題目列表(包括答案和解析)
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MN |
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一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分.
1.B.點(diǎn)拔:記命題p的形式為“若A,則B”,則q的形式為“若B,則A”,r的形式為“若B,則A”,因此,p是r的逆否命題.
2.D點(diǎn)拔:∵λ1a+λ2b=λ1(1,2)+λ2(2,3) = (λ1+2λ2+3λ2) = c = (3,4),
∴
3.C點(diǎn)拔:當(dāng)f′(x)<0時(shí),f(x)遞減;當(dāng)f′(x)>0時(shí),f(x)遞增.
4.A點(diǎn)拔:采用插空法,得7×8×9=504.
5.B點(diǎn)拔:∵a3+a6+a9=(a1+a4+a7)+6d, ∴27=39+6d, ∴d=-2.
∵a1+a4+a7=39, ∴3a1+9d=39,得a1=19.
故S9=9a1+
6.D點(diǎn)拔:展開(kāi)式的通項(xiàng)公式Tr+1=C
令5-2r=-1,得r=3,∴T4=C53?2-2?(-2)3?x-1=-20?的系數(shù)為-20.
7.D點(diǎn)拔:設(shè)M(x,y),N(0,1),直線MN的傾斜角為α,則可得α∈[0,]∪[],所以u(píng)=[-1,1].
8.A點(diǎn)拔:設(shè)直線l的方程為x = ty+b代入y2 = 8x中,得y2-8ty-8 = 0, ∴y1y2 = -8b.
又∵y1y2=16, ∴-8b=16,b=-2, 直線l的方程為x=ty-2, 過(guò)定點(diǎn)A (-2,0)
9.B點(diǎn)拔:∵AC∥EF,EF⊥DE,∴AC⊥DE,又∵AC⊥BD,∴AC⊥平面ABD,∴AC⊥AB,AC⊥AD.∵三棱錐A-BCD為正三棱錐,∴AB、AC、AD兩兩垂直.
VA-BCD= =
10.C點(diǎn)拔:∵f(x+4)=f(-x)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù),f(x)=0在區(qū)間[-2,18]上的實(shí)數(shù)根依次為-1,1,3,5,7,…,17,其總和為-1+1+3+5+…+17=-1+
二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.
11.(1,2)點(diǎn)拔:采用根軸法求解.
12.-點(diǎn)拔:y=,∴ymax=,又∵ymax=.令
則a+b=
13.S?S△ABH 點(diǎn)拔:易證H為△ABC的垂心.
如圖,S?S△ABH.
14.點(diǎn)拔:P=1-
15.4點(diǎn)拔:∵1*2=3,且2*3=4,
∴ ∴x*y=-(6c+1)x+2(c+1)y+cxy.
由x*m=x恒成立得 -(6c+1)x+2(c+1)m+cmx=x恒成立
即(6c-cm+2)x=2(c+1)m恒成立 ∴
∵m≠0,∴由②得c=-1,代入①,得m=4.
三、解答題:本大題共6小題,共75分.
16.∵|c|=,∴3sin2, ………………(2分)
即,
即3cos(α+β)=cos(α-β), ………………(6分)
即3cosαcosβ-3sinαcosβ=cosαcosβ+sinαsinβ,
即2cosαcosβ=3sinαcosβ
∵a與b不垂直,∴a?b≠0,即cosαcosβ≠0
∴由2sinαsinβ=cosαcosβ得tanαtanβ= ………………(12分)
17.(Ⅰ)記甲、乙、丙三人獨(dú)立做對(duì)這題的事件分別為A、B、C,
則P(A)=
得P(C)= …………………………………………………………………………(3分)
由P(B?C)=P(B)?P(C)=得P(B)=
故乙、丙兩人各自做對(duì)這道題的概率分別為 ………………………(6分)
(Ⅱ)甲、乙、丙三人中至少有兩人做對(duì)這道題的概率為
P()
=P()+P(A)+P
=P()
= ………………………(12分)
18.(Ⅰ)∵an+an+2=2an+1,∴an-2an+1+an+2=0,即x=-1是方程anx2+2an+1x+an+2=0的相同實(shí)數(shù)根. ………………………(4分)
(Ⅱ)∵an=a1+(n-1)d=nd,∴方程即為nx2+2(n+1)x+(n+2)=0,
即(nx+n+2)?(x+1)=0,∴cn=-. ……………………(8分)
(Ⅲ)∵bnbn+1=
∴Sn=4 ……(12分)
19.(I)連結(jié)AE∵AB=AC,且E為BC的中點(diǎn),∴AE⊥BC
∵BBl⊥平面ABC,∴AE⊥BBl,∴AE⊥平面BCClBl,
∴平面DBlE⊥平面BCClBl. ………………………………………………(4分)
(Ⅱ)延長(zhǎng)AB至F,使AB=BF,連結(jié)B1F、EF.
