16.如圖所示.在下列四種情形中質(zhì)量一定的物體P.Q均處于靜止?fàn)顟B(tài).球Q是光滑的.關(guān)于物體P.Q的受力情況下列說法正確的是 查看更多

 

題目列表(包括答案和解析)

[選做題]本題包括A、B、C三小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若三題都做,則按A、B兩題評(píng)分.
A.(模塊3-3)
(1)下列說法正確的是   
A.當(dāng)氣體被壓縮時(shí),分子間距離變小,表現(xiàn)為斥力,所以必需用力才能壓縮
B.液晶并不是晶體,但具有晶體一樣的光學(xué)各向異性
C.迅速壓縮氣體時(shí),氣體溫度一定升高
D.一滴油酸酒精溶液體積為V,在水面上形成的單分子油膜的面積為S,則油酸分子的直徑
(2)(4分)已知鐵的摩爾質(zhì)量為M,密度為ρ,阿伏加德羅常數(shù)為N.試求一塊邊長為d的正方形鐵塊中含有鐵原子的個(gè)數(shù)為   
(3)如圖甲所示,筒形絕熱氣缸平放在水平面上,用絕熱的活塞封閉一部分氣體.活塞的橫截面積為S,質(zhì)量為m,外界大氣壓強(qiáng)恒為P.活塞與氣缸之間無摩擦且不漏氣,氣缸內(nèi)有一個(gè)電阻絲可以給氣體加熱.現(xiàn)把氣缸立起來,如圖乙所示,發(fā)現(xiàn)活塞下降距離為h,則立起后氣缸內(nèi)氣體分子勢能    (填“變大”、“變小”或“不變”);當(dāng)電阻絲通電后產(chǎn)生的熱量為Q時(shí),活塞剛好回到原來的位置處于平衡,則在此過程中,氣體內(nèi)能增加了    .(用題中已知物理量符號(hào)表示)
B.(模塊3-4)
(1)下列說法正確的是:   
A.全息照相利用了光的偏振原理
B.亮度相同的紫光與紅光不會(huì)發(fā)生干涉現(xiàn)象
C.X射線的比紫外線更容易發(fā)生干涉現(xiàn)象
D.地面上的人發(fā)現(xiàn),坐在高速離開地球的火箭里的人新陳代謝變慢了,而火箭里的人發(fā)現(xiàn)地面上的人新陳代謝也變慢了.
(2)(4分)有一束復(fù)色光中含有兩種單色光,在真空中a光的波長大于b光的波長.若讓此復(fù)色光通過半圓形玻璃磚,經(jīng)過圓心O射向空氣,則下列四個(gè)光路圖中符合實(shí)際情況的有:   

(3)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波,在t=0時(shí)刻波剛好傳播到x=6m處的質(zhì)點(diǎn)A,如圖所示,已知波的傳播速度為48m/s.請(qǐng)回答下列問題:
①從圖示時(shí)刻起再經(jīng)過    s,質(zhì)點(diǎn)B第一次處于波峰;
②寫出從圖示時(shí)刻起質(zhì)點(diǎn)A的振動(dòng)方程:   

C.(模塊3-5)(1)下列說法正確的有   
A.單色光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì),光子的能量不變
B.貝克勒爾發(fā)現(xiàn)了鈾和含鈾礦物的天然放射現(xiàn)象,從而揭示出原子核具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)
C.當(dāng)氫原子核外電子從第3能級(jí)躍遷到第4能級(jí)時(shí),氫原子一定吸收能量,電子的動(dòng)能增大
D.在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,入射光強(qiáng)度越強(qiáng),產(chǎn)生的光電子初動(dòng)能就越大
(2)先完成下列核反應(yīng)方程,再回答題.1327Al+24He→1430Si+1n+   
該核反應(yīng)所屬核反應(yīng)類型是   
A.衰變            B.人工轉(zhuǎn)變            C.裂變
(3)光滑水平面上一個(gè)質(zhì)量為0.2kg的小球A,以3m/s的速度與另一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的靜止小球B發(fā)生正碰,碰后小球A的速度大小變?yōu)?m/s,與原來速度方向相反,則在碰撞過程中,小球A的動(dòng)量變化大小為    kg?m/s,碰后小球B的速度大小為    m/s.

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精英家教網(wǎng)[選做題]本題包括A、B、C三小題,請(qǐng)選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若三題都做,則按A、B兩題評(píng)分.
A.(模塊3-3)
(1)下列說法正確的是
 

A.當(dāng)氣體被壓縮時(shí),分子間距離變小,表現(xiàn)為斥力,所以必需用力才能壓縮
B.液晶并不是晶體,但具有晶體一樣的光學(xué)各向異性
C.迅速壓縮氣體時(shí),氣體溫度一定升高
D.一滴油酸酒精溶液體積為V,在水面上形成的單分子油膜的面積為S,則油酸分子的直徑d=
VS

(2)(4分)已知鐵的摩爾質(zhì)量為M,密度為ρ,阿伏加德羅常數(shù)為N0.試求一塊邊長為d的正方形鐵塊中含有鐵原子的個(gè)數(shù)為
 

(3)如圖甲所示,筒形絕熱氣缸平放在水平面上,用絕熱的活塞封閉一部分氣體.活塞的橫截面積為S,質(zhì)量為m,外界大氣壓強(qiáng)恒為P0.活塞與氣缸之間無摩擦且不漏氣,氣缸內(nèi)有一個(gè)電阻絲可以給氣體加熱.現(xiàn)把氣缸立起來,如圖乙所示,發(fā)現(xiàn)活塞下降距離為h,則立起后氣缸內(nèi)氣體分子勢能
 
(填“變大”、“變小”或“不變”);當(dāng)電阻絲通電后產(chǎn)生的熱量為Q時(shí),活塞剛好回到原來的位置處于平衡,則在此過程中,氣體內(nèi)能增加了
 
.(用題中已知物理量符號(hào)表示)
B.(模塊3-4)
(1)下列說法正確的是:
 

A.全息照相利用了光的偏振原理
B.亮度相同的紫光與紅光不會(huì)發(fā)生干涉現(xiàn)象
C.X射線的比紫外線更容易發(fā)生干涉現(xiàn)象
D.地面上的人發(fā)現(xiàn),坐在高速離開地球的火箭里的人新陳代謝變慢了,而火箭里的人發(fā)現(xiàn)地面上的人新陳代謝也變慢了.
(2)(4分)有一束復(fù)色光中含有兩種單色光,在真空中a光的波長大于b光的波長.若讓此復(fù)色光通過半圓形玻璃磚,經(jīng)過圓心O射向空氣,則下列四個(gè)光路圖中符合實(shí)際情況的有:
 

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(3)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波,在t=0時(shí)刻波剛好傳播到x=6m處的質(zhì)點(diǎn)A,如圖所示,已知波的傳播速度為48m/s.請(qǐng)回答下列問題:
①從圖示時(shí)刻起再經(jīng)過
 
s,質(zhì)點(diǎn)B第一次處于波峰;
②寫出從圖示時(shí)刻起質(zhì)點(diǎn)A的振動(dòng)方程:
 

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C.(模塊3-5)(1)下列說法正確的有
 

A.單色光從光密介質(zhì)進(jìn)入光疏介質(zhì),光子的能量不變
B.貝克勒爾發(fā)現(xiàn)了鈾和含鈾礦物的天然放射現(xiàn)象,從而揭示出原子核具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)
C.當(dāng)氫原子核外電子從第3能級(jí)躍遷到第4能級(jí)時(shí),氫原子一定吸收能量,電子的動(dòng)能增大
D.在光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中,入射光強(qiáng)度越強(qiáng),產(chǎn)生的光電子初動(dòng)能就越大
(2)先完成下列核反應(yīng)方程,再回答題.1327Al+24He→1430Si+01n+
 
;
該核反應(yīng)所屬核反應(yīng)類型是
 

A.衰變            B.人工轉(zhuǎn)變            C.裂變
(3)光滑水平面上一個(gè)質(zhì)量為0.2kg的小球A,以3m/s的速度與另一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的靜止小球B發(fā)生正碰,碰后小球A的速度大小變?yōu)?m/s,與原來速度方向相反,則在碰撞過程中,小球A的動(dòng)量變化大小為
 
kg?m/s,碰后小球B的速度大小為
 
m/s.

