的平面角.依題意.. 【查看更多】

 

題目列表(包括答案和解析)

小明家中有兩種酒杯，一種酒杯的軸截面是等腰直角三角形，稱(chēng)之為直角酒杯(如圖1)，另一種酒杯的軸截面近似一條拋物線，杯口寬4 cm，杯深為8 cm(如圖2)，稱(chēng)之為拋物線酒杯．

(1)請(qǐng)選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出拋物線酒杯的方程．

(2)一次，小明在游戲中注意到一個(gè)現(xiàn)象，若將一些大小不等的玻璃球依次放入直角酒杯中，則任何玻璃球能觸及酒杯杯底．但若將這些玻璃球放入拋物線酒杯中，則有些小玻璃不能觸及酒杯杯底．小明想用所學(xué)過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)研究一下，當(dāng)玻璃球的半徑r為多大值時(shí)，玻璃球一定會(huì)觸及酒杯杯底部．你能幫助小明解決這個(gè)問(wèn)題嗎？

(3)在拋物線酒杯中，放入一根粗細(xì)均勻，長(zhǎng)度為2 cm的細(xì)棒，假設(shè)細(xì)棒的端點(diǎn)與酒杯壁之間的摩擦可以忽略不計(jì)，那么當(dāng)細(xì)棒最后達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，細(xì)棒在酒杯中位置如何？

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如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿(mǎn)足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).

 

【解析】解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意得A(0,0,0)，D(2,0,0),C(0,1,0), ,P（0,0,2）.

（1）證明：易得，于是,所以

(2) ,設(shè)平面PCD的法向量，

則,即.不防設(shè)，可得.可取平面PAC的法向量于是從而.

所以二面角A-PC-D的正弦值為.

（3）設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,0，h），其中，由此得.

由，故 

所以，，解得，即.

解法二：（1）證明：由，可得，又由,,故.又,所以.

(2)如圖，作于點(diǎn)H，連接DH.由,,可得.

因此,從而為二面角A-PC-D的平面角.在中，,由此得由（1）知,故在中，

因此所以二面角的正弦值為.

（3）如圖，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012071821180638818491/SYS201207182118431693242163_ST.files/image044.png">，故過(guò)點(diǎn)B作CD的平行線必與線段AD相交，設(shè)交點(diǎn)為F，連接BE，EF. 故或其補(bǔ)角為異面直線BE與CD所成的角.由于BF∥CD，故.在中，故

在中，由,,

可得.由余弦定理，,

所以.

 

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