鎮(zhèn)江市2009屆高三解析幾何專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)
1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,平行于x軸且過(guò)點(diǎn)A的入射光線l1被直線l:反射,反射光線l2交y軸于B點(diǎn).圓C過(guò)點(diǎn)A且與l1、l2相切.
(1)求l2所在的直線的方程和圓C的方程;
(2)設(shè)P、Q分別是直線l和圓C上的動(dòng)點(diǎn),求PB+PQ的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
解:
1.(Ⅰ)直線設(shè).
的傾斜角為,
反射光線所在的直線方程為
. 即.
已知圓C與
圓心C在過(guò)點(diǎn)D且與垂直的直線上, ①
又圓心C在過(guò)點(diǎn)A且與垂直的直線上,、,由①②得,
圓C的半徑r=3.
故所求圓C的方程為.
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),
則
得.固定點(diǎn)Q可發(fā)現(xiàn),當(dāng)共線時(shí),最小,
故的最小值為為.
,得最小值.
2.(本小題滿分15分)
如圖,平面直角坐標(biāo)系中,和為兩等腰直角三角形,,C(a,0)(a>0).設(shè)和的外接圓圓心分別為,.
(Ⅰ)若⊙M與直線CD相切,求直線CD的方程;
(Ⅱ)若直線AB截⊙N所得弦長(zhǎng)為4,求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅲ)是否存在這樣的⊙N,使得⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為,若存在,求此時(shí)⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程;若不存在,說(shuō)明理由.
2 .解:(Ⅰ)圓心.
∴圓方程為,
直線CD方程為.
∵⊙M與直線CD相切,
∴圓心M到直線CD的距離d=,
化簡(jiǎn)得: (舍去負(fù)值).
∴直線CD的方程為.
(Ⅱ)直線AB方程為:,圓心N .
∴圓心N到直線AB距離為.
∵直線AB截⊙N的所得弦長(zhǎng)為4,
∴.
∴a=±(舍去負(fù)值) .
∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(Ⅲ)存在.
由(Ⅱ)知,圓心N到直線AB距離為(定值),且AB⊥CD始終成立,
∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N半徑,即a=4時(shí),⊙N上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線AB的距離為 .
此時(shí), ⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
3.(本題滿分16分)
設(shè)曲線C:的離心率為,右準(zhǔn)線與兩漸近線交于P,Q兩點(diǎn),其右焦點(diǎn)為F,且△PQF為等邊三角形。
(1)求雙曲線C的離心率;
(2)若雙曲線C被直線截得弦長(zhǎng)為,求雙曲線方程;
(3)設(shè)雙曲線C經(jīng)過(guò),以F為左焦點(diǎn),為左準(zhǔn)線的橢圓的短軸端點(diǎn)為B,求BF 中點(diǎn)的軌跡N方程。
3. 解:⑴如圖:易得P
設(shè)右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為M,
∵△PQF為等邊三角形
∴|MF|=|PM|
∴
化簡(jiǎn)得:
∴
∴
⑵ 由⑴知:
∴雙曲線方程可化為:,即
聯(lián)列方程:
消去得:
由題意: (*)
設(shè)兩交點(diǎn)A,B
則
∴|AB|==
化簡(jiǎn)得:,即
解得:或,均滿足(*)式
∴ 或
∴所求雙曲線方程為:或
⑶由⑴知雙曲線C可設(shè)為:
∵其過(guò)點(diǎn)A ∴
∴雙曲線C為:
∴其右焦點(diǎn)F,右準(zhǔn)線:
設(shè)BF的中點(diǎn)N,則B
由橢圓定義得:(其中為點(diǎn)B到的距離)
∴
化簡(jiǎn)得:
∵點(diǎn)B是橢圓的短軸端點(diǎn),故
∴BF的中點(diǎn)的軌跡方程是:(或)
4.(本小題滿分12分)已知函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(1,4),曲線在點(diǎn)M處的切線恰好與直線垂直。
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,求m的取值范圍。
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