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第三部分 運(yùn)動(dòng)學(xué)

第一講 基本知識(shí)介紹

一. 基本概念

1.  質(zhì)點(diǎn)

2.  參照物

3.  參照系——固連于參照物上的坐標(biāo)系(解題時(shí)要記住所選的是參照系,而不僅是一個(gè)點(diǎn))

4.絕對(duì)運(yùn)動(dòng),相對(duì)運(yùn)動(dòng),牽連運(yùn)動(dòng):v=v+v 

二.運(yùn)動(dòng)的描述

1.位置:r=r(t) 

2.位移:Δr=r(t+Δt)-r(t)

3.速度:v=limΔt→0Δr/Δt.在大學(xué)教材中表述為:v=dr/dt, 表示r對(duì)t 求導(dǎo)數(shù)

5.以上是運(yùn)動(dòng)學(xué)中的基本物理量,也就是位移、位移的一階導(dǎo)數(shù)、位移的二階導(dǎo)數(shù)?墒

三階導(dǎo)數(shù)為什么不是呢?因?yàn)榕nD第二定律是F=ma,即直接和加速度相聯(lián)系。(a對(duì)t的導(dǎo)數(shù)叫“急動(dòng)度”。)

6.由于以上三個(gè)量均為矢量,所以在運(yùn)算中用分量表示一般比較好

三.等加速運(yùn)動(dòng)

v(t)=v0+at           r(t)=r0+v0t+1/2 at

 一道經(jīng)典的物理問題:二次世界大戰(zhàn)中物理學(xué)家曾經(jīng)研究,當(dāng)大炮的位置固定,以同一速度v0沿各種角度發(fā)射,問:當(dāng)飛機(jī)在哪一區(qū)域飛行之外時(shí),不會(huì)有危險(xiǎn)?(注:結(jié)論是這一區(qū)域?yàn)橐粧佄锞,此拋物線是所有炮彈拋物線的包絡(luò)線。此拋物線為在大炮上方h=v2/2g處,以v0平拋物體的軌跡。) 

練習(xí)題:

一盞燈掛在離地板高l2,天花板下面l1處。燈泡爆裂,所有碎片以同樣大小的速度v 朝各個(gè)方向飛去。求碎片落到地板上的半徑(認(rèn)為碎片和天花板的碰撞是完全彈性的,即切向速度不變,法向速度反向;碎片和地板的碰撞是完全非彈性的,即碰后靜止。)

四.剛體的平動(dòng)和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

1. 我們講過的圓周運(yùn)動(dòng)是平動(dòng)而不是轉(zhuǎn)動(dòng) 

  2.  角位移φ=φ(t), 角速度ω=dφ/dt , 角加速度ε=dω/dt

 3.  有限的角位移是標(biāo)量,而極小的角位移是矢量

4.  同一剛體上兩點(diǎn)的相對(duì)速度和相對(duì)加速度 

兩點(diǎn)的相對(duì)距離不變,相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為圓弧,VA=VB+VAB,在AB連線上

投影:[VA]AB=[VB]AB,aA=aB+aAB,aAB=,anAB+,aτAB, ,aτAB垂直于AB,,anAB=VAB2/AB 

例:A,B,C三質(zhì)點(diǎn)速度分別V,VB  ,VC      

求G的速度。

五.課后習(xí)題:

一只木筏離開河岸,初速度為V,方向垂直于岸邊,航行路線如圖。經(jīng)過時(shí)間T木筏劃到路線上標(biāo)有符號(hào)處。河水速度恒定U用作圖法找到在2T,3T,4T時(shí)刻木筏在航線上的確切位置。

五、處理問題的一般方法

(1)用微元法求解相關(guān)速度問題

例1:如圖所示,物體A置于水平面上,A前固定一滑輪B,高臺(tái)上有一定滑輪D,一根輕繩一端固定在C點(diǎn),再繞過B、D,BC段水平,當(dāng)以恒定水平速度v拉繩上的自由端時(shí),A沿水平面前進(jìn),求當(dāng)跨過B的兩段繩子的夾角為α?xí)r,A的運(yùn)動(dòng)速度。

(vA

(2)拋體運(yùn)動(dòng)問題的一般處理方法

  1. 平拋運(yùn)動(dòng)
  2. 斜拋運(yùn)動(dòng)
  3. 常見的處理方法

(1)將斜上拋運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的豎直上拋運(yùn)動(dòng)

(2)將沿斜面和垂直于斜面方向作為x、y軸,分別分解初速度和加速度后用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題

(3)將斜拋運(yùn)動(dòng)分解為沿初速度方向的斜向上的勻速直線運(yùn)動(dòng)和自由落體運(yùn)動(dòng)兩個(gè)分運(yùn)動(dòng),用矢量合成法則求解

例2:在擲鉛球時(shí),鉛球出手時(shí)距地面的高度為h,若出手時(shí)的速度為V0,求以何角度擲球時(shí),水平射程最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)射程為多少?

(α=、 x=

第二講 運(yùn)動(dòng)的合成與分解、相對(duì)運(yùn)動(dòng)

(一)知識(shí)點(diǎn)點(diǎn)撥

  1. 力的獨(dú)立性原理:各分力作用互不影響,單獨(dú)起作用。
  2. 運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性原理:分運(yùn)動(dòng)之間互不影響,彼此之間滿足自己的運(yùn)動(dòng)規(guī)律
  3. 力的合成分解:遵循平行四邊形定則,方法有正交分解,解直角三角形等
  4. 運(yùn)動(dòng)的合成分解:矢量合成分解的規(guī)律方法適用
    1. 位移的合成分解 B.速度的合成分解 C.加速度的合成分解

參考系的轉(zhuǎn)換:動(dòng)參考系,靜參考系

相對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系的運(yùn)動(dòng)

絕對(duì)運(yùn)動(dòng):動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于靜參考系統(tǒng)(通常指固定于地面的參考系)的運(yùn)動(dòng)

牽連運(yùn)動(dòng):動(dòng)參考系相對(duì)于靜參考系的運(yùn)動(dòng)

(5)位移合成定理:SA對(duì)地=SA對(duì)B+SB對(duì)地

速度合成定理:V絕對(duì)=V相對(duì)+V牽連

加速度合成定理:a絕對(duì)=a相對(duì)+a牽連

(二)典型例題

(1)火車在雨中以30m/s的速度向南行駛,雨滴被風(fēng)吹向南方,在地球上靜止的觀察者測得雨滴的徑跡與豎直方向成21。角,而坐在火車?yán)锍丝涂吹接甑蔚膹桔E恰好豎直方向。求解雨滴相對(duì)于地的運(yùn)動(dòng)。

提示:矢量關(guān)系入圖

答案:83.7m/s

(2)某人手拿一只停表,上了一次固定樓梯,又以不同方式上了兩趟自動(dòng)扶梯,為什么他可以根據(jù)測得的數(shù)據(jù)來計(jì)算自動(dòng)扶梯的臺(tái)階數(shù)?

提示:V人對(duì)梯=n1/t1

      V梯對(duì)地=n/t2

      V人對(duì)地=n/t3

V人對(duì)地= V人對(duì)梯+ V梯對(duì)地

答案:n=t2t3n1/(t2-t3)t1

(3)某人駕船從河岸A處出發(fā)橫渡,如果使船頭保持跟河岸垂直的方向航行,則經(jīng)10min后到達(dá)正對(duì)岸下游120m的C處,如果他使船逆向上游,保持跟河岸成а角的方向航行,則經(jīng)過12.5min恰好到達(dá)正對(duì)岸的B處,求河的寬度。

提示:120=V水*600

        D=V船*600

 答案:200m

(4)一船在河的正中航行,河寬l=100m,流速u=5m/s,并在距船s=150m的下游形成瀑布,為了使小船靠岸時(shí),不至于被沖進(jìn)瀑布中,船對(duì)水的最小速度為多少?

