絕密★啟用前 試卷類型:A
廣東省深圳市2009年高三年級(jí)第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(理科) 2009.3
本試卷共6頁,21小題,滿分150分?荚囉脮r(shí)120分鐘。
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生首先檢查答題卡是否整潔無缺損,監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形碼是否正確;之后務(wù)必用0.5毫米黑色字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自己的學(xué)校、姓名和考生號(hào),同時(shí),將監(jiān)考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答題卡的貼條形碼區(qū),請(qǐng)保持條形碼整潔、不污損。
2.選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案,答案不能答在試卷上。不按要求填涂的,答案無效。
3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上,請(qǐng)注意每題答題空間,預(yù)先合理安排;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。
4.作答選做題時(shí),請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn),再做答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的答案無效。
5.考生必須保持答題卡的整潔,考試結(jié)束后,將答題卡交回。
參考公式:
如果事件互斥,那么;
如果事件相互獨(dú)立,那么;
橢圓的準(zhǔn)線方程為,其中;
若球的半徑為,則球的表面積為,體積為.
一、選擇題:本大題共8個(gè)小題;每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù),則的值等于
A. B. C. D.
2.右圖是一個(gè)幾何體的三視圖,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),可得該幾何體的表面積是
A.
B.
C.
D.
3.若函數(shù)的圖象如右圖,其中為常數(shù).則函數(shù)的大致圖象是
A. B. C. D.
4.設(shè)平面區(qū)域是由雙曲線的兩條漸近線和橢圓的右準(zhǔn)線所圍成三角形的邊界及內(nèi)部.若點(diǎn),則目標(biāo)函數(shù)的最大值為
A. B. C. D.
5.定義行列式運(yùn)算:將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位,若所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則的最小值是
A. B. C. D.
6.利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間上產(chǎn)生兩個(gè)隨機(jī)數(shù)和,則方程有實(shí)根的概率為
A. B. C. D.
7.在右圖的表格中,如果每格填上一個(gè)數(shù)后,每一橫行成等差數(shù)列,每一縱列成等比數(shù)列,那么的值為
A. B.
C. D.
8.用紅、黃、藍(lán)三種顏色之一去涂圖中標(biāo)號(hào)為的個(gè)小正方形(如右圖),使得任意相鄰(有公共邊的)小正方形所涂顏色都不相同,且標(biāo)號(hào)為“、、”的小正方形涂相同的顏色,則符合條件的所有涂法共有
A.種 B.種
C.種 D.種
二、填空題:本大題共7小題,每小題5分,滿分30分.本大題分為必做題和選做題兩部分.
(一)必做題:第9、10、11、12題為必做題,每道試題考生都必須做答
9.某大型超市銷售的乳類商品有四種:純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉,且純奶、酸奶、嬰幼兒奶粉、成人奶粉分別有種、種、種、種不同的品牌.現(xiàn) 采用分層抽樣的方法從中抽取一個(gè)容量為的樣本進(jìn)行三聚氰胺安全檢測(cè),若抽取的嬰幼兒奶粉的品牌數(shù)是,則 .
10.已知為正偶數(shù),且的展開式中第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大,則第項(xiàng)的系數(shù)是 .(用數(shù)字作答)m.dads4merica.com
11.已知命題,.若命題是假命題,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
12.已知是的中線,,那么 ;若,,則的最小值是 .
(二)選做題:第13、14、15題為選做題,考生只能選做兩題,三題全答的,只計(jì)算前兩題的得分.
13.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線在極坐標(biāo)系中的方程為.若曲線與有兩個(gè)不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
14.(幾何證明選講選做題)如圖,切⊙于點(diǎn),交⊙于、兩點(diǎn),且與直徑交于點(diǎn),,,,則 .
15.(不等式選講選做題)若不等式,對(duì)滿足的一切實(shí)數(shù)、、恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
三、解答題:本大題6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)m.dads4merica.com
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)設(shè),求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間.
17.(本小題滿分12分)
如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,,矩形所在平面和圓所在的平面互相垂直.已知,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大小;
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角的大小為?
18.(本小題滿分14分)
甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定每局勝者得1分,負(fù)者得分(無平局),比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
(Ⅰ)若右圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)和甲、乙的總得分?jǐn)?shù)、的程序框圖.其中如果甲獲勝,輸入,;如果乙獲勝,則輸入.請(qǐng)問在第一、第二兩個(gè)判斷框中應(yīng)分別填寫什么條件?
