上海市四校2009屆高三質(zhì)量調(diào)研
數(shù)學(xué)(理科)試題
考生注意:
1.答卷前,考生務(wù)必在答題紙上將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚.
2.本試卷共有21道試題,滿分150分.考試時(shí)間120分鐘.
題號(hào)
一
二
三
總分
16
17
18
19
20
21
得分
一、填空題 (本大題滿分55分)本大題共有11題,只要求直接填寫結(jié)果,每個(gè)空格填對(duì)得5分,否則一律得零分。
1.已知,若為純虛數(shù),則的值為。
2.已知集合,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍是。
3.已知函數(shù),。
4.球面上有A、B、C三點(diǎn),AB=AC=2,,球心到平面ABC的距離為1,則球的表面積為。
5.已知數(shù)列滿足:,且對(duì)任意的正整數(shù),都有,若數(shù)列
的前項(xiàng)和為,則。
6.若,且,則_________。
7.已知雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,則。
8.已知對(duì)于任意實(shí)數(shù),函數(shù)滿足,若方程有且僅有2009個(gè)實(shí)數(shù)解,則這2009個(gè)實(shí)數(shù)解之和為 。
9.袋中有3個(gè)白球,2個(gè)紅球和若干個(gè)黑球(球的大小均相同),從中任取2個(gè)球,設(shè)每取得一個(gè)黑球得0分,每取得一個(gè)白球得1分,每取得一個(gè)紅球得2分,已知得0分的概率為,則袋中黑球的個(gè)數(shù)為。
10.中,分別是角的對(duì)邊,已知,,現(xiàn)有以下判斷:
① 不可能等于15;② 若,則;③若,則有兩解。請(qǐng)將所有正確的判斷序號(hào)填在橫線上____________。
11.如圖所示,已知D是面積為1的△ABC的邊AB的中點(diǎn),E
是邊AC上任一點(diǎn),連結(jié)DE,F(xiàn)是線段DE上一點(diǎn),連結(jié)BF,
設(shè),,,且,則△BDF的面積S的最
大值是 。
二、選擇題(本大題滿分16分)本大題共有4題,每題都給出代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)結(jié)論,其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的,必須把正確結(jié)論的代號(hào)寫在題后的圓括號(hào)內(nèi),選對(duì)得 4分,不選、選錯(cuò)或者選出的代號(hào)超過(guò)一個(gè),一律得零分。
12.設(shè)已知全集,集合,則等于 ( )
(A) (B) (C) (D)
13.設(shè) ( )
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
14.已知點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn),PA、PB是圓的兩條切線,A、B是切點(diǎn),若四邊形PACB(C為圓心)面積的最小值為2,則k的值為 ( )
(A)3 (B) (C) (D)2
15.已知不等式對(duì)于,恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
(A) (B) (C) (D)
三、解答題(本大題滿分90分)本大題共有6題,解答下列各題必須寫出必要的步驟.
16.(本題滿分11分)如圖,、是單位圓上的點(diǎn),是單位圓與軸正半軸的交點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為,三角形為等邊三角形。求及的值。
17. (本題滿分12分) 本題共有3個(gè)小題,每小題滿分4分。
如圖,四面體中,、分別是、的中點(diǎn),
。
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求異面直線與所成角的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)到平面的距離。
18. (本題滿分12分) 本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分5分,第2小題滿分7分。
某企業(yè)為打入國(guó)際市場(chǎng),決定從A、B兩種產(chǎn)品中只選擇一種進(jìn)行投資生產(chǎn)。已知投資生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù)如下表:(單位:萬(wàn)美元)
項(xiàng)目
類別
年固定成本
(單位:萬(wàn)美元)
每件產(chǎn)品成本
(單位:萬(wàn)美元)
每件產(chǎn)品銷售價(jià)
(單位:萬(wàn)美元)
每年最多可生產(chǎn)的件數(shù)(單位:件)
A產(chǎn)品
20
10
200
B產(chǎn)品
40
8
18
120
其中年固定成本與年生產(chǎn)的件數(shù)無(wú)關(guān),為常數(shù),且。另外,年銷售件B產(chǎn)品時(shí)需上交萬(wàn)美元的特別關(guān)稅。
(1)寫出該廠分別投資生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的年利潤(rùn),與生產(chǎn)相應(yīng)產(chǎn)品的件數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系并指明其定義域;
(2)如何投資才可獲得最大年利潤(rùn)。
19. (本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分6分,第2小題滿分8分。
已知函數(shù),
(1)判斷的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)當(dāng)時(shí),討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性。