提示:如圖船航行

答案:1.58m/s

(三)同步練習(xí)

1.一輛汽車的正面玻璃一次安裝成與水平方向傾斜角為β1=30°,另一次安裝成傾角為β2=15°。問汽車兩次速度之比為多少時(shí),司機(jī)都是看見冰雹都是以豎直方向從車的正面玻璃上彈開?(冰雹相對(duì)地面是豎直下落的)

2、模型飛機(jī)以相對(duì)空氣v=39km/h的速度繞一個(gè)邊長2km的等邊三角形飛行,設(shè)風(fēng)速u = 21km/h ,方向與三角形的一邊平行并與飛機(jī)起飛方向相同,試求:飛機(jī)繞三角形一周需多少時(shí)間?

3.圖為從兩列蒸汽機(jī)車上冒出的兩股長幅氣霧拖尾的照片(俯視)。兩列車沿直軌道分別以速度v1=50km/h和v2=70km/h行駛,行駛方向如箭頭所示,求風(fēng)速。

4、細(xì)桿AB長L ,兩端分別約束在x 、 y軸上運(yùn)動(dòng),(1)試求桿上與A點(diǎn)相距aL(0< a <1)的P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡;(2)如果vA為已知,試求P點(diǎn)的x 、 y向分速度vPx和vPy對(duì)桿方位角θ的函數(shù)。

(四)同步練習(xí)提示與答案

1、提示:利用速度合成定理,作速度的矢量三角形。答案為:3。

2、提示:三角形各邊的方向?yàn)轱w機(jī)合速度的方向(而非機(jī)頭的指向);

第二段和第三段大小相同。

參見右圖,顯然:

v2 =  + u2 - 2vucos120°

可解出 v = 24km/h 。

答案:0.2hour(或12min.)。

3、提示:方法與練習(xí)一類似。答案為:3

4、提示:(1)寫成參數(shù)方程后消參數(shù)θ。

(2)解法有講究:以A端為參照, 則桿上各點(diǎn)只繞A轉(zhuǎn)動(dòng)。但鑒于桿子的實(shí)際運(yùn)動(dòng)情形如右圖,應(yīng)有v = vAcosθ,v轉(zhuǎn) = vA,可知B端相對(duì)A的轉(zhuǎn)動(dòng)線速度為:v轉(zhuǎn) + vAsinθ=  。

P點(diǎn)的線速度必為  = v 

所以 vPx = vcosθ+ vAx ,vPy = vAy - vsinθ

答案:(1) +  = 1 ,為橢圓;(2)vPx = avActgθ ,vPy =(1 - a)vA

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第九部分 穩(wěn)恒電流

第一講 基本知識(shí)介紹

第八部分《穩(wěn)恒電流》包括兩大塊:一是“恒定電流”,二是“物質(zhì)的導(dǎo)電性”。前者是對(duì)于電路的外部計(jì)算,后者則是深入微觀空間,去解釋電流的成因和比較不同種類的物質(zhì)導(dǎo)電的情形有什么區(qū)別。

應(yīng)該說,第一塊的知識(shí)和高考考綱對(duì)應(yīng)得比較好,深化的部分是對(duì)復(fù)雜電路的計(jì)算(引入了一些新的處理手段)。第二塊雖是全新的內(nèi)容,但近幾年的考試已經(jīng)很少涉及,以至于很多奧賽培訓(xùn)資料都把它刪掉了。鑒于在奧賽考綱中這部分內(nèi)容還保留著,我們還是想粗略地介紹一下。

一、歐姆定律

1、電阻定律

a、電阻定律 R = ρ

b、金屬的電阻率 ρ = ρ0(1 + αt)

2、歐姆定律

a、外電路歐姆定律 U = IR ,順著電流方向電勢降落

b、含源電路歐姆定律

在如圖8-1所示的含源電路中,從A點(diǎn)到B點(diǎn),遵照原則:①遇電阻,順電流方向電勢降落(逆電流方向電勢升高)②遇電源,正極到負(fù)極電勢降落,負(fù)極到正極電勢升高(與電流方向無關(guān)),可以得到以下關(guān)系

UA ? IR ? ε ? Ir = UB 

這就是含源電路歐姆定律。

c、閉合電路歐姆定律

在圖8-1中,若將A、B兩點(diǎn)短接,則電流方向只可能向左,含源電路歐姆定律成為

UA + IR ? ε + Ir = UB = UA

 ε = IR + Ir ,或 I = 

這就是閉合電路歐姆定律。值得注意的的是:①對(duì)于復(fù)雜電路,“干路電流I”不能做絕對(duì)的理解(任何要考察的一條路均可視為干路);②電源的概念也是相對(duì)的,它可以是多個(gè)電源的串、并聯(lián),也可以是電源和電阻組成的系統(tǒng);③外電阻R可以是多個(gè)電阻的串、并聯(lián)或混聯(lián),但不能包含電源。

二、復(fù)雜電路的計(jì)算

1、戴維南定理:一個(gè)由獨(dú)立源、線性電阻、線性受控源組成的二端網(wǎng)絡(luò),可以用一個(gè)電壓源和電阻串聯(lián)的二端網(wǎng)絡(luò)來等效。(事實(shí)上,也可等效為“電流源和電阻并聯(lián)的的二端網(wǎng)絡(luò)”——這就成了諾頓定理。)

應(yīng)用方法:其等效電路的電壓源的電動(dòng)勢等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓,其串聯(lián)電阻等于從端鈕看進(jìn)去該網(wǎng)絡(luò)中所有獨(dú)立源為零值時(shí)的等效電阻。

2、基爾霍夫(克?品颍┒

a、基爾霍夫第一定律:在任一時(shí)刻流入電路中某一分節(jié)點(diǎn)的電流強(qiáng)度的總和,等于從該點(diǎn)流出的電流強(qiáng)度的總和。

例如,在圖8-2中,針對(duì)節(jié)點(diǎn)P ,有

I2 + I3 = I1 

基爾霍夫第一定律也被稱為“節(jié)點(diǎn)電流定律”,它是電荷受恒定律在電路中的具體體現(xiàn)。

對(duì)于基爾霍夫第一定律的理解,近來已經(jīng)拓展為:流入電路中某一“包容塊”的電流強(qiáng)度的總和,等于從該“包容塊”流出的電流強(qiáng)度的總和。

b、基爾霍夫第二定律:在電路中任取一閉合回路,并規(guī)定正的繞行方向,其中電動(dòng)勢的代數(shù)和,等于各部分電阻(在交流電路中為阻抗)與電流強(qiáng)度乘積的代數(shù)和。

例如,在圖8-2中,針對(duì)閉合回路① ,有

ε3 ? ε2 = I3 ( r3 + R2 + r2 ) ? I2R2 

基爾霍夫第二定律事實(shí)上是含源部分電路歐姆定律的變體(☆同學(xué)們可以列方程 UP = … = UP得到和上面完全相同的式子)。

3、Y?Δ變換

在難以看清串、并聯(lián)關(guān)系的電路中,進(jìn)行“Y型?Δ型”的相互轉(zhuǎn)換常常是必要的。在圖8-3所示的電路中

☆同學(xué)們可以證明Δ→ Y的結(jié)論…

Rc = 

Rb = 

Ra = 

Y→Δ的變換稍稍復(fù)雜一些,但我們?nèi)匀豢梢缘玫?/p>

R1 = 

R2 = 

R3 = 

三、電功和電功率

1、電源

使其他形式的能量轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿难b置。如發(fā)電機(jī)、電池等。發(fā)電機(jī)是將機(jī)械能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔埽桓呻姵、蓄電池是將化學(xué)能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔;光電池是將光能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔埽辉与姵厥菍⒃雍朔派淠苻D(zhuǎn)變?yōu)殡娔;在電子設(shè)備中,有時(shí)也把變換電能形式的裝置,如整流器等,作為電源看待。