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
注:“”,即為“”或?yàn)椤?sub>”.
19.(本題滿分14分)
已知函數(shù)(,).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
20.(本題滿分14分)
在四邊形中,已知,點(diǎn)在軸上, ,且對(duì)角線.
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線、,、為切點(diǎn),為的中點(diǎn).求證:軸;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,直線是否恒過一定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
21.(本題滿分14分)
已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若數(shù)列滿足:,(),求數(shù)列的通項(xiàng);
(Ⅱ)若數(shù)列滿足:,().
(?)當(dāng)時(shí),數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是,請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng);若不是,請(qǐng)說明理由;
(?)當(dāng)時(shí),求證:.
2009年深圳市高三年級(jí)第一次調(diào)研考試
數(shù)學(xué)(理科)答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
說明:
1
2
3
4
5
6
7
8
C
C
D
C
A
B
B
A
二、填空題:本大題每小題5分(第12題前空2分,后空3分),滿分30分.
9.. 10.. 11. . 12. ; .
13.. 14. . 15..
三、解答題:本大題6小題,滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.
16.(本小題滿分12分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求的最小正周期;
(Ⅱ)設(shè),求的值域和單調(diào)遞增區(qū)間
【解】(Ⅰ)∵
. ……………… 3分
的最小正周期為. ………………… 5分
(Ⅱ)∵, , .
的值域?yàn)?sub>. ……………… 10分
當(dāng)遞減時(shí),遞增.
,即.
故的遞增區(qū)間為. ……………………12分
17.(本小題滿分12分)
如圖,為圓的直徑,點(diǎn)、在圓上,,矩形和圓所在的平面互相垂直.已知,.
(Ⅰ)求證:平面平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的大;
(Ⅲ)當(dāng)的長(zhǎng)為何值時(shí),二面角的大小為?
【解】(Ⅰ)證明:平面平面,,
平面平面=,
平面.
平面,,
又為圓的直徑,,
平面.
平面,平面平面. ………………………4分
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)的證明,有平面,為在
平面上的射影,
因此,為直線與平面所成的角. ………………………5分
,四邊形為等腰梯形,
過點(diǎn)作,交于.
,,則.
在中,根據(jù)射影定理,得. ………………………7分
,.
直線與平面所成角的大小為. ………………………8分
(Ⅲ)(解法一)過點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),連.
根據(jù)(Ⅰ)的證明,平面,則,
為二面角的平面角,. …………………9分
在中,,,. ………………… 10分
又四邊形為矩形, .
.
因此,當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí),二面角的大小為. …………………12分
(解法二)設(shè)中點(diǎn)為,以為坐標(biāo)原點(diǎn),、、方向
分別為軸、軸、軸方向建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)
設(shè),則點(diǎn)的坐標(biāo)為
在中,,,.
點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,
,
設(shè)平面的法向量為,則,.
即 令,解得
…………………10分
取平面的一個(gè)法向量為,依題意與的夾角為
,即, 解得(負(fù)值舍去)
因此,當(dāng)的長(zhǎng)為時(shí),二面角的大小為. …………………12分
18.(本小題滿分14分)
甲乙兩人進(jìn)行圍棋比賽,約定每局勝者得1分,
負(fù)者得分,比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多分或打滿
局時(shí)停止.設(shè)甲在每局中獲勝的概率為,
且各局勝負(fù)相互獨(dú)立.已知第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽
停止的概率為.
若右圖為統(tǒng)計(jì)這次比賽的局?jǐn)?shù)和甲、乙的總得
分?jǐn)?shù)、的程序框圖.其中如果甲獲勝,輸入,
;如果乙獲勝,則輸入.
寫什么條件?
(Ⅰ)在右圖中,第一、第二兩個(gè)判斷框應(yīng)分別填
(Ⅱ)求的值;
(Ⅲ)設(shè)表示比賽停止時(shí)已比賽的局?jǐn)?shù),求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
注:“”,即為“”或?yàn)椤?sub>”.
【解】(Ⅰ)程序框圖中的第一個(gè)條件框應(yīng)填,第二個(gè)應(yīng)填. ………………… 4分
注意:答案不唯一.
如:第一個(gè)條件框填,第二個(gè)條件框填,或者第一、第二條件互換.都可以.
