設函數(shù)，函數(shù)，其中a為常數(shù)且a＞0，令函數(shù)f（x）=g（x）•h（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的表達式，并求其定義域；
（2）當時，求函數(shù)f（x）的值域；
（3）是否存在自然數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的值域恰為？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)a所構(gòu)成的集合；若不存在，試說明理由．

函數(shù)f(x)=

a

x

+lnx，其中a為實常數(shù)．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）不等式f（x）≥1在x∈（0，1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若a=0，設g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=

1

23

+

2

32

+

3

43

+…+

n-1

n3

（n≥2，n∈N₊）．是否存在實常數(shù)b，既使g（n）-f（n）＞b又使h（n）-f（n+1）＜b對一切n≥2，n∈N₊恒成立？若存在，試找出b的一個值，并證明；若不存在，說明理由．