電源電動(dòng)勢定義為電源的開路電壓,內(nèi)阻則定義為沒有電動(dòng)勢時(shí)電路通過電源所遇到的電阻。據(jù)此不難推出相同電源串聯(lián)、并聯(lián),甚至不同電源串聯(lián)、并聯(lián)的時(shí)的電動(dòng)勢和內(nèi)阻的值。

例如,電動(dòng)勢、內(nèi)阻分別為ε1 、r1和ε2 、r2的電源并聯(lián),構(gòu)成的新電源的電動(dòng)勢ε和內(nèi)阻r分別為(☆師生共同推導(dǎo)…)

ε = 

r = 

2、電功、電功率

電流通過電路時(shí),電場力對(duì)電荷作的功叫做電功W。單位時(shí)間內(nèi)電場力所作的功叫做電功率P 。

計(jì)算時(shí),只有W = UIt和P = UI是完全沒有條件的,對(duì)于不含源的純電阻,電功和焦耳熱重合,電功率則和熱功率重合,有W = I2Rt = t和P = I2R = 。

對(duì)非純電阻電路,電功和電熱的關(guān)系依據(jù)能量守恒定律求解。 

四、物質(zhì)的導(dǎo)電性

在不同的物質(zhì)中,電荷定向移動(dòng)形成電流的規(guī)律并不是完全相同的。

1、金屬中的電流

即通常所謂的不含源純電阻中的電流,規(guī)律遵從“外電路歐姆定律”。

2、液體導(dǎo)電

能夠?qū)щ姷囊后w叫電解液(不包括液態(tài)金屬)。電解液中離解出的正負(fù)離子導(dǎo)電是液體導(dǎo)電的特點(diǎn)(如:硫酸銅分子在通常情況下是電中性的,但它在溶液里受水分子的作用就會(huì)離解成銅離子Cu2+和硫酸根離子S,它們?cè)陔妶隽Φ淖饔孟露ㄏ蛞苿?dòng)形成電流)。

在電解液中加電場時(shí),在兩個(gè)電極上(或電極旁)同時(shí)產(chǎn)生化學(xué)反應(yīng)的過程叫作“電解”。電解的結(jié)果是在兩個(gè)極板上(或電極旁)生成新的物質(zhì)。

液體導(dǎo)電遵從法拉第電解定律——

法拉第電解第一定律:電解時(shí)在電極上析出或溶解的物質(zhì)的質(zhì)量和電流強(qiáng)度、跟通電時(shí)間成正比。表達(dá)式:m = kIt = KQ (式中Q為析出質(zhì)量為m的物質(zhì)所需要的電量;K為電化當(dāng)量,電化當(dāng)量的數(shù)值隨著被析出的物質(zhì)種類而不同,某種物質(zhì)的電化當(dāng)量在數(shù)值上等于通過1C電量時(shí)析出的該種物質(zhì)的質(zhì)量,其單位為kg/C。)

法拉第電解第二定律:物質(zhì)的電化當(dāng)量K和它的化學(xué)當(dāng)量成正比。某種物質(zhì)的化學(xué)當(dāng)量是該物質(zhì)的摩爾質(zhì)量M(克原子量)和它的化合價(jià)n的比值,即 K =  ,而F為法拉第常數(shù),對(duì)任何物質(zhì)都相同,F(xiàn) = 9.65×104C/mol 。

將兩個(gè)定律聯(lián)立可得:m = Q 。

3、氣體導(dǎo)電

氣體導(dǎo)電是很不容易的,它的前提是氣體中必須出現(xiàn)可以定向移動(dòng)的離子或電子。按照“載流子”出現(xiàn)方式的不同,可以把氣體放電分為兩大類——

a、被激放電

在地面放射性元素的輻照以及紫外線和宇宙射線等的作用下,會(huì)有少量氣體分子或原子被電離,或在有些燈管內(nèi),通電的燈絲也會(huì)發(fā)射電子,這些“載流子”均會(huì)在電場力作用下產(chǎn)生定向移動(dòng)形成電流。這種情況下的電流一般比較微弱,且遵從歐姆定律。典型的被激放電情形有

b、自激放電

但是,當(dāng)電場足夠強(qiáng),電子動(dòng)能足夠大,它們和中性氣體相碰撞時(shí),可以使中性分子電離,即所謂碰撞電離。同時(shí),在正離子向陰極運(yùn)動(dòng)時(shí),由于以很大的速度撞到陰極上,還可能從陰極表面上打出電子來,這種現(xiàn)象稱為二次電子發(fā)射。碰撞電離和二次電子發(fā)射使氣體中在很短的時(shí)間內(nèi)出現(xiàn)了大量的電子和正離子,電流亦迅速增大。這種現(xiàn)象被稱為自激放電。自激放電不遵從歐姆定律。

常見的自激放電有四大類:輝光放電、弧光放電、火花放電、電暈放電。

4、超導(dǎo)現(xiàn)象

據(jù)金屬電阻率和溫度的關(guān)系,電阻率會(huì)隨著溫度的降低和降低。當(dāng)電阻率降為零時(shí),稱為超導(dǎo)現(xiàn)象。電阻率為零時(shí)對(duì)應(yīng)的溫度稱為臨界溫度。超導(dǎo)現(xiàn)象首先是荷蘭物理學(xué)家昂尼斯發(fā)現(xiàn)的。

超導(dǎo)的應(yīng)用前景是顯而易見且相當(dāng)廣闊的。但由于一般金屬的臨界溫度一般都非常低,故產(chǎn)業(yè)化的價(jià)值不大,為了解決這個(gè)矛盾,科學(xué)家們致力于尋找或合成臨界溫度比較切合實(shí)際的材料就成了當(dāng)今前沿科技的一個(gè)熱門領(lǐng)域。當(dāng)前人們的研究主要是集中在合成材料方面,臨界溫度已經(jīng)超過100K,當(dāng)然,這個(gè)溫度距產(chǎn)業(yè)化的期望值還很遠(yuǎn)。

5、半導(dǎo)體

半導(dǎo)體的電阻率界于導(dǎo)體和絕緣體之間,且ρ

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第八部分 靜電場

第一講 基本知識(shí)介紹

在奧賽考綱中,靜電學(xué)知識(shí)點(diǎn)數(shù)目不算多,總數(shù)和高考考綱基本相同,但在個(gè)別知識(shí)點(diǎn)上,奧賽的要求顯然更加深化了:如非勻強(qiáng)電場中電勢的計(jì)算、電容器的連接和靜電能計(jì)算、電介質(zhì)的極化等。在處理物理問題的方法上,對(duì)無限分割和疊加原理提出了更高的要求。

如果把靜電場的問題分為兩部分,那就是電場本身的問題、和對(duì)場中帶電體的研究,高考考綱比較注重第二部分中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題,而奧賽考綱更注重第一部分和第二部分中的靜態(tài)問題。也就是說,奧賽關(guān)注的是電場中更本質(zhì)的內(nèi)容,關(guān)注的是縱向的深化和而非橫向的綜合。

一、電場強(qiáng)度

1、實(shí)驗(yàn)定律

a、庫侖定律

內(nèi)容;

條件:⑴點(diǎn)電荷,⑵真空,⑶點(diǎn)電荷靜止或相對(duì)靜止。事實(shí)上,條件⑴和⑵均不能視為對(duì)庫侖定律的限制,因?yàn)榀B加原理可以將點(diǎn)電荷之間的靜電力應(yīng)用到一般帶電體,非真空介質(zhì)可以通過介電常數(shù)將k進(jìn)行修正(如果介質(zhì)分布是均勻和“充分寬廣”的,一般認(rèn)為k′= k /εr)。只有條件⑶,它才是靜電學(xué)的基本前提和出發(fā)點(diǎn)(但這一點(diǎn)又是常常被忽視和被不恰當(dāng)?shù)亍熬C合應(yīng)用”的)。

b、電荷守恒定律

c、疊加原理

2、電場強(qiáng)度

a、電場強(qiáng)度的定義

電場的概念;試探電荷(檢驗(yàn)電荷);定義意味著一種適用于任何電場的對(duì)電場的檢測手段;電場線是抽象而直觀地描述電場有效工具(電場線的基本屬性)。

b、不同電場中場強(qiáng)的計(jì)算

決定電場強(qiáng)弱的因素有兩個(gè):場源(帶電量和帶電體的形狀)和空間位置。這可以從不同電場的場強(qiáng)決定式看出——

⑴點(diǎn)電荷:E = k

結(jié)合點(diǎn)電荷的場強(qiáng)和疊加原理,我們可以求出任何電場的場強(qiáng),如——

⑵均勻帶電環(huán),垂直環(huán)面軸線上的某點(diǎn)P:E = ,其中r和R的意義見圖7-1。

⑶均勻帶電球殼

內(nèi)部:E內(nèi) = 0

外部:E = k ,其中r指考察點(diǎn)到球心的距離

如果球殼是有厚度的的(內(nèi)徑R1 、外徑R2),在殼體中(R1<r<R2):