(Ⅱ)依題意,當(dāng)甲連勝局或乙連勝局時(shí),第二局比賽結(jié)束時(shí)比賽結(jié)束.
有.
解得或. …………………………………6分
, . ………………………… 7分
(Ⅲ)(解法一)依題意知,的所有可能值為2,4,6. ………………………… 8分
設(shè)每?jī)删直荣悶橐惠,則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為.
若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù),則甲、乙在該輪中必是各得一分,此時(shí),該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響.
從而有,
,
.
隨機(jī)變量的分布列為: …………………………… 12分
故. …………………………… 14分
(解法二)依題意知,的所有可能值為2,4,6. ………………… 8分
令表示甲在第局比賽中獲勝,則表示乙在第局比賽中獲勝.
由獨(dú)立性與互不相容性得
,
,
. ………………… 12分
隨機(jī)變量的分布列為:m.dads4merica.com
故. ………………… 14分
19.(本題滿分14分)
已知函數(shù)(,).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若不等式對(duì)一切正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【解】(Ⅰ) ………………… 2分
,
由,得.
,,.
又.
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為. ………… 6分
(Ⅱ)【法一】不等式,即為.……………(※)
令,當(dāng)時(shí),.
則不等式(※)即為. …………………9分
令,,
在的表達(dá)式中,當(dāng)時(shí),,
又時(shí),,
在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
在時(shí),取得最大,最大值為. …………………12分
因此,對(duì)一切正整數(shù),當(dāng)時(shí),取得最大值.
實(shí)數(shù)的取值范圍是. ………………………… 14分
【法二】不等式,即為.………………(※)
設(shè),
,
令,得或. ………………………… 10分
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),取得最大值.
因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是. ………………………… 14分
20.(本題滿分14分)
在四邊形中,已知,點(diǎn)在軸上, ,且對(duì)角線.
(Ⅰ) 求點(diǎn)的軌跡的方程;
(Ⅱ)若點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),過點(diǎn)作點(diǎn)的軌跡的兩切線、,、為切點(diǎn),為的中點(diǎn).求證:軸或與軸重合;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的條件下,直線是否恒過一定點(diǎn)?若是,請(qǐng)求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
【解】(Ⅰ)如圖,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
則,
,,即.
∴所求的軌跡是除去頂點(diǎn)的拋物線 ……………… 3分
(解法一)(Ⅱ)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得,.
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,則過該切點(diǎn)的切線的斜率是,該切線方程是.
又設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,
切線過點(diǎn),有,
化簡(jiǎn),得. …………………………6分
設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,則、為方程的兩根,
.
因此,當(dāng)時(shí),直線與軸重合,當(dāng)時(shí),直線與軸平行 …………9分
(Ⅲ) .
點(diǎn)的坐標(biāo)為.
又.
直線的方程為:,即.………()
當(dāng)時(shí),方程()恒成立,
對(duì)任意實(shí)數(shù),直線恒過定點(diǎn),定點(diǎn)坐標(biāo)為. …………………………14分
(解法二)(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,利用切點(diǎn)弦直線方程的結(jié)論可得出直線的方程為,即 …………………………7分
由 得.
.
.
因此,當(dāng)時(shí),直線與軸重合,當(dāng)時(shí),直線與軸平行. ……………9分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得知直線的方程為,即.
后面解法同解法一.
21.(本題滿分14分)
已知函數(shù),為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若數(shù)列滿足:,(),求數(shù)列的通項(xiàng);
(Ⅱ)若數(shù)列滿足:,().
(?)當(dāng)時(shí),數(shù)列是否為等差數(shù)列?若是,請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng);若不是,請(qǐng)說明理由;
(?)當(dāng)時(shí), 求證:.
【解】(Ⅰ), …………………………1分
,
即. …………………………3分
, 數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列.
,即. …………………………5分
(Ⅱ)(?),
.
當(dāng)時(shí),.
假設(shè),則.
由數(shù)學(xué)歸納法,得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列,其通項(xiàng)為. …………8分
(?), .
當(dāng)時(shí),.
假設(shè),則 .
由數(shù)學(xué)歸納法,得出數(shù)列.……………10分
又,
,
即. …………………………12分
.
,
. …………………………14分
審題:石永生 命題:喻秋生 姚亮 黃元華
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