江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2009屆高三5月模擬考試
數(shù)學(xué)試卷
2009、5
一、填空題:
1.不等式的解集是________.
2. 已知:為第四象限角,且,則=________.
3. 已知:A=,B=,則A∩B=_________.
4. 直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2,則實(shí)數(shù)的值是_____.
5. 在等比數(shù)列中,,,則________.
6. 對于函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn),,直線段AB必在曲線段AB的上方,則由圖象的特征可得不等式.請分析的圖象特征,類比上述不等式可以得到 .
7. 若AD為△ABC的角平分線,滿足AD=AB=2,,則CD=_________.
8. 已知平面上不同的四點(diǎn)A、B、C、D,若,
則△ABC是_________三角形.
9. 某醫(yī)療研究所為了檢驗(yàn)?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把名使用血清的人與另外名未用血清的人一年中的感冒記錄作比較,提出假設(shè):“這種血清不能起到預(yù)防感冒的作用”,利用列聯(lián)表計(jì)算得,經(jīng)查對臨界值表知.
對此,四名同學(xué)做出了以下的判斷:
p:有的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”
q:若某人未使用該血清,那么他在一年中有的可能性得感冒
r:這種血清預(yù)防感冒的有效率為
s:這種血清預(yù)防感冒的有效率為
則下列結(jié)論中,正確結(jié)論的序號是 .(把你認(rèn)為正確的命題序號都填上)
(1) p∧?q ; (2)?p∧q ;
(3)(?p∧?q)∧(r∨s); (4)(p∨?r)∧(?q∨s)
10. 橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1 ?F2,在橢圓上存在點(diǎn)P,滿足。則此橢圓的離心率e的取值范圍是 .
11. 設(shè),把的圖象向右單位平移m(m>0)個(gè)單位后,圖象恰好為函數(shù)的圖象,則m的最小值為________.
12. 已知函數(shù)存在最小值,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
13. 設(shè)x,y均為正實(shí)數(shù),且,則xy的最小值為________.
14. 已知可以表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和,若關(guān)于的不等式對于恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值是 .
二、解答題:
15. A袋中有1張10元和1張5元的錢幣,B袋中有2張10元和1張5元的錢幣,從A袋中任取一張錢幣與B袋任取一張錢幣互換,這樣的互換進(jìn)行了一次后:
求(1)A袋中10元錢幣恰是一張的概率;
(2)A袋中10元錢幣至少是一張的概率.
16. 已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是、邊長為 的菱形,又,且PD=CD,點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn).
(1)證明:DN//平面PMB;
(2)證明:平面PMB平面PAD;
(3)求點(diǎn)A到平面PMB的距離.
17. 已知的面積為,且滿足,設(shè)和的夾角為.
(1)求的取值范圍;
(2)求函數(shù)的最大值與最小值.
18. 已知直線l1:x+my-m-2=0與x軸交于點(diǎn)A,直線l2:mx-y
(1)求證:A,M,B,O四點(diǎn)共圓,并寫出圓的方程;
(2)當(dāng)AB與OM垂直于點(diǎn)P時(shí),求證:點(diǎn)P與四邊形AMBO其中一邊中點(diǎn)的連線與對邊垂直.
19. 設(shè)n為給定的正整數(shù),記An={x|2n<x<2n+1,且x=
(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),求An中的最大數(shù)和最小數(shù);
(2)求An中所有元素之和.
20. 已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為,且不等式的解集為.
(1)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時(shí),證明方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.
(3)當(dāng)x∈[0,1]時(shí),試討論||≤3成立的充要條件.
命題、校對:唐一良、張福儉
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2009屆高三5月模擬考試
附加題
選修4-1――4-4(其中1、2、3、4題任選2題解答;5、6為必做題)
1.如圖,AB為半圓直徑,D為AB上一點(diǎn),分別在半圓上取點(diǎn)E、F,使EA=DA,FB=DB.過D作AB的垂線,交半圓于C.求證:CD平分EF.