E =  ,其中ρ為電荷體密度。這個(gè)式子的物理意義可以參照萬有引力定律當(dāng)中(條件部分)的“剝皮法則”理解〔即為圖7-2中虛線以內(nèi)部分的總電量…〕。

⑷無限長均勻帶電直線(電荷線密度為λ):E = 

⑸無限大均勻帶電平面(電荷面密度為σ):E = 2πkσ

二、電勢

1、電勢:把一電荷從P點(diǎn)移到參考點(diǎn)P0時(shí)電場力所做的功W與該電荷電量q的比值,即

U = 

參考點(diǎn)即電勢為零的點(diǎn),通常取無窮遠(yuǎn)或大地為參考點(diǎn)。

和場強(qiáng)一樣,電勢是屬于場本身的物理量。W則為電荷的電勢能。

2、典型電場的電勢

a、點(diǎn)電荷

以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),U = k

b、均勻帶電球殼

以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),U = k ,U內(nèi) = k

3、電勢的疊加

由于電勢的是標(biāo)量,所以電勢的疊加服從代數(shù)加法。很顯然,有了點(diǎn)電荷電勢的表達(dá)式和疊加原理,我們可以求出任何電場的電勢分布。

4、電場力對(duì)電荷做功

WAB = q(UA - UB)= qUAB 

三、靜電場中的導(dǎo)體

靜電感應(yīng)→靜電平衡(狹義和廣義)→靜電屏蔽

1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義——

a、導(dǎo)體內(nèi)部的合場強(qiáng)為零;表面的合場強(qiáng)不為零且一般各處不等,表面的合場強(qiáng)方向總是垂直導(dǎo)體表面。

b、導(dǎo)體是等勢體,表面是等勢面。

c、導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷;孤立導(dǎo)體的凈電荷在表面的分布情況取決于導(dǎo)體表面的曲率。

2、靜電屏蔽

導(dǎo)體殼(網(wǎng)罩)不接地時(shí),可以實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽,但不能實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽;導(dǎo)體殼(網(wǎng)罩)接地后,既可實(shí)現(xiàn)外部對(duì)內(nèi)部的屏蔽,也可實(shí)現(xiàn)內(nèi)部對(duì)外部的屏蔽。

四、電容

1、電容器

孤立導(dǎo)體電容器→一般電容器

2、電容

a、定義式 C = 

b、決定式。決定電容器電容的因素是:導(dǎo)體的形狀和位置關(guān)系、絕緣介質(zhì)的種類,所以不同電容器有不同的電容

⑴平行板電容器 C =  =  ,其中ε為絕對(duì)介電常數(shù)(真空中ε0 =  ,其它介質(zhì)中ε= ),εr則為相對(duì)介電常數(shù),εr =  。

⑵柱形電容器:C = 

⑶球形電容器:C = 

3、電容器的連接

a、串聯(lián)  = +++ … +

b、并聯(lián) C = C1 + C2 + C3 + … + Cn 

4、電容器的能量

用圖7-3表征電容器的充電過程,“搬運(yùn)”電荷做功W就是圖中陰影的面積,這也就是電容器的儲(chǔ)能E ,所以

E = q0U0 = C = 

電場的能量。電容器儲(chǔ)存的能量究竟是屬于電荷還是屬于電場?正確答案是后者,因此,我們可以將電容器的能量用場強(qiáng)E表示。

對(duì)平行板電容器 E = E2 

認(rèn)為電場能均勻分布在電場中,則單位體積的電場儲(chǔ)能 w = E2 。而且,這以結(jié)論適用于非勻強(qiáng)電場。

五、電介質(zhì)的極化

1、電介質(zhì)的極化

a、電介質(zhì)分為兩類:無極分子和有極分子,前者是指在沒有外電場時(shí)每個(gè)分子的正、負(fù)電荷“重心”彼此重合(如氣態(tài)的H2 、O2 、N2和CO2),后者則反之(如氣態(tài)的H2O 、SO2和液態(tài)的水硝基笨)

b、電介質(zhì)的極化:當(dāng)介質(zhì)中存在外電場時(shí),無極分子會(huì)變?yōu)橛袠O分子,有極分子會(huì)由原來的雜亂排列變成規(guī)則排列,如圖7-4所示。

2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷

a、束縛電荷與自由電荷:在圖7-4中,電介質(zhì)左右兩端分別顯現(xiàn)負(fù)電和正電,但這些電荷并不能自由移動(dòng),因此稱為束縛電荷,除了電介質(zhì),導(dǎo)體中的原子核和內(nèi)層電子也是束縛電荷;反之,能夠自由移動(dòng)的電荷稱為自由電荷。事實(shí)上,導(dǎo)體中存在束縛電荷與自由電荷,絕緣體中也存在束縛電荷和自由電荷,只是它們的比例差異較大而已。

b、極化電荷是更嚴(yán)格意義上的束縛電荷,就是指圖7-4中電介質(zhì)兩端顯現(xiàn)的電荷。而宏觀過剩電荷是相對(duì)極化電荷來說的,它是指可以自由移動(dòng)的凈電荷。宏觀過剩電荷與極化電荷的重要區(qū)別是:前者能夠用來沖放電,也能用儀表測量,但后者卻不能。

第二講 重要模型與專題

一、場強(qiáng)和電場力

【物理情形1】試證明:均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的場強(qiáng)均為零。

【模型分析】這是一個(gè)疊加原理應(yīng)用的基本事例。

如圖7-5所示,在球殼內(nèi)取一點(diǎn)P ,以P為頂點(diǎn)做兩個(gè)對(duì)頂?shù)、頂角很小的錐體,錐體與球面相交得到球面上的兩個(gè)面元ΔS1和ΔS2 ,設(shè)球面的電荷面密度為σ,則這兩個(gè)面元在P點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)分別為

ΔE1 = k

ΔE2 = k

為了弄清ΔE1和ΔE2的大小關(guān)系,引進(jìn)錐體頂部的立體角ΔΩ ,顯然

 = ΔΩ = 

所以 ΔE1 = k ,ΔE2 = k ,即:ΔE1 = ΔE2 ,而它們的方向是相反的,故在P點(diǎn)激發(fā)的合場強(qiáng)為零。

同理,其它各個(gè)相對(duì)的面元ΔS3和ΔS4 、ΔS5和ΔS6  激發(fā)的合場強(qiáng)均為零。原命題得證。

【模型變換】半徑為R的均勻帶電球面,電荷的面密度為σ,試求球心處的電場強(qiáng)度。

【解析】如圖7-6所示,在球面上的P處取一極小的面元ΔS ,它在球心O點(diǎn)激發(fā)的場強(qiáng)大小為

ΔE = k ,方向由P指向O點(diǎn)。

無窮多個(gè)這樣的面元激發(fā)的場強(qiáng)大小和ΔS激發(fā)的完全相同,但方向各不相同,它們矢量合成的效果怎樣呢?這里我們要大膽地預(yù)見——由于由于在x方向、y方向上的對(duì)稱性,Σ = Σ = 0 ,最后的ΣE = ΣEz ,所以先求

ΔEz = ΔEcosθ= k ,而且ΔScosθ為面元在xoy平面的投影,設(shè)為ΔS′

所以 ΣEz = ΣΔS′

 ΣΔS′= πR2 

【答案】E = kπσ ,方向垂直邊界線所在的平面。

〖學(xué)員思考〗如果這個(gè)半球面在yoz平面的兩邊均勻帶有異種電荷,面密度仍為σ,那么,球心處的場強(qiáng)又是多少?

