浙江省杭州學軍中學2009屆高三第十次月考
理科數(shù)學
一、選擇題(每題5分,滿分50分)
1.集合,集合,則=( )
A. B. C. D.
2. 設為平面,為直線,則的一個充分條件為 ( )
A. B.
C. D.
3.將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長到原來的倍,再向右平移個單位,得到的函數(shù)的一個對稱中心是 ( )
A. B. C. D.
4.根據(jù)右邊程序框圖,若輸出的值是4,則輸入的實數(shù)的
值為 ( )
(A) (B) (C) 或 (D) 或
5.已知拋物線的焦點為F,準線與x軸的交點為M,N為拋物線上的一點,且,則=( )
A. B. C. D.
6.設,若函數(shù)有大于零的極值點,則( )
A.>-3
B.<
7.等差數(shù)列的前n項和為,若,點A(3,)與B(5,)都在斜率為-2的直線上,則直線在第一象限內所有整點(橫、縱坐標都是整數(shù)的點)的縱坐標的和為 ( )
A.16
B.
8.已知如圖,的外接圓的圓心為,,
則等于( )
A. B. C. D.
9.如圖所示,北京城市的周邊供外國人旅游的景點有8個,為了
防止奧運期間景點過于擁擠,規(guī)定每個外國人一次只能游玩4個景
點,而且一次游玩景點中至多有兩個相鄰(如:選擇A、B、E、F四
個景點也是允許的),那么外國人現(xiàn)在要分兩次把8個景點游
玩好,不同的選擇方法共有( )種.
A.60 B.42 C.30 D.14
10.定義在上的函數(shù)的圖象關于點成中心對稱,對任意實數(shù)都有,且,,則的值為
( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
二、填空題(每題4分,滿分28分)
11.定義:.若復數(shù)滿足,則等于 .
12.若,則____.
(用數(shù)字作答)
13.已知函數(shù)的
值范圍為 .
14.在△ABC中,已知是邊上一點,若,則的值為____ _ .
15.已知圓的方程為是圓上的一個動點,若的垂直平分線總是被平面區(qū)域覆蓋,則實數(shù)的取值范圍是___ __.
16.已知滿足且目標函數(shù)的最大值為7,最小值為1,
則 .
17.在棱長為的正方體中, 分別為棱和的中點,則線段被正方體的內切球球面截在球內的線段長為_______________.
三、解答題(共72分)
18.在△中,角所對邊分別為,且.
(Ⅰ)求角A;
(Ⅱ)若,,試求||的最小值.
19.已知甲盒內有大小相同的1個紅球和3個黑球,乙盒內有大小相同的2個紅球和4個黑球.現(xiàn)從甲、乙兩個盒內各任取2個球.
(Ⅰ)求取出的4個球均為黑球的概率;
(Ⅱ)求取出的4個球中恰有1個紅球的概率;
(Ⅲ)設為取出的4個球中紅球的個數(shù),求的分布列和數(shù)學期望.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)試在棱(不包含端點上確定一點的位置,
使得(要求說明理由).
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若,求二面角的平面角的正切值.
21.設橢圓的一個頂點與拋物線的焦點重合,,分別是橢圓的左、右焦點,離心率=,過橢圓右焦點的直線與橢圓交于兩點.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在直線,使得以線段為直徑的圓過原點,若存在,求出直線的方程;若不存在,說明理由.
(Ⅲ)若AB是橢圓C經過原點O的弦,MN∥AB,
求證:為定值.
22.已知函數(shù)
(Ⅰ)若函數(shù)存在單調遞減區(qū)間,求的取值范圍;
(Ⅱ)若且關于x的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設各項為正的數(shù)列滿足:求證:
杭州學軍中學高三理科數(shù)學第十次月考
數(shù)學參考評分標準(理科)
一. 選擇題 : (本大題共10小題, 每小題5分, 共50分)
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
D
A
B
C
B
C
D
二.填空題: 本大題有 7小題, 每小題4分, 共28分. 把答案填在答題卷的相應位置上.
11. 12. -242 .
13 . () 14. .
15. 16. -2
17. .
三. 解答題: 本大題有5小題, 共72分. 解答應寫出文字說明, 證明過程或演算步驟.
18. (本小題滿分14分)
答案:(1),
即,
∴,∴.
∵,∴.(7分)
(2)mn ,
|mn|.
∵,∴,∴.
從而.
∴當=1,即時,|mn|取得最小值.
所以,|mn|.(7分)
19. (本小題滿分14分)
(Ⅰ)解:設“從甲盒內取出的2個球均為黑球”為事件,“從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件相互獨立,且,.
故取出的4個球均為黑球的概率為.(4分)
(Ⅱ)解:設“從甲盒內取出的2個球均為黑球;從乙盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球”為事件,“從甲盒內取出的2個球中,1個是紅球,1個是黑球;從乙盒內取出的2個球均為黑球”為事件.由于事件互斥,
且,.
故取出的4個球中恰有1個紅球的概率為.(5分)
(Ⅲ)解:可能的取值為.由(Ⅰ),(Ⅱ)得,,
.從而.
的分布列為
0
1
2
3
的數(shù)學期望.(5分)
20.(本小題滿分14分)
證(Ⅰ)因為側面,故
在中, 由余弦定理有
故有
而 且平面
……………… 4分
(Ⅱ)由
從而 且 故
不妨設 ,則,則
又 則
在中有 從而(舍去)
故為的中點時,……………… 5分
(Ⅲ)取的中點,的中點,的中點,的中點
連則,連則,連則
連則,且為矩形,
又 故為所求二面角的平面角……………… 10分
在中,
……………… 5分
21 . (本小題滿分15分)
解:橢圓的頂點為(0,),即b=,
e==,所以a=2,2分
∴橢圓的標準方程為+=1 4分
(2) 不存在 .5分
(3)設M(x1,y1),N(x2,y2),A(x3,y3),B(x4,y4)
由(2)可得:|MN|=|x1-x2|=
==.
由消去y,并整理得x2=,
|AB|=|x3-x4|=4,11分
∴==4為定值. 5分
22.(本小題滿分15分)
解:(1)依題意在時有解:即在有解.則且方程至少有一個正根.
此時,…………………………………………………………4分
(2)
設則列表:
(0,1)
1
(1,2)
2
(2,4)
+
0
0
+
極大值
極小值
-----6分
方程在[1,4]上恰有兩個不相等的實數(shù)根.
則解得:……………………………………………5分
(3)設,則
在為減函數(shù),且故當時有.
假設則,故
從而
即……………………………………………5分
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