在△EBF中,EF2=BF2+BE2-2BE?BF?cosl35° =16+8―2×4×2×(-)=40.
B1E2=BBl2+BE2=16+8=24,B1F2=A1B2=32.
在AEBlF中,cos∠EBlF=
∴∠EBl F=arccos
∵B1F∥A1B,∴∠EB1F即為異面直線A1B與B1 E所成的角.
故異面直線A1B與B1E所成的角的大小為arccos ……………………(8分)
(Ⅲ)作C1 H⊥B1E于H.∵平面DBlE平面BCClBl,∴C1 H⊥平面DBlE,
∴C1H的長(zhǎng)即為點(diǎn)C1到平面DB1E的距離.
∵△B1 HCl∽△B1 BE,∴ ∴C1H=
故點(diǎn)C1到平面DB1E的距離為導(dǎo).………………………………………(12分)
20.(I)鐵盒子的底面邊長(zhǎng)為2a-2x,高為x,容積V=(2a-2x)2?x=4x(a-x)2. …(4分)
(11)∵V=4x3-8ax2+4a2x,∴V′=12x2-16ax+4a2.
令V′=O,得x=,或x=a. …………………………………………………(8分)
①當(dāng)0<t<時(shí),V(x)在(0,t]上是單調(diào)增函數(shù),
∴此時(shí)V (x)max=V(t)=4t(a-t)2; …………………………………………(11分)
②當(dāng)≤t<a時(shí),V(x)max=V()=a3. …………………………………(13分)
21.(I)m+λn=(0,a)+λ(1,0)=(λ,a)=2(1,)(λ≠0),
n+2λm=(1,0)+2λ(0,a)=(1,2λa).
∴兩直線的方程分別為y+a=x和y-a=2λax,
兩式相乘,得y2-2a2x2=a2 …………………………………………………(6分)
當(dāng)λ=0時(shí),兩直線的方程分別為x=0和y=a,交點(diǎn)為P(0,a),
符合方程y2-2a2x2=a2.
綜上,得曲線C的方程為y2-2a2x2=a2 ……………………………………(7分)
(Ⅱ)∵a=,∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2-x2=
曲線C為雙曲線,E(0,1)為雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn).
①若直線l的斜率不存在,則其方程為x=0,l與雙曲線交于M
此時(shí). ……………………………………………………………(8分)
②若直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=kx+1,代人y2-x2=
得2(k2-1)x2+4kx+1=0
∵直線l與雙曲線交于兩點(diǎn), ∴△=(4k)2-8(k2-1)>0,且k2-1≠0,解得k≠±1.
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),則
=(x1,y1-1)?(x2,y2-1)=(xl,kx1)?(x2,kx2)
=x1x2+k2x1x2=(k2+1)xlx2=. ……………………(11分)
記=t,則t=得k2=.
∵k≠±1,k2≥0,且k2≠1,∴≥0,且≠1,
得t>,或t≤-,即∈(-∞,-)U(,+∞).
綜上,得的取值范圍是(-∞,)U[,+∞].………………(14分)
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