〖推薦解法〗將半球面看成4個(gè)球面,每個(gè)球面在x、y、z三個(gè)方向上分量均為 kπσ,能夠?qū)ΨQ抵消的將是y、z兩個(gè)方向上的分量,因此ΣE = ΣEx …

〖答案〗大小為kπσ,方向沿x軸方向(由帶正電的一方指向帶負(fù)電的一方)。

【物理情形2】有一個(gè)均勻的帶電球體,球心在O點(diǎn),半徑為R ,電荷體密度為ρ ,球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔,空腔球心在O′點(diǎn),半徑為R′,= a ,如圖7-7所示,試求空腔中各點(diǎn)的場強(qiáng)。

【模型分析】這里涉及兩個(gè)知識(shí)的應(yīng)用:一是均勻帶電球體的場強(qiáng)定式(它也是來自疊加原理,這里具體用到的是球體內(nèi)部的結(jié)論,即“剝皮法則”),二是填補(bǔ)法。

將球體和空腔看成完整的帶正電的大球和帶負(fù)電(電荷體密度相等)的小球的集合,對(duì)于空腔中任意一點(diǎn)P ,設(shè) = r1 , = r2 ,則大球激發(fā)的場強(qiáng)為

E1 = k = kρπr1 ,方向由O指向P

“小球”激發(fā)的場強(qiáng)為

E2 = k = kρπr2 ,方向由P指向O′

E1和E2的矢量合成遵從平行四邊形法則,ΣE的方向如圖。又由于矢量三角形PE1ΣE和空間位置三角形OP O′是相似的,ΣE的大小和方向就不難確定了。

【答案】恒為kρπa ,方向均沿O → O′,空腔里的電場是勻強(qiáng)電場。

〖學(xué)員思考〗如果在模型2中的OO′連線上O′一側(cè)距離O為b(b>R)的地方放一個(gè)電量為q的點(diǎn)電荷,它受到的電場力將為多大?

〖解說〗上面解法的按部就班應(yīng)用…

〖答〗πkρq〔?〕。

二、電勢、電量與電場力的功

【物理情形1】如圖7-8所示,半徑為R的圓環(huán)均勻帶電,電荷線密度為λ,圓心在O點(diǎn),過圓心跟環(huán)面垂直的軸線上有P點(diǎn), = r ,以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn),試求P點(diǎn)的電勢U。

【模型分析】這是一個(gè)電勢標(biāo)量疊加的簡單模型。先在圓環(huán)上取一個(gè)元段ΔL ,它在P點(diǎn)形成的電勢

ΔU = k

環(huán)共有段,各段在P點(diǎn)形成的電勢相同,而且它們是標(biāo)量疊加。

【答案】UP = 

〖思考〗如果上題中知道的是環(huán)的總電量Q ,則UP的結(jié)論為多少?如果這個(gè)總電量的分布不是均勻的,結(jié)論會(huì)改變嗎?

〖答〗UP =  ;結(jié)論不會(huì)改變。

〖再思考〗將環(huán)換成半徑為R的薄球殼,總電量仍為Q ,試問:(1)當(dāng)電量均勻分布時(shí),球心電勢為多少?球內(nèi)(包括表面)各點(diǎn)電勢為多少?(2)當(dāng)電量不均勻分布時(shí),球心電勢為多少?球內(nèi)(包括表面)各點(diǎn)電勢為多少?

〖解說〗(1)球心電勢的求解從略;

球內(nèi)任一點(diǎn)的求解參看圖7-5

ΔU1 = k= k·= kσΔΩ

ΔU2 = kσΔΩ

它們代數(shù)疊加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = kσΔΩ

而 r1 + r2 = 2Rcosα

所以 ΔU = 2RkσΔΩ

所有面元形成電勢的疊加 ΣU = 2RkσΣΔΩ

注意:一個(gè)完整球面的ΣΔΩ = 4π(單位:球面度sr),但作為對(duì)頂?shù)腻F角,ΣΔΩ只能是2π ,所以——

ΣU = 4πRkσ= k

(2)球心電勢的求解和〖思考〗相同;

球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢求解可以從(1)問的求解過程得到結(jié)論的反證。

〖答〗(1)球心、球內(nèi)任一點(diǎn)的電勢均為k ;(2)球心電勢仍為k ,但其它各點(diǎn)的電勢將隨電量的分布情況的不同而不同(內(nèi)部不再是等勢體,球面不再是等勢面)。

【相關(guān)應(yīng)用】如圖7-9所示,球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R1和R2 ,帶有凈電量+q ,現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個(gè)電量為+Q的點(diǎn)電荷,試求球心處的電勢。

【解析】由于靜電感應(yīng),球殼的內(nèi)、外壁形成兩個(gè)帶電球殼。球心電勢是兩個(gè)球殼形成電勢、點(diǎn)電荷形成電勢的合效果。

根據(jù)靜電感應(yīng)的嘗試,內(nèi)壁的電荷量為-Q ,外壁的電荷量為+Q+q ,雖然內(nèi)壁的帶電是不均勻的,根據(jù)上面的結(jié)論,其在球心形成的電勢仍可以應(yīng)用定式,所以…

【答案】Uo = k - k + k 

〖反饋練習(xí)〗如圖7-10所示,兩個(gè)極薄的同心導(dǎo)體球殼A和B,半徑分別為RA和RB ,現(xiàn)讓A殼接地,而在B殼的外部距球心d的地方放一個(gè)電量為+q的點(diǎn)電荷。試求:(1)A球殼的感應(yīng)電荷量;(2)外球殼的電勢。

〖解說〗這是一個(gè)更為復(fù)雜的靜電感應(yīng)情形,B殼將形成圖示的感應(yīng)電荷分布(但沒有凈電量),A殼的情形未畫出(有凈電量),它們的感應(yīng)電荷分布都是不均勻的。

此外,我們還要用到一個(gè)重要的常識(shí):接地導(dǎo)體(A殼)的電勢為零。但值得注意的是,這里的“為零”是一個(gè)合效果,它是點(diǎn)電荷q 、A殼、B殼(帶同樣電荷時(shí))單獨(dú)存在時(shí)在A中形成的的電勢的代數(shù)和,所以,當(dāng)我們以球心O點(diǎn)為對(duì)象,有

UO = k + k + k = 0

QB應(yīng)指B球殼上的凈電荷量,故 QB = 0

所以 QA = -q

☆學(xué)員討論:A殼的各處電勢均為零,我們的方程能不能針對(duì)A殼表面上的某點(diǎn)去列?(答:不能,非均勻帶電球殼的球心以外的點(diǎn)不能應(yīng)用定式。

基于剛才的討論,求B的電勢時(shí)也只能求B的球心的電勢(獨(dú)立的B殼是等勢體,球心電勢即為所求)——

UB = k + k

〖答〗(1)QA = -q ;(2)UB = k(1-) 。

【物理情形2】圖7-11中,三根實(shí)線表示三根首尾相連的等長絕緣細(xì)棒,每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導(dǎo)體棒時(shí)完全相同。點(diǎn)A是Δabc的中心,點(diǎn)B則與A相對(duì)bc棒對(duì)稱,且已測得它們的電勢分別為UA和UB 。試問:若將ab棒取走,A、B兩點(diǎn)的電勢將變?yōu)槎嗌伲?/p>

【模型分析】由于細(xì)棒上的電荷分布既不均勻、三根細(xì)棒也沒有構(gòu)成環(huán)形,故前面的定式不能直接應(yīng)用。若用元段分割→疊加,也具有相當(dāng)?shù)睦щy。所以這里介紹另一種求電勢的方法。

每根細(xì)棒的電荷分布雖然復(fù)雜,但相對(duì)各自的中點(diǎn)必然是對(duì)稱的,而且三根棒的總電量、分布情況彼此必然相同。這就意味著:①三棒對(duì)A點(diǎn)的電勢貢獻(xiàn)都相同(可設(shè)為U1);②ab棒、ac棒對(duì)B點(diǎn)的電勢貢獻(xiàn)相同(可設(shè)為U2);③bc棒對(duì)A、B兩點(diǎn)的貢獻(xiàn)相同(為U1)。

所以,取走ab前  3U1 = UA

                 2U2 + U1 = UB

取走ab后,因三棒是絕緣體,電荷分布不變,故電勢貢獻(xiàn)不變,所以

  UA′= 2U1

                 UB′= U1 + U2

【答案】UA′= UA ;UB′= UA + UB 。

〖模型變換〗正四面體盒子由彼此絕緣的四塊導(dǎo)體板構(gòu)成,各導(dǎo)體板帶電且電勢分別為U1 、U2 、U3和U4 ,則盒子中心點(diǎn)O的電勢U等于多少?

