如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（

2

+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

2

2

，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4（

2

+1），一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線PF₁和PF₂與橢圓的交點(diǎn)分別為A、B和C、D．
（Ⅰ）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線PF₁、PF₂的斜率分別為k₁、k₂，證明k₁•k₂=1；
（Ⅲ）（此小題僅理科做）是否存在常數(shù)λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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A；A；C；D；A；A；     C；C；B；C（文）D（理）；C；A

13、或；  14、80；   15、（理）（文）-2；   16、 ；

17、解：⑴

………………………………………3分

時(shí)，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為

時(shí)，由得函數(shù)的遞增區(qū)間為

…………………………………………………………………………………………………………………5分

⑵

…………………………………………………………7分

時(shí)，得：（舍）

時(shí)，得

綜上，………………………………………………………………………………10分

18、解：用分別表示三列火車正點(diǎn)到達(dá)的事件，則

⑴恰有兩列火車正點(diǎn)到達(dá)的概率記為,則

……………………………………………6分

⑵(文科)用表示誤點(diǎn)的列數(shù)，則至少兩列誤點(diǎn)可表示為：

……………………………………………………………………………………12分

（理科）三列火車正點(diǎn)的列數(shù)分別為。則

……………………………………………………………10分

…………………………12分

19．解：方法一：（I）證明：，

又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝BC，

平面ABCD ……2分

   在梯形ABCD中，可得

   ，即

    在平面ABCD內(nèi)的射影為AO，  ……4分

   （II）解：，且平面平面ABCD

    平面PBC， 平面PBC，

    為二面角P―DC―B的平面角        ……6分

    是等邊三角形即二面角P―DC―B的大小為  …8分

 （III）證明：取PB的中點(diǎn)N，連結(jié)CN， ①

    ，且平面平面ABCD，平面PBC     ……10分

    平面PAB    平面平面PAB  ②

     由①、②知平面PAB…………..10分

連結(jié)DM、MN，則由MN//AB//CD，，

得四邊形MNCD為平行四邊形，，平面PAB．

平面PAD    平面平面PAB ……………….12分

方法二：取BC的中點(diǎn)O，因?yàn)槭堑冗吶�角形�?/p>

    由側(cè)面底面ABCD    得底面ABCD ……1分

以BC中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以BC所在直線為x軸，過點(diǎn)O與AB平行的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O―xyz……2分

（I）證明：，則在直角梯形中，

    在等邊三角形PBC中，……3分

    ，即…4分

 （II）解：取PC中點(diǎn)N，則

    平面PDC，顯然，且平面ABCD

    所夾角等于所求二面角的平面角    ……6分

 ，二面角的大小為   ……8分

（III）證明：取PA的中點(diǎn)M，連結(jié)DM，則M的坐標(biāo)為

    又          ……10分

，

    即

平面PAB，平面平面PAB ……12分

20．解：Ⅰ由已知得： …………………………………………………………2分

當(dāng)解得：……………………………………………………3分

當(dāng)時(shí)，，帶入上式得：

配方得：

所以……………………………………………………………5分

所以………………………………………………7分

Ⅱ（文科）

……………………………………………………………………………………10分

…………………………………12分

（理科）

………………………………………………………………………………9分

……………………11分

…………………………………………………………12分

21．解：（I）右準(zhǔn)線，漸近線

    ，

                     ……4分

    （II）

雙曲線C的方程為：               ……8分

    （III）由題意可得                           ……9分

    證明：設(shè)，點(diǎn)

    由得

    與雙曲線C右支交于不同的兩點(diǎn)P、Q

    ，得

的取值范圍是（0，1）                            ……12分

22．解：⑴；

當(dāng)時(shí)，；

令，該二次函數(shù)的對(duì)稱軸為

當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則；

當(dāng)時(shí)，要使在上是單調(diào)函數(shù)，只能為上的減函數(shù)

故函數(shù)在上滿足：

或，解得。綜上………4分

⑵當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)；當(dāng)

所以…………………………………………………4分

⑶反證法：不妨設(shè)，由⑵知

所以

所以

所以；

因?yàn)?img border=0 src="http://pic.1010jiajiao.com/pic4/docfiles/down/test/down/09029ec06f572798a25d2b492976a0d7.zip/76686.files/image493.gif" alt="高考資源網(wǎng)( www.ks5u.com)，中國(guó)最大的高考網(wǎng)站，您身邊的高考專家。" >時(shí)，這與上面的結(jié)論矛盾，故

同理……………………………………………12分

(文)解：⑴

則，所以……………………………3分

；由此可知

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取極大值………………………………………………………………6分

⑵在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，

所以在區(qū)間上恒成立，由二次函數(shù)的圖像可知：

；令…………………………………………………9分

當(dāng)直線經(jīng)過交點(diǎn)時(shí)，取得最小值…………………………………12分