遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈7:

立體幾何

高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當(dāng)然, 二者均應(yīng)以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著”多一點思考,少一點計算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關(guān)系的論證,角與距離的探求是?汲P碌臒衢T話題.

 

    例1  四棱錐P―ABCD的底面是邊長為a的正方形,PB⊥面ABCD.

    (1)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個四棱錐的體積;

    (2)證明無論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°

從而只要算出四棱錐的高就行了.

面ABCD,

    ∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,

    ∴PA⊥DA,

    ∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角,

      ∠PAB=60°.                

      而PB是四棱錐P―ABCD的高,PB=AB?tg60°=a,

     .                                    

(2)不論棱錐的高怎樣變化,棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.

      作AE⊥DP,垂足為E,連結(jié)EC,則△ADE≌△CDE,

      是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.

          設(shè)AC與DB相交于點O,連結(jié)EO,則EO⊥AC,

                                       

      在

     故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.                   

    本小題主要考查線面關(guān)系和二面角的概念,以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設(shè)計新穎, 特征鮮明的好題.

 

(1)求證:AB­1⊥平面CED;

(2)求異面直線AB1與CD之間的距離;

(3)求二面角B1―AC―B的平面角.

講解:(1)∵D是AB中點,△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.

∴CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面CDE;

(2)由CD⊥平面A1B1BA  ∴CD⊥DE

∵AB1⊥平面CDE  ∴DE⊥AB1

∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段

∵CE=,AC=1 , ∴CD=

;

(3)連結(jié)B1C,易證B1C⊥AC,又BC⊥AC ,

∴∠B1CB是二面角B1―AC―B的平面角.

在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1,

∴∠B1AC=600

,  ∴,

 , ∴.

作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當(dāng)然, 準(zhǔn)確地作出應(yīng)當(dāng)有嚴(yán)格的邏輯推理作為基石.

例3  如圖a―l―是120°的二面角,A,B兩點在棱上,AB=2,D在內(nèi),三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在內(nèi),ABC是等腰直角三角形∠ACB=

(I)                                                            求三棱錐D―ABC的體積;

(2)求二面角D―AC―B的大;     

(3)求異面直線AB、CD所成的角.

   

  

  講解:  (1) 過D向平面做垂線,垂足為O,連強OA并延長至E.

為二面角a―l―的平面角..

是等腰直角三角形,斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=

(2)過O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結(jié)DM.則AC⊥DM.∴∠DMO  為二面角D―AC―B的平面角. 又在△DOA中,OA=2cos60°=1.且

  (3)在平在內(nèi),過C作AB的平行線交AE于F,∠DCF為異面直線AB、CD所成的角.  為等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距離,即△ABC斜邊上的高,

異面直線AB,CD所成的角為arctg

    比較例2與例3解法的異同, 你會得出怎樣的啟示? 想想看.

 

    例4

 

 

 

 

                        圖①                        圖②

 

   講解:  設(shè)容器的高為x.則容器底面正三角形的邊長為,

       

                .

    當(dāng)且僅當(dāng) .

故當(dāng)容器的高為時,容器的容積最大,其最大容積為

對學(xué)過導(dǎo)數(shù)的同學(xué)來講,三次函數(shù)的最值問題用導(dǎo)數(shù)求解是最方便的,請讀者不妨一試. 另外,本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學(xué)壓軸題有關(guān),還請做做對照. 類似的問題是:

    某企業(yè)設(shè)計一個容積為V的密閉容器,下部是圓柱形,上部是半球形,當(dāng)圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時,制造這個密閉容器的用料最省(即容器的表面積最。.

   例5 已知三棱錐P―ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,

D、F分別為AC、PC的中點,DE⊥AP于E.

    (1)求證:AP⊥平面BDE;                

(2)求證:平面BDE⊥平面BDF;

(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱錐

P―ABC所成兩部分的體積比.

講解:  (1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.

由AB=BC,D為AC的中點,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC. 又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.

  (2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分別為AC、PC的中點,得DF//AP.

由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.

DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.

  (3)設(shè)點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2.則

           h1∶h2=EP∶AP=2∶3,

    

    故截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1

值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P―ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應(yīng)為兩個, 希不要犯這種”會而不全”的錯誤.

例6  已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截,若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)(焦點到準(zhǔn)線的距離)

為p的拋物線.

(1)求圓錐的母線與底面所成的角;

(2)求圓錐的全面積.

    講解: (1)設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長為l,

由題意得:,

,

所以母線和底面所成的角為

(2)設(shè)截面與圓錐側(cè)面的交線為MON,其中O為截面與

AC的交點,則OO1//AB且

在截面MON內(nèi),以O(shè)O1所在有向直線為y軸,O為原點,建立坐標(biāo)系,則O為拋物的頂點,所以拋物線方程為x2=-2py,點N的坐標(biāo)為(R,-R),代入方程得

R2=-2p(-R),得R=2p,l=2R=4p.

∴圓錐的全面積為.

將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預(yù)示了高考命題的新動向. 類似請思考如下問題:

     一圓柱被一平面所截,截口是一個橢圓.已知橢圓的

長軸長為5,短軸長為4,被截后幾何體的最短側(cè)面母     

線長為1,則該幾何體的體積等于         

 

   例7 如圖,幾何體ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點.

(2)求證:AF⊥BD;

 (3) 求二面角B―FC―G的正切值.

講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點,

∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC,  FG=DC,

    ∴四邊形FGCD為平行四邊形,∴FD∥GC,又GC面ABC,

    ∴FD∥面ABC.

(2)∵AB=EA,且F為EB中點,∴AF⊥EB  ①  又FG∥EA,EA⊥面ABC

∴FG⊥面ABC ∵G為等邊△ABC,AB邊的中點,∴AG⊥GC.

∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD  ②

由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD.

    (3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF.

過G作GH⊥FC,垂足為H,連HB,∴HB⊥FC.

∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.

易求.

    例8  如圖,正方體ABCD―A1B1C1D1的棱長為1,P、Q分別是線段AD1和BD上的點,且

D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.

 

(1) 求證PQ∥平面CDD1C1

 

 

 (2) 求證PQ⊥AD;

 

 

 (3) 求線段PQ的長.

講解:  (1)在平面AD1內(nèi),作PP1∥AD與DD1交于點P1,在平面AC內(nèi),作

QQ1∥BC交CD于點Q1,連結(jié)P1Q1.

    ∵ ,     ∴PP1QQ1 .?

由四邊形PQQ1P1為平行四邊形,   知PQ∥P1Q1? ?

而P1Q1平面CDD1C1,  所以PQ∥平面CDD1C1?

(2)AD⊥平面D1DCC1,    ∴AD⊥P1Q1,?

又∵PQ∥P1Q1,   ∴AD⊥PQ.?

(3)由(1)知P1Q1 PQ,

,而棱長CD=1.     ∴DQ1=.  同理可求得 P1D=.

在Rt△P1DQ1中,應(yīng)用勾股定理, 立得

P1Q1=.?

做為本題的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD,上的動點,試求的最小值, 你能夠應(yīng)用函數(shù)方法計算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對照, 你會得到什么啟示?

如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動,點N在BF上移動,若CM=BN=

(1)       求MN的長;

(2)       當(dāng)為何值時,MN的長最。

(3)       當(dāng)MN長最小時,求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

立體幾何知識是復(fù)課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點, 依據(jù)課本, 熟化知識, 構(gòu)建空間思維網(wǎng)絡(luò), 掌握解三角形的基本工具, 嚴(yán)密規(guī)范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關(guān).

 

 

 

 


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