〖解說〗此處的四塊板子雖然位置相對(duì)O點(diǎn)具有對(duì)稱性,但電量各不相同,因此對(duì)O點(diǎn)的電勢貢獻(xiàn)也不相同,所以應(yīng)該想一點(diǎn)辦法——

我們用“填補(bǔ)法”將電量不對(duì)稱的情形加以改觀:先將每一塊導(dǎo)體板復(fù)制三塊,作成一個(gè)正四面體盒子,然后將這四個(gè)盒子位置重合地放置——構(gòu)成一個(gè)有四層壁的新盒子。在這個(gè)新盒子中,每個(gè)壁的電量將是完全相同的(為原來四塊板的電量之和)、電勢也完全相同(為U1 + U2 + U3 + U4),新盒子表面就構(gòu)成了一個(gè)等勢面、整個(gè)盒子也是一個(gè)等勢體,故新盒子的中心電勢為

U′= U1 + U2 + U3 + U4 

最后回到原來的單層盒子,中心電勢必為 U =  U′

〖答〗U = (U1 + U2 + U3 + U4)。

☆學(xué)員討論:剛才的這種解題思想是否適用于“物理情形2”?(答:不行,因?yàn)槿切胃鬟吷想妱蓦m然相等,但中點(diǎn)的電勢和邊上的并不相等。)

〖反饋練習(xí)〗電荷q均勻分布在半球面ACB上,球面半徑為R ,CD為通過半球頂點(diǎn)C和球心O的軸線,如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),已知P點(diǎn)的電勢為UP ,試求Q點(diǎn)的電勢UQ 。

〖解說〗這又是一個(gè)填補(bǔ)法的應(yīng)用。將半球面補(bǔ)成完整球面,并令右邊內(nèi)、外層均勻地帶上電量為q的電荷,如圖7-12所示。

從電量的角度看,右半球面可以看作不存在,故這時(shí)P、Q的電勢不會(huì)有任何改變。

而換一個(gè)角度看,P、Q的電勢可以看成是兩者的疊加:①帶電量為2q的完整球面;②帶電量為-q的半球面。

考查P點(diǎn),UP = k + U半球面

其中 U半球面顯然和為填補(bǔ)時(shí)Q點(diǎn)的電勢大小相等、符號(hào)相反,即 U半球面= -UQ 

以上的兩個(gè)關(guān)系已經(jīng)足以解題了。

〖答〗UQ = k - UP 。

【物理情形3】如圖7-13所示,A、B兩點(diǎn)相距2L ,圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷,B處放有電量為-q的點(diǎn)電荷。試問:(1)將單位正電荷從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn),電場力對(duì)它做了多少功?(2)將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長線移到無窮遠(yuǎn)處去,電場力對(duì)它做多少功?

【模型分析】電勢疊加和關(guān)系WAB = q(UA - UB)= qUAB的基本應(yīng)用。

UO = k + k = 0

UD = k + k = -

U = 0

再用功與電勢的關(guān)系即可。

【答案】(1);(2)。 

【相關(guān)應(yīng)用】在不計(jì)重力空間,有A、B兩個(gè)帶電小球,電量分別為q1和q2 ,質(zhì)量分別為m1和m2 ,被固定在相距L的兩點(diǎn)。試問:(1)若解除A球的固定,它能獲得的最大動(dòng)能是多少?(2)若同時(shí)解除兩球的固定,它們各自的獲得的最大動(dòng)能是多少?(3)未解除固定時(shí),這個(gè)系統(tǒng)的靜電勢能是多少?

【解說】第(1)問甚間;第(2)問在能量方面類比反沖裝置的能量計(jì)算,另啟用動(dòng)量守恒關(guān)系;第(3)問是在前兩問基礎(chǔ)上得出的必然結(jié)論…(這里就回到了一個(gè)基本的觀念斧正:勢能是屬于場和場中物體的系統(tǒng),而非單純屬于場中物體——這在過去一直是被忽視的。在兩個(gè)點(diǎn)電荷的環(huán)境中,我們通常說“兩個(gè)點(diǎn)電荷的勢能”是多少。)

【答】(1)k;(2)Ek1 = k ,Ek2 = k;(3)k 

〖思考〗設(shè)三個(gè)點(diǎn)電荷的電量分別為q1 、q2和q3 ,兩兩相距為r12 、r23和r31 ,則這個(gè)點(diǎn)電荷系統(tǒng)的靜電勢能是多少?

〖解〗略。

〖答〗k(++)。

〖反饋應(yīng)用〗如圖7-14所示,三個(gè)帶同種電荷的相同金屬小球,每個(gè)球的質(zhì)量均為m 、電量均為q ,用長度為L的三根絕緣輕繩連接著,系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上。現(xiàn)將其中的一根繩子剪斷,三個(gè)球?qū)㈤_始運(yùn)動(dòng)起來,試求中間這個(gè)小球的最大速度。

〖解〗設(shè)剪斷的是1、3之間的繩子,動(dòng)力學(xué)分析易知,2球獲得最大動(dòng)能時(shí),1、2之間的繩子與2、3之間的繩子剛好應(yīng)該在一條直線上。而且由動(dòng)量守恒知,三球不可能有沿繩子方向的速度。設(shè)2球的速度為v ,1球和3球的速度為v′,則

動(dòng)量關(guān)系 mv + 2m v′= 0

能量關(guān)系 3k = 2 k + k + mv2 + 2m

解以上兩式即可的v值。

〖答〗v = q 。

三、電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì)

【物理情形】兩塊平行放置的很大的金屬薄板A和B,面積都是S ,間距為d(d遠(yuǎn)小于金屬板的線度),已知A板帶凈電量+Q1 ,B板帶盡電量+Q2 ,且Q2<Q1 ,試求:(1)兩板內(nèi)外表面的電量分別是多少;(2)空間各處的場強(qiáng);(3)兩板間的電勢差。

【模型分析】由于靜電感應(yīng),A、B兩板的四個(gè)平面的電量將呈現(xiàn)一定規(guī)律的分布(金屬板雖然很薄,但內(nèi)部合場強(qiáng)為零的結(jié)論還是存在的);這里應(yīng)注意金屬板“很大”的前提條件,它事實(shí)上是指物理無窮大,因此,可以應(yīng)用無限大平板的場強(qiáng)定式。

為方便解題,做圖7-15,忽略邊緣效應(yīng),四個(gè)面的電荷分布應(yīng)是均勻的,設(shè)四個(gè)面的電荷面密度分別為σ1 、σ2 、σ3和σ4 ,顯然

(σ1 + σ2)S = Q1 

(σ3 + σ4)S = Q2 

A板內(nèi)部空間場強(qiáng)為零,有 2πk(σ1 ? σ2 ? σ3 ? σ4)= 0

A板內(nèi)部空間場強(qiáng)為零,有 2πk(σ1 + σ2 + σ3 ? σ4)= 0

解以上四式易得 σ1 = σ4 = 

               σ2 = ?σ3 = 

有了四個(gè)面的電荷密度,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空間的場強(qiáng)就好求了〔如E =2πk(σ1 + σ2 ? σ3 ? σ4)= 2πk〕。

最后,UAB = Ed

【答案】(1)A板外側(cè)電量、A板內(nèi)側(cè)電量,B板內(nèi)側(cè)電量?、B板外側(cè)電量;(2)A板外側(cè)空間場強(qiáng)2πk,方向垂直A板向外,A、B板之間空間場強(qiáng)2πk,方向由A垂直指向B,B板外側(cè)空間場強(qiáng)2πk,方向垂直B板向外;(3)A、B兩板的電勢差為2πkd,A板電勢高。

〖學(xué)員思考〗如果兩板帶等量異號(hào)的凈電荷,兩板的外側(cè)空間場強(qiáng)等于多少?(答:為零。)

〖學(xué)員討論〗(原模型中)作為一個(gè)電容器,它的“電量”是多少(答:)?如果在板間充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的電介質(zhì),是否會(huì)影響四個(gè)面的電荷分布(答:不會(huì))?是否會(huì)影響三個(gè)空間的場強(qiáng)(答:只會(huì)影響Ⅱ空間的場強(qiáng))?