2.自然界生物種群的成長受到多種條件因素的影響,比如出生率、死亡率、資源的可利用性與競爭、捕食者的獵殺乃至自然災(zāi)害等等.因此,它們和周邊環(huán)境是一種既相生又相克的生存關(guān)系.但是,如果沒有任何限制,種群也會泛濫成災(zāi).現(xiàn)假設(shè)兩個(gè)互相影響的種群X,Y隨時(shí)間段變化的數(shù)量分別為{an},{bn},并有關(guān)系式,其中a1=1,b1=1,試分析20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量變化趨勢.
3.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F任作一弦AB=4p,建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,求OA的極角.(O為極點(diǎn))
4.已知為正整數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),;
5.拋一枚均勻的骰子(骰子的六面分別有數(shù)字1、2、3、4、5、6)來構(gòu)造數(shù)列
(1)求的概率; (2)若的概率.
6. 2條直線將一個(gè)平面最多分成4部分,3條直線將一個(gè)平面最多分成7部分,4條直線將一個(gè)平面最多分成11部分,;4=,7=,11=
;.
(1)條直線將一個(gè)平面最多分成多少個(gè)部分()?證明你的結(jié)論;
(2)個(gè)平面最多將空間分割成多少個(gè)部分()?證明你的結(jié)論.
命題、校對:唐一良、張福儉
江蘇省揚(yáng)州中學(xué)2009屆高三5月模擬考試
1. 2. 3.{(1,-1)} 4.12 5.
6. 7. 8.直角
9.解析:(1)(4).本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想及常用邏輯用語.由題意,得,,所以,只有第一位同學(xué)的判斷正確,即:有的把握認(rèn)為“這種血清能起到預(yù)防感冒的作用”.由真值表知(1)(4)為真命題.
10.提示:設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線分別為 m、n, 直線 m、n 確定了一個(gè)平面 β.作與 β 平行的平面 α, 與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截,則截得的四邊形必為平行四邊形.而這樣的平面 α 有無數(shù)多個(gè).
11. 12.y=-x ±
13.解:由可化為xy =8+x+y
x,y均為正實(shí)數(shù), xy =8+x+y(當(dāng)且僅當(dāng)x=y等號成立)
即xy-2-8可解得,即xy16故xy的最小值為16.
14.
15.解:(1)A中2張錢幣取1張,有2種情況,
B中3張錢幣取1張,有3種情況,
∴互換一次有2´3 = 6種情況,
其中10元幣恰是一張的情況有3種,
∴A袋中10元錢幣恰是一張的概率為P1 =.答略
(2)A袋中恰有一張10元幣的概率為P1 = ;
A袋中恰有兩張10元幣的概率為P2 = ;
∴ A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = P1 + P2 = + = .
另解:. A袋中恰有0張10元幣的概率為P0 = ,
∴A袋中10元錢幣至少是一張的概率P = 1 ? P0 = .答略.
16.解:(1)證明:取PB中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ、NQ,因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC中點(diǎn),所以
QN//BC//MD,且QN=MD,于是DN//MQ.
.
(2)
又因?yàn)榈酌鍭BCD是、邊長為的菱形,且M為AD中點(diǎn),
所以.
又
所以.
(3)因?yàn)镸是AD中點(diǎn),所以點(diǎn)A與D到平面PMB等距離.
過點(diǎn)D作于H,由(2)平面PMB平面PAD,所以.
故DH是點(diǎn)D到平面PMB的距離.
所以點(diǎn)A到平面PMB的距離為.
17.解:(1)設(shè)中角的對邊分別為,則由,
可得,所以
(2)
因?yàn)?sub>,,所以
即當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),
18.解:(1)直線l1: x+my-m-2=0與l2: mx-y
整理得:
(2)當(dāng)AB與OM垂直于點(diǎn)P時(shí),由垂徑定理得點(diǎn)P為OM中點(diǎn)(1,),不妨取OA中點(diǎn)Q(,0),又m,否則AM垂直x軸,四邊形AMBO為矩形,AB與OM不垂直,所以,,,得證.
