩形,直線l的方程為 ……………………14分

 

 

 


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