〖學(xué)員討論〗(原模型中)我們是否可以求出A、B兩板之間的靜電力?〔答:可以;以A為對(duì)象,外側(cè)受力·(方向相左),內(nèi)側(cè)受力·(方向向右),它們合成即可,結(jié)論為F = Q1Q2 ,排斥力!

【模型變換】如圖7-16所示,一平行板電容器,極板面積為S ,其上半部為真空,而下半部充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì),當(dāng)兩極板分別帶上+Q和?Q的電量后,試求:(1)板上自由電荷的分布;(2)兩板之間的場強(qiáng);(3)介質(zhì)表面的極化電荷。

【解說】電介質(zhì)的充入雖然不能改變內(nèi)表面的電量總數(shù),但由于改變了場強(qiáng),故對(duì)電荷的分布情況肯定有影響。設(shè)真空部分電量為Q1 ,介質(zhì)部分電量為Q2 ,顯然有

Q1 + Q2 = Q

兩板分別為等勢體,將電容器看成上下兩個(gè)電容器的并聯(lián),必有

U1 = U2   =  ,即  = 

解以上兩式即可得Q1和Q2 

場強(qiáng)可以根據(jù)E = 關(guān)系求解,比較常規(guī)(上下部分的場強(qiáng)相等)。

上下部分的電量是不等的,但場強(qiáng)居然相等,這怎么解釋?從公式的角度看,E = 2πkσ(單面平板),當(dāng)k 、σ同時(shí)改變,可以保持E不變,但這是一種結(jié)論所展示的表象。從內(nèi)在的角度看,k的改變正是由于極化電荷的出現(xiàn)所致,也就是說,極化電荷的存在相當(dāng)于在真空中形成了一個(gè)新的電場,正是這個(gè)電場與自由電荷(在真空中)形成的電場疊加成為E2 ,所以

E2 = 4πk(σ ? σ′)= 4πk( ? 

請(qǐng)注意:①這里的σ′和Q′是指極化電荷的面密度和總量;② E = 4πkσ的關(guān)系是由兩個(gè)帶電面疊加的合效果。

【答案】(1)真空部分的電量為Q ,介質(zhì)部分的電量為Q ;(2)整個(gè)空間的場強(qiáng)均為 ;(3)Q 。

〖思考應(yīng)用〗一個(gè)帶電量為Q的金屬小球,周圍充滿相對(duì)介電常數(shù)為εr的均勻電介質(zhì),試求與與導(dǎo)體表面接觸的介質(zhì)表面的極化電荷量。

〖解〗略。

〖答〗Q′= Q 。

四、電容器的相關(guān)計(jì)算

【物理情形1】由許多個(gè)電容為C的電容器組成一個(gè)如圖7-17所示的多級(jí)網(wǎng)絡(luò),試問:(1)在最后一級(jí)的右邊并聯(lián)一個(gè)多大電容C′,可使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電容也為C′?(2)不接C′,但無限地增加網(wǎng)絡(luò)的級(jí)數(shù),整個(gè)網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少?

【模型分析】這是一個(gè)練習(xí)電容電路簡化基本事例。

第(1)問中,未給出具體級(jí)數(shù),一般結(jié)論應(yīng)適用特殊情形:令級(jí)數(shù)為1 ,于是

 +  =  解C′即可。

第(2)問中,因?yàn)椤盁o限”,所以“無限加一級(jí)后仍為無限”,不難得出方程

 +  = 

【答案】(1)C ;(2)C 。

【相關(guān)模型】在圖7-18所示的電路中,已知C1 = C2 = C3 = C9 = 1μF ,C4 = C5 = C6 = C7 = 2μF ,C8 = C10 = 3μF ,試求A、B之間的等效電容。

【解說】對(duì)于既非串聯(lián)也非并聯(lián)的電路,需要用到一種“Δ→Y型變換”,參見圖7-19,根據(jù)三個(gè)端點(diǎn)之間的電容等效,容易得出定式——

Δ→Y型:Ca = 

          Cb = 

          Cc = 

Y→Δ型:C1 = 

         C2 = 

         C3 = 

有了這樣的定式后,我們便可以進(jìn)行如圖7-20所示的四步電路簡化(為了方便,電容不宜引進(jìn)新的符號(hào)表達(dá),而是直接將變換后的量值標(biāo)示在圖中)——

【答】約2.23μF 。

【物理情形2】如圖7-21所示的電路中,三個(gè)電容器完全相同,電源電動(dòng)勢ε1 = 3.0V ,ε2 = 4.5V,開關(guān)K1和K2接通前電容器均未帶電,試求K1和K2接通后三個(gè)電容器的電壓Uao 、Ubo和Uco各為多少。

【解說】這是一個(gè)考查電容器電路的基本習(xí)題,解題的關(guān)鍵是要抓與o相連的三塊極板(俗稱“孤島”)的總電量為零。

電量關(guān)系:++= 0

電勢關(guān)系:ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo 

          ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco 

解以上三式即可。

【答】Uao = 3.5V ,Ubo = 0.5V ,Uco = ?4.0V 。

【伸展應(yīng)用】如圖7-22所示,由n個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò),每一個(gè)單元由三個(gè)電容器連接而成,其中有兩個(gè)的電容為3C ,另一個(gè)的電容為3C 。以a、b為網(wǎng)絡(luò)的輸入端,a′、b′為輸出端,今在a、b間加一個(gè)恒定電壓U ,而在a′b′間接一個(gè)電容為C的電容器,試求:(1)從第k單元輸入端算起,后面所有電容器儲(chǔ)存的總電能;(2)若把第一單元輸出端與后面斷開,再除去電源,并把它的輸入端短路,則這個(gè)單元的三個(gè)電容器儲(chǔ)存的總電能是多少?

【解說】這是一個(gè)結(jié)合網(wǎng)絡(luò)計(jì)算和“孤島現(xiàn)象”的典型事例。

(1)類似“物理情形1”的計(jì)算,可得 C = Ck = C

所以,從輸入端算起,第k單元后的電壓的經(jīng)驗(yàn)公式為 Uk = 

再算能量儲(chǔ)存就不難了。

(2)斷開前,可以算出第一單元的三個(gè)電容器、以及后面“系統(tǒng)”的電量分配如圖7-23中的左圖所示。這時(shí),C1的右板和C2的左板(或C2的下板和C3的右板)形成“孤島”。此后,電容器的相互充電過程(C3類比為“電源”)滿足——

電量關(guān)系:Q1′= Q3

          Q2′+ Q3′= 

電勢關(guān)系: = 

從以上三式解得 Q1′= Q3′=  ,Q2′=  ,這樣系統(tǒng)的儲(chǔ)能就可以用得出了。

【答】(1)Ek = ;(2) 。

〖學(xué)員思考〗圖7-23展示的過程中,始末狀態(tài)的電容器儲(chǔ)能是否一樣?(答:不一樣;在相互充電的過程中,導(dǎo)線消耗的焦耳熱已不可忽略。)

☆第七部分完☆

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