遼寧省大連23中2009年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)秘笈6：

幾何題

    高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題, 1個(gè)填空題, 1個(gè)解答題), 共計(jì)30分左右, 考查的知識(shí)點(diǎn)約為20個(gè)左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點(diǎn), 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí). 解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知識(shí)點(diǎn), 通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接, 使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò), 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí),  這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.

    例1  已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t  (0<t<1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

(1)寫出直線的方程；

   （2）計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)；

   （3）證明：由點(diǎn)P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.                  

   講解:  通過(guò)讀圖,  看出點(diǎn)的坐標(biāo).

(1 ) 顯然,  于是 直線

的方程為；

   （2）由方程組

解出  、；               

   （3）,

        .

   由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射，反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.

    需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式, 有趣嗎?

例2  已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程．

   講解：從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,

   由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線l的方程為

代入橢圓方程 得

化簡(jiǎn)后，得關(guān)于的一元二次方程

于是其判別式

由已知，得△=0．即  ①

在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得

 令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），  由已知，得

 代入①式并整理，得 ,  即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程．

    方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖形嗎?

   例3已知雙曲線的離心率，過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是

 （1）求雙曲線的方程；

 （2）已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值.

  講解：∵（1）原點(diǎn)到直線AB：的距離.

     故所求雙曲線方程為

（2）把中消去y，整理得 .

     設(shè)的中點(diǎn)是，則

即

故所求k=±.

為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.

   例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F₁、F₂在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠F₁PF₂的最大值為90°，直線l過(guò)左焦點(diǎn)F₁與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，△ABF₂的面積最大值為12．

  （1）求橢圓C的離心率；

  （2）求橢圓C的方程．

   講解：（1）設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得

  ，

解出  

 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況：

   i) 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為………………①

  橢圓方程為

 由   得   .

于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為  ………………②

將①代入②，消去得     ,

整理為的一元二次方程，得       .

則x₁、x₂是上述方程的兩根．且

，