（2006•崇文區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足

an

an-1

=

n+1

n-1

(n∈N*，n＞1)，a₁=2
（I）求證：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）
（II）求數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n；
（III）是否存在無限集合M，使得當(dāng)n∈M時，總有|Tn-1|＜

1

10

成立．若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由．

（2006•崇文區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}滿足3S_n=（n+2）a_n（n∈N^*），其中S_n為其前n項(xiàng)的和，a₁=2
（I）證明：數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=n（n+1）；
（II）求數(shù)列{

1

an

}的前n項(xiàng)和T_n；
（III）是否存在無限集合M，使得當(dāng)n∈M時，總有|Tn-1|＜

1

10

成立，若存在，請找出一個這樣的集合；若不存在，請說明理由．

（2011•朝陽區(qū)二模）對于整數(shù)a，b，存在唯一一對整數(shù)q和r，使得a=bq+r，0≤r＜|b|．特別地，當(dāng)r=0時，稱b能整除a，記作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），試求q，r的值；
（Ⅱ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的個數(shù)），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，則稱B為“諧和集”．請寫出一個含有元素7的“諧和集”B₀和一個含有元素8的非“諧和集”C，并求最大的m∈A，使含m的集合A有12個元素的任意子集為“諧和集”，并說明理由．

已知：函數(shù)f（x）=a•lnx+bx²+x在點(diǎn)（f，f（1））處的切線方程為x-y-1=0．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）設(shè)函數(shù)y=

1

2

f(x)+

x(x-1)

2

的反函數(shù)為p（x），t（x）=p（x）（1-x），求函數(shù)t（x）的最大值；
（3）在（2）中，問是否存在正整數(shù)N，使得當(dāng)n∈N₊且n＞N時，不等式p(-1)+p(-

1

2

)+p(-

1

3

) +p(-

1

n

) ＜n-2011恒成立？若存在，請找出一個滿足條件的N的值，并給以說明；若不存在，請說明理由．