高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題―數(shù)學(xué)思想方法3

換元法及待定系數(shù)法

解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)一個(gè)或幾個(gè)新變量代替原來(lái)的變量，使得代換后的問(wèn)題中僅含這些新變量的方法稱(chēng)之為換元法。用這種方法解題的目的是變量研究，其實(shí)質(zhì)是移問(wèn)題至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。

待定系數(shù)法的實(shí)質(zhì)是方程的思想，把待定的未知數(shù)與已知數(shù)等同看待列式即得方程。

第一講  換元法

例1、已知，求的最值。

分析：請(qǐng)看下面解法：

∵ ，

∴ 

得 的最大值為21，無(wú)最小值。

思考：上面解法是否正確？

正確解法：

解：由題意得：

故可設(shè) ，

∵

∴當(dāng)時(shí)，有最大值 ；

  當(dāng)時(shí)，有最小值 ；

例2、已知，求的最值；

 解：可化為：

         即 

         設(shè)

         ∴

∵

∴當(dāng) 時(shí)，有最大值25；

當(dāng) 時(shí)，在最小值 ；

例3、已知，，，求的值。

[分析] 此題條件中，的含義是，

，顯然，按此遞推公式求出，計(jì)算量較大，仔細(xì)觀察條件中，的形式與正切的倍角公式相近。由此可得解法。

解：設(shè) ，

∵

∴

┄┄┄┄┄

例4、在曲線(xiàn)：上求一點(diǎn)，使它到直線(xiàn)的距離取最小值。

解： ∵

設(shè)  ， 

則 

又設(shè)

則點(diǎn)在曲線(xiàn)上，到直線(xiàn)的距離為

∵ ，∴

∴  ，

∴ 當(dāng)時(shí)，有最小值2 ；

由及，得

∴ 當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為 時(shí)， 到直線(xiàn)的距離最小，最小值為2 ；

例5、已知集合，，

求集合；

解：令，

  則可設(shè)，，

  ∴

，

關(guān)于的二次方程有實(shí)根的充要條件是

又∵

∴

∵

∴

解得；， ， ，

∴ 原方程為

∴

∴ 所求集合

練    習(xí)

1、已知，那么的值域是                     ；

2、設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的取值范圍是                          ；

3、設(shè)，求函數(shù)的最小值；

4、設(shè)，求證：，；

5、已知，且，求的最大值與最小值；

第二講 待定系數(shù)法

例1、已知方程有一個(gè)根是解這個(gè)方程；

[分析] 根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對(duì)原理，必有另一個(gè)根是，故方程等價(jià)于

 ，其中待定，求出后就可求同另二個(gè)根。

解： 設(shè)

   令得,   令得；

   ∴,解得：，

   ∴原方程的根為。

例2、已知一個(gè)共100項(xiàng)的等比數(shù)列的前項(xiàng)的和，

     若，求所有適合等式的值的和；

[分析] 中含有兩個(gè)字母，直覺(jué)告訴我們，去確定之值，是解題中重要的環(huán)節(jié)。

解： ∵ 

又 是等比數(shù)列，

∴ ，又由知，

∴  ， ，

又 ， 

由得：

∴ ，

∴

∴ ，

∴

例3、曲線(xiàn)：的圖象與曲線(xiàn)：的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的值；

解：設(shè)是上任意一點(diǎn)，是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的上的點(diǎn)，

則有

 ，

∴ ，

即          ①

①與應(yīng)為同一方程，

即

比較系數(shù)得。

例4、設(shè)為常數(shù)，，，且方程有等根，

求之值；

若，求使成立的值；

解：由得 , 即 ，

又  ，故  ，

因此  或

方程有等根   ，故 ；

 ∵  ，

又  ，

∴且 ，

因此，將與代入得。

練 習(xí)

1、已知無(wú)窮等比數(shù)列前項(xiàng)和為，則所有項(xiàng)和等于  

A、        B、    1       C、          D、  任意實(shí)數(shù)

2、滿(mǎn)足< 500的的最大正整數(shù)是

A、  4         B、    5       C、   6        D、  7

3、在直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點(diǎn)、，點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若，則的值為

A、        B、          C、    1       D、   不能確定

4、如果恒等式成立，則           ；        ；

5、若方程的圖象是兩條直線(xiàn)，則                 ；

6、函數(shù)的最大值為，最小值為，則的周期是                                       ；

7、已知函數(shù)的最大值為7，最小值為，求此函數(shù)的解析式；

8、已知拋物線(xiàn)，對(duì)任意實(shí)數(shù)均過(guò)定點(diǎn)，  求實(shí)數(shù)之值；  求拋物線(xiàn)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)距離的最大值；