第18講  平面向量與解析幾何

在高中數(shù)學(xué)新課程教材中,學(xué)生學(xué)習(xí)平面向量在前,學(xué)習(xí)解析幾何在后,而且教材中二者知識整合的不多,很多學(xué)生在學(xué)習(xí)中就“平面向量”解平面向量題,不會應(yīng)用平面向量去解決解析幾何問題。用向量法解決解析幾何問題思路清晰,過程簡潔,有意想不到的神奇效果。著名教育家布魯納說過:學(xué)習(xí)的最好刺激是對所學(xué)材料的興趣,簡單的重復(fù)將會引起學(xué)生大腦疲勞,學(xué)習(xí)興趣衰退。這充分揭示方法求變的重要性,如果我們能重視向量的教學(xué),必然能引導(dǎo)學(xué)生拓展思路,減輕負(fù)擔(dān)。

二、例題解析

例1、(2000年全國高考題)橢圓的焦點(diǎn)為FF,點(diǎn)P為其上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)∠FP F為鈍角時(shí),點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是___。

解:F1(-,0)F2(,0),設(shè)P(3cos,2sin)

為鈍角

∴  

     =9cos2-5+4sin2=5 cos2-1<0

     解得:  ∴點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是()

點(diǎn)評:解決與角有關(guān)的一類問題,總可以從數(shù)量積入手。本題中把條件中的角為鈍角轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積為負(fù)值,通過坐標(biāo)運(yùn)算列出不等式,簡潔明了。

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例2、已知定點(diǎn)A(-1,0)和B(1,0),P是圓(x-3)2+(y-4)2=4上的一動(dòng)點(diǎn),求的最大值和最小值。

分析:因?yàn)镺為AB的中點(diǎn),所以故可利用向量把問題轉(zhuǎn)化為求向量的最值。

解:設(shè)已知圓的圓心為C,由已知可得:

又由中點(diǎn)公式得

所以

             =

             =

             =

又因?yàn)?nbsp;點(diǎn)P在圓(x-3)2+(y-4)2=4上,                                 

所以  且                                                                

所以

即  故

所以的最大值為100,最小值為20。

點(diǎn)評:有些解幾問題雖然沒有直接用向量作為已知條件出現(xiàn),但如果運(yùn)用向量知識來解決,也會顯得自然、簡便,而且易入手。

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例3、(2003年天津高考題)O是平面上一定點(diǎn),A、BC是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,,則P的軌跡一定通過△ABC的(  )

(A)外心      (B)內(nèi)心     (C)重心     (D)垂心

分析:因?yàn)橥虻膯挝幌蛄浚上蛄考臃ǖ钠叫兴倪呅蝿t知是與∠ABC的角平分線(射線)同向的一個(gè)向量,又,知P點(diǎn)的軌跡是∠ABC的角平分線,從而點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心。

反思:根據(jù)本題的結(jié)論,我們不難得到求一個(gè)角的平分線所在的直線方程的步驟;

(1)       由頂點(diǎn)坐標(biāo)(含線段端點(diǎn))或直線方程求得角兩邊的方向向量;

(2)       求出角平分線的方向向量

(3)       由點(diǎn)斜式或點(diǎn)向式得出角平分線方程。{直線的點(diǎn)向式方程:過P(),其方向向量為,其方程為}

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例4、(2003年天津)已知常數(shù),向量,經(jīng)過原點(diǎn)以為方向向量的直線與經(jīng)過定點(diǎn)以為方向向量的直線相交于點(diǎn),其中.試問:是否存在兩個(gè)定點(diǎn),使得為定值,若存在,求出的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

(本小題主要考查平面向量的概念和計(jì)算,求軌跡的方法,橢圓的方程和性質(zhì),利用方程判定曲線的性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.)

解:根據(jù)題設(shè)條件,首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程,據(jù)此再判斷是否存在兩定點(diǎn),使得點(diǎn)P到兩定點(diǎn)距離的和為定值.

∵,  ∴=(λ,a),=(1,-2λa).

因此,直線OP和AP的方程分別為   和 .

消去參數(shù)λ,得點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程.

整理得  ……①       因?yàn)樗缘茫?

(i)當(dāng)時(shí),方程①是圓方程,故不存在合乎題意的定點(diǎn)E和F;

   (ii)當(dāng)時(shí),方程①表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn);

   (iii)當(dāng)時(shí),方程①也表示橢圓,焦點(diǎn)和為合乎題意的兩個(gè)定點(diǎn).

點(diǎn)評:本題以平面向量為載體,考查求軌跡的方法、利用方程判定曲線的性質(zhì)、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。去掉平面向量的背景,我們不難看到,本題即為下題:

在△OAP中,O(0,0)、A(0,a)為兩個(gè)定點(diǎn),另兩邊OP與AP的斜率分別是,求P的軌跡。

而課本上有一道習(xí)題(數(shù)學(xué)第二冊(上)第96頁練習(xí)題4):

三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是(-6,0)、(6,0),邊AC、BC所在直線的斜率之積等于,求頂點(diǎn)C的軌跡方程。通過本例可見高考題目與課本的密切關(guān)系。

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例5.(2004年天津卷理22)橢圓的中心是原點(diǎn)O,它的短軸長為,相應(yīng)于焦點(diǎn)F(c,0)()的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A,|OF|=2|FA|,過點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn).

  (1)求橢圓的方程及離心率;

(2)若,求直線PQ的方程;

(3)設(shè)(),過點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M,證明.

分析:本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì),直線方程,平面向量的計(jì)算,曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力.

(1)解:由題意,可設(shè)橢圓的方程為.

  由已知得解得

所以橢圓的方程為,離心率.

(2)解:由(1)可得A(3,0).

設(shè)直線PQ的方程為.由方程組

       得

依題意,得.

設(shè),則,   ① .    ②

由直線PQ的方程得.于是

.    ③

∵,∴.    ④

由①②③④得,從而.

所以直線PQ的方程為或

(2)證明:.由已知得方程組

  注意,解得

因,故

.

而,所以.

由于向量具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”,使向量與解析幾何之間有著密切聯(lián)系,而新課程高考則突出了對向量與解析幾何結(jié)合考查,這就要求我們在平時(shí)的解析幾何教學(xué)與復(fù)習(xí)中,應(yīng)抓住時(shí)機(jī),有效地滲透向量有關(guān)知識,樹立應(yīng)用向量的意識。應(yīng)充分挖掘課本素材,在教學(xué)中從推導(dǎo)有關(guān)公式、定理,例題講解入手,讓學(xué)生去品位、去領(lǐng)悟,在公式、定理的探索、形成中逐漸體會向量的工具性,逐漸形成應(yīng)用向量的意識,在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用一些問題的結(jié)論,加以引申,使之成為解題方法,體會向量解題的優(yōu)越性,在教學(xué)中還應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生善于運(yùn)用向量方法解題,逐步樹立運(yùn)用向量知識解題的意識。

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同步練習(xí)冊答案