19.解:(1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),有2n+1=(2+1)(2n-1-2n-2+…-2+1)=3(2n-1-2n-2+…-2+1)
所以2n+1是最小的數(shù);又2n+1-1=(2n+1+2)-3=2(2n+1)-3,所以2n+1-1是最大的數(shù).
(2)由(1)知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),An中的各個(gè)元素組成以2n+1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,設(shè)項(xiàng)數(shù)為m,則2n+1-1=2n+1+3(m-1),所以m=,所以當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),An中的所有元素之和為;
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),n-1時(shí)奇數(shù),由(1)可知2n-1+1是3的倍數(shù),因此2n+2=2(2n-1+1)是3的倍數(shù);同理,2n+1-2=2(2n-1)是3的倍數(shù).所以當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),An中的各個(gè)元素組成以2n+2為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列,設(shè)項(xiàng)數(shù)為m,則2n+1-2=2n+2+3(m-1),所以m=,所以當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),An中的所有元素之和為.
20.解:(1),∴可設(shè),
因而 ①
=,
∵在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,
∴在上的函數(shù)值非正,
由于,對稱軸,故只需,注意到,∴,得或(舍去).
故所求的取值范圍是.
(2)時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即證方程 僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根.令,由,得,,易知在,上遞增,在上遞減,的極大值,故函數(shù)的圖像與軸僅有一個(gè)交點(diǎn),∴時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根,得證.
(3)設(shè) = x2+x+1, =1,對稱軸為,.
由題意,得或
解出,故使||≤3成立的充要條件是
附加題:
1.證明:如圖,分別過點(diǎn)E、F作AB的垂線,G、H為垂足,連FA、EB.易知
DB2=FB2=AB?HB,
AD2=AE2=AG?AB.
二式相減,得
DB2-AD2=AB?(HB-AG),
或 (DB-AD)?AB=AB?(HB-AG).
于是,DB-AD=HB-AG,
或 DB-HB=AD-AG.
就是DH=GD.
顯然,EG∥CD∥FH.
故CD平分EF.2.
2.解:由上題可知1 =,2 =是矩陣M= 分別對應(yīng)特征值1=1,2=4的兩個(gè)特征向量,而1與2不共線.又==3+(-2)
∴M20=
M20(32+(-2)1)=
=32202+(-2)×1201=3×420×+(-2)×120×
=≈
答:20個(gè)時(shí)段后這兩個(gè)種群的數(shù)量都趨向于3×420.
3.證明:以F為極點(diǎn),極軸與x軸正向重合建立極坐標(biāo)系.
設(shè)拋物線方程,A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),
則AB=ρ1+ρ2= = 4p,sin2θ=,θ=
4.(Ⅰ)證明:(?)當(dāng)時(shí),原不等式成立;當(dāng)時(shí),左邊,右邊,因?yàn)?sub>,所以左邊右邊,原不等式成立;
(?)假設(shè)當(dāng)時(shí),不等式成立,即,則當(dāng)時(shí),
,,于是在不等式兩邊同乘以得
,
所以.即當(dāng)時(shí),不等式也成立.
綜合(?)(?)知,對一切正整數(shù),不等式都成立.
5.(1)設(shè)事件為A,則在7次拋骰子中出現(xiàn)5次奇數(shù),2次偶數(shù)
而拋骰子出現(xiàn)的奇數(shù)和偶數(shù)的概率為p是相等的,且為
根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式:
(2)若
即前2次拋骰子中都是奇數(shù)或都是偶數(shù).
若前2次都是奇數(shù),則必須在后5次中拋出3次奇數(shù)2次偶數(shù),
其概率:
若前2次都是偶數(shù),則必須在后5次中拋出5次奇數(shù),其概率:
所求事件的概率
6.以下解答僅供參考,按學(xué)生實(shí)際解答給分.
解:(1)條直線將一個(gè)平面最多分成個(gè)部分(),與(2)合并證明;
(2)個(gè)平面最多將空間分割成個(gè)部分().
證明:設(shè)個(gè)維空間可將維空間最多分成個(gè)部分,則只需證明
,這里∈
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