已知等軸雙曲線C：x²-y²=a²（a＞0）的右焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． 過F作一條漸近線的垂線FP且垂足為P，．
（1）求等軸雙曲線C的方程；
（2）假設(shè)過點(diǎn)F且方向向量為的直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，求的值；
（3）假設(shè)過點(diǎn)F的動(dòng)直線l與雙曲線C交于M、N兩點(diǎn)，試問：在x軸上是否存在定點(diǎn)P，使得為常數(shù)．若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．

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雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l₁，l₂，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l₁的直線分別交l₁，l₂于A，B兩點(diǎn)．已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．
（1）求雙曲線的離心率；
（2）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長為4，求雙曲線的方程．

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一、填空題（每題5分，理科總分55分、文科總分60分）：

1. ；      2. 理：2；文：；      3. 理：1.885；文：2；

4. 理：；文：1.885；   5. 理：；文：4；   6. 理：；文：；

7. 理：；文：；     8. 理：；文：6；    9. 理：；文：；

10. 理：1； 文：；    11. 理：；文：；     12. 文：；

二、選擇題（每題4分，總分16分）：

題號(hào)

理12；文13

理13；文14

理：14；文：15

理15；文：16

答案

A

C

B

C

三、解答題：

16.（理，滿分12分）

解：因?yàn)閽佄锞�的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)、，

由條件，則直線的方程為，

代入拋物線方程，可得，則.

于是，.

…2

…4

…8

…12

17.（文，滿分12分）

解：因?yàn)?sub>，所以由條件可得，.

即數(shù)列是公比的等比數(shù)列.

又，

所以，.

…4

…6

…8

…12

（理）17.（文）18. （滿分14分）

解：因?yàn)?sub>

所以，

即或，

或，

又由，即

當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，或.

所以，集合.

…3

…7

…11

…14

18.(理，滿分15分，第1小題6分，第2小題9分）

解：（1）當(dāng)時(shí)，

故，，所以.

（2）證：由數(shù)學(xué)歸納法

（i）當(dāng)時(shí)，易知，為奇數(shù)；

（ii）假設(shè)當(dāng)時(shí)，，其中為奇數(shù)；

則當(dāng)時(shí)，

所以，又、，所以是偶數(shù)，

而由歸納假設(shè)知是奇數(shù)，故也是奇數(shù).

綜上（i）、（ii）可知，的值一定是奇數(shù).

證法二：因?yàn)?sub>

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，

則當(dāng)時(shí)，是奇數(shù)；當(dāng)時(shí)，

因?yàn)槠渲?sub>中必能被2整除，所以為偶數(shù)，

于是，必為奇數(shù)；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，

其中均能被2整除，于是必為奇數(shù).

綜上可知，各項(xiàng)均為奇數(shù).

…3

…6

…8

…10

…14

…15

…10

…14

…15

19. （文，滿分14分）

解：如圖，設(shè)中點(diǎn)為，聯(lián)結(jié)、.

由題意，,,所以為等邊三角形，

故，且.

又，

所以.

而圓錐體的底面圓面積為,

所以圓錐體體積.

…3

…8

…10

…14

（理）19. （文）20. （滿分16分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題6分）

解：（1）由題意，當(dāng)和之間的距離為1米時(shí)，應(yīng)位于上方，

且此時(shí)中邊上的高為0.5米.

又因?yàn)?sub>米，可得米.

所以，平方米，

即三角通風(fēng)窗的通風(fēng)面積為平方米.

（2）1如圖（1）所示，當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

的面積；

2如圖（2）所示，當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)，即時(shí)，

，故可得的面積

；

綜合可得：

（3）1當(dāng)在矩形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

則有；

2當(dāng)在半圓形區(qū)域滑動(dòng)時(shí)，

，

等號(hào)成立，.

因而當(dāng)（米）時(shí)，每個(gè)三角通風(fēng)窗得到最大通風(fēng)面積，最大面積為（平方米）.

…2

…4

…6

…9

…10

…12

…15

…16

21（文，滿分18分，第1小題5分，第2小題6分，第3小題7分）

解：（1）設(shè)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）.

因?yàn)殡p曲線C為等軸雙曲線，所以其漸近線必為，

由對(duì)稱性可知，右焦點(diǎn)到兩條漸近線距離相等，且.

于是可知，為等腰直角三角形，則由，

又由等軸雙曲線中，.

即，等軸雙曲線的方程為.

（2）設(shè)、為雙曲線直線的兩個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)?sub>，直線的方向向量為，直線的方程為

.

代入雙曲線的方程，可得，

于是有

而

          .

（3）假設(shè)存在定點(diǎn)，使為常數(shù)，其中，為直線與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

   ①當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為

代入，可得.

   由題意可知，，則有 ，．

于是，

要使是與無關(guān)的常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí).

 ②當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，可得點(diǎn),，

 若，亦為常數(shù).

綜上可知，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù).

…3

…5

…7

…9

…11

…13

…16

…17

…18

20（理，滿分22分，第1小題4分，第2小題6分，第3小題12分）

解：（1）解法一：由題意，四邊形是直角梯形，且∥，

則與所成的角即為.

因?yàn)?sub>，又平面，

所以平面，則有.

    因?yàn)?sub>，,

所以，則，

即異面直線與所成角的大小為.

解法二：如圖，以為原點(diǎn)，直線為軸、直線為軸、直線為軸，

建立空間直角坐標(biāo)系.

于是有、，則有，又

則異面直線與所成角滿足,

    所以，異面直線與