17.如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是

梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD₁=AB=1，P、Q分別是CC₁、C₁D₁的中點。點P到直線

AD₁的距離為

⑴求證：AC∥平面BPQ

⑵求二面角B-PQ-D的大小

18.已知長方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=4，AA₁=8，E、F分別為AD和CC₁的中點，O₁為下底面正方形的中心。

    （Ⅰ）證明：AF⊥平面FD₁B₁；

（Ⅱ）求異面直線EB與O₁F所成角的余弦值；               

19. 圖①是一個正方體的表面展開圖，MN和PQ是兩條面對角線，請在圖（2）的正方體中將MN，PQ畫出來，并就這個正方體解答下列各題：

       （1）求MN和PQ所成角的大�。�

       （2）求四面體M―NPQ的體積與正方體的體積之比；

       （3）求二面角M―NQ―P的大小。

20. 如圖，已知四棱錐P―ABCD，PB⊥AD，側(cè)面PAD為邊長等于2的正三角形，底面ABCD為菱形，側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角為120°。

       （1）求點P到平面ABCD的距離；

       （2）求面APB與面CPB所成二面角的大小。

答案：

1. （1）正方形ABCD是四棱錐P―ABCD的底面, 其面積

為從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

    ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB，

    ∴PA⊥DA，

    ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角，

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱錐P―ABCD的高，PB=AB?tg60°=a,

     .                               

（2）不論棱錐的高怎樣變化，棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

      作AE⊥DP，垂足為E，連結(jié)EC，則△ADE≌△CDE，

      是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

          設(shè)AC與DB相交于點O，連結(jié)EO，則EO⊥AC，

      在

     故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.

2. （1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）連結(jié)B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.

3. (1) 過D向平面做垂線，垂足為O，連強OA并延長至E.

為二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形，斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=

（2）過O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO  為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中，OA=2cos60°=1.且

  （3）在平在內(nèi)，過C作AB的平行線交AE于F，∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形，又AF等于C到AB的距離，即△ABC斜邊上的高,

異面直線AB,CD所成的角為arctg

4. 設(shè)容器的高為x．則容器底面正三角形的邊長為,

                .

    當且僅當 .

故當容器的高為時，容器的容積最大，其最大容積為

5. (1）∵PC⊥底面ABC，BD平面ABC，∴PC⊥BD．

由AB=BC，D為AC的中點，得BD⊥AC．又PC∩AC=C，∴BD⊥平面PAC． 又PA平面、PAC，∴BD⊥PA．由已知DE⊥PA，DE∩BD=D，∴AP⊥平面BDE．

  （2）由BD⊥平面PAC，DE平面PAC，得BD⊥DE．由D、F分別為AC、PC的中點，得DF//AP．

由已知，DE⊥AP，∴DE⊥DF. BD∩DF=D，∴DE⊥平面BDF．

又DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面BDF．

  （3）設(shè)點E和點A到平面PBC的距離分別為h₁和h₂．則

           h₁∶h₂=EP∶AP=2∶3,

    故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1

6. ∵F、G分別為EB、AB的中點，

∴FG=EA，又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC，

    ∴四邊形FGCD為平行四邊形，∴FD∥GC，又GC面ABC，

    ∴FD∥面ABC.

（2）∵AB=EA，且F為EB中點，∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA，EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC，AB邊的中點，∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC，∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD，又BD面EBD，∴AF⊥BD.

    （3）由（1）、（2）知FG⊥GB，GC⊥GB，∴GB⊥面GCF.

過G作GH⊥FC，垂足為H，連HB，∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

7. （1）在平面AD₁內(nèi)，作PP₁∥AD與DD₁交于點P₁，在平面AC內(nèi)，作

QQ₁∥BC交CD于點Q₁，連結(jié)P₁Q₁.

    ∵ ,     ∴PP₁QQ₁ .?

由四邊形PQQ₁P₁為平行四邊形,   知PQ∥P₁Q₁? ?

而P₁Q₁平面CDD₁C₁，  所以PQ∥平面CDD₁C₁?

（2）AD⊥平面D₁DCC₁，    ∴AD⊥P₁Q₁，?

又∵PQ∥P₁Q₁，   ∴AD⊥PQ.?

（3）由（1）知P₁Q₁ PQ,

，而棱長CD=1.     ∴DQ₁=.  同理可求得 P₁D=.

在Rt△P₁DQ₁中，應(yīng)用勾股定理, 立得

P₁Q₁=.?

8. 解：建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，則，，，

，。

  （Ⅰ）證明：由，，

，有，于是。

  （Ⅱ）E是AB的中點，得。

，，。

  設(shè)平面的法向量為，單位法向量為，

由，解得。

  于是，有。

設(shè)點E到平面的距離為，則

。

  所以點E到平面的距離為。

  （Ⅲ）平面的法向量，設(shè)平面的法向量。

又，。

 由，得

，解得，于是。

設(shè)所求的二面角為，則。

  有，得。

解得，

所以，當AE=時，二面角的大小為。

9. （1）取A₁C₁中點F，連結(jié)B₁F，DF，∵D₁E分別為AC₁和BB₁的中點，DF∥AA₁，

DF=（1/2）AA₁，B₁E∥AA₁，B₁E=（1/2）AA₁，∴DF∥B₁E，DF=B₁E，∴DEB₁F為平行四邊形，∴DE∥B₁F，又B₁F在平面A₁B₁C₁內(nèi)，DE不在平面A₁B₁C₁，∴DE∥平面A₁B₁C₁

（2）連結(jié)A₁D，A₁E，在正棱柱ABC―A₁B₁C₁中，因為平面A₁B₁C₁⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁是平面A₁B₁C₁與平面ACC₁A₁的交線，又因為B₁F在平面A₁B₁C₁內(nèi)，且B₁F⊥A₁C₁，，所以B₁F⊥平面ACC₁A₁，又DE∥B₁F，所以DE⊥平面ACC₁A₁所以∠FDA₁為二面角A₁―DE―B₁的平面角。并且∠FDA₁=（1/2）∠A₁DC₁，設(shè)正三棱柱的棱長為1，因為∠AA₁C₁=90⁰，D是AC₁的中點，所以即為所求的二面角的度數(shù)。

10．（I）連結(jié)DF，DC 　∵三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

　　∴CC₁⊥平面ABC，∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC

　　∵AB＝AC，D為BC的中點，∴AD⊥BC，AD⊥平面BB₁C₁C                                             3＇