20. (本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題,第1小題滿分7分,第2小題滿分7分。
在直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,
也是拋物線的焦點(diǎn),點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn),且。
(Ⅰ)求點(diǎn)的的坐標(biāo)及橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線,且與橢圓交于兩點(diǎn),提出一個(gè)與面積相關(guān)的問(wèn)題,并作出正確解答。
21. (本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分。
已知為實(shí)數(shù),數(shù)列滿足,當(dāng)時(shí),,
(1)當(dāng)時(shí),填寫下列列表格:
2
3
35
100
(2)當(dāng)時(shí),求數(shù)列的前100項(xiàng)的和;
(3)令,求證:當(dāng)時(shí),。
2008學(xué)年度四校質(zhì)量調(diào)研
高三數(shù)學(xué)試卷(理科)
一、填空題:
1. 2. 3. 4.12 5. 6.11 7. 8.2009 9.4個(gè) 10.①②
11.解: 。因?yàn)椤鰽BC的面積為1, ,所以,△ABE的面積為,因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),所以, △BDE的面積為,因?yàn)?sub>,所以△BDF的面積為,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最大值。
二、選擇題:
12.B 13.C 14.D 15.D
三、解答題:
16.解:(Ⅰ)因?yàn)?sub>點(diǎn)的坐標(biāo)為,根據(jù)三角函數(shù)定義可知,,, 2分
所以 4分
(Ⅱ)因?yàn)槿切?sub>為正三角形,所以,,, 5分
所以
8分
所以
。 11分
17.解:方法一:(I)證明:連結(jié)OC,因?yàn)?sub>所以
又所以, 2分
在中,由已知可得 而
所以所以即,
而 所以平面。 4分
(II)解:取AC的中點(diǎn)M,連結(jié)OM、ME、OE,由E為BC的中點(diǎn)知
所以直線OE與EM所成的銳角就是異面直線AB與CD所成的角, 5分
在中,因?yàn)?sub>是直角斜邊AC上的中線,所以所以所以異面直線AB與CD所成角的大小為。 8分
(III)解:設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為,因?yàn)?sub>
9分
在中, 所以
而所以,
所以點(diǎn)E到平面ACD的距離為。 12分
方法二:(I)同方法一。
(II)解:以O(shè)為原點(diǎn),如圖建立直角坐標(biāo)系,則 ,設(shè)的夾角為,則所以異面直線AB與CD所成角的大小為。
(III)解:設(shè)平面ACD的法向量為則
令得是平面ACD的一個(gè)法向量。又 所以點(diǎn)E到平面ACD的距離 。
18.解:(Ⅰ)由年銷售量為件,按利潤(rùn)的計(jì)算公式,有生產(chǎn)A、B兩產(chǎn)品的年利潤(rùn)分別為:
且 2分
所以 5分
(Ⅱ)因?yàn)?sub>所以為增函數(shù),
,所以時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品有最大利潤(rùn)為(萬(wàn)美元) 7分
又,所以時(shí),生產(chǎn)B產(chǎn)品
有最大利潤(rùn)為460(萬(wàn)美元) 9分
現(xiàn)在我們研究生產(chǎn)哪種產(chǎn)品年利潤(rùn)最大,為此,我們作差比較:
11分
所以:當(dāng)時(shí),投資生產(chǎn)A產(chǎn)品200件可獲得最大年利潤(rùn);
當(dāng)時(shí),生產(chǎn)A產(chǎn)品與生產(chǎn)B產(chǎn)品均可獲得最大年利潤(rùn);
當(dāng)時(shí),投資生產(chǎn)B產(chǎn)品100件可獲得最大年利潤(rùn)。12分
19.解:(1)當(dāng)時(shí), ,成立,所以是奇函數(shù);
3分
當(dāng)時(shí),,這時(shí)所以是非奇非偶函數(shù); 6分
(2)當(dāng)時(shí),設(shè)且,則
9分
當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>且,所以
所以,
,所以是區(qū)間 的單調(diào)遞減函數(shù)。 12分
同理可得是區(qū)間 的單調(diào)遞增函數(shù)。 14分
20.解:(Ⅰ)由拋物線:知,設(shè),在上,且,所以,得,代入,得,
所以。 4分
在上,由已知橢圓的半焦距,于是
消去并整理得 , 解得(不合題意,舍去).
故橢圓的方程為。 7分
(另法:因?yàn)?sub>在上,
所以,所以,以下略。)
(Ⅱ)由得,所以點(diǎn)O到直線的距離為
,又,
所以,
且。 10分
下面視提出問(wèn)題的質(zhì)量而定:
如問(wèn)題一:當(dāng)面積為時(shí),求直線的方程。() 得2分
問(wèn)題二:當(dāng)面積取最大值時(shí),求直線的方程。() 得4分
21.解:(1)
2
3
35
100
97
94
3
1
4分
(2)由題意知數(shù)列的前34項(xiàng)成首項(xiàng)為100,公差為-3的等差數(shù)列,從第35項(xiàng)開(kāi)始,奇數(shù)項(xiàng)均為3,偶數(shù)項(xiàng)均為1, 6分
從而= 8分
=。 10分
(3)當(dāng)時(shí),因?yàn)?sub>,
所以 12分
當(dāng)時(shí),
因?yàn)?sub>,所以, 14分
當(dāng)時(shí),
所以。 16分
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