2009高考數(shù)學(xué)經(jīng)典試題匯編

1.       下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”：

4

7

（    ）

（    ）

（    ）

……

……

7

12

（    ）

（    ）

（    ）

……

……

（    ）

（    ）

（    ）

（    ）

（    ）

……

……

（    ）

（    ）

（    ）

（    ）

（    ）

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

……

其中每行、每列都是等差數(shù)列，表示位于第i行第j列的數(shù)．（1）寫出的值；   （2）寫出的計(jì)算公式；（３）證明：正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積．

講解　　學(xué)會(huì)按步思維，從圖表中一步一步的翻譯推理出所要計(jì)算的值．

（1）       按第一行依次可讀出：，；按第一行依次可讀出：，；最后，按第５列就可讀出：．

  （２）因?yàn)樵摰炔顢?shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4，公差為3的等差數(shù)列，所以它的通項(xiàng)公式是：

    　而第二行是首項(xiàng)為7，公差為5的等差數(shù)列，于是它的通項(xiàng)公式為：

    　     …… 通過遞推易知，第i行是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故有

  （３）先證必要性：若N在該等差數(shù)陣中，則存在正整數(shù)i，j使得．從而　　　　，這說明正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積．再證充分性：若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積，由于2N+1是奇數(shù)，則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積，即存在正整數(shù)k，l，使得，從而　　　　　　，由此可見N在該等差數(shù)陣中．

綜上所述，正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.

2.       求  。

3.       “漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)（如2578），在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是  。

4.       函數(shù)及其反函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值等于_________。      

5.       從裝有個(gè)球（其中個(gè)白球，個(gè)黑球）的口袋中取出個(gè)球，共有種取法。在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個(gè)球全部為白球，共有種取法；另一類是取出的個(gè)球有個(gè)白球和個(gè)黑球，共有種取法。顯然，即有等式：成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子：  。

6.       某企業(yè)購置了一批設(shè)備投入生產(chǎn)，據(jù)分析每臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的總利潤（單位：萬元）與年數(shù)滿足如圖的二次函數(shù)關(guān)系。要使生產(chǎn)的年平均利潤最大，則每臺(tái)設(shè)備應(yīng)使用      （  C ）

（A）3年     （B）4年      （C）5年      （D）6年

7.       （14分）已知函數(shù)，且（1）求的值；（2）試判斷是否存在正數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>。若存在，求出這個(gè)的值；若不存在，說明理由。

解：（1）∵，∴，即，∵，∴（2），   ；當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)時(shí)，∵，∴這樣的不存在。當(dāng)，即時(shí)，，這樣的不存在。綜上得， 。

8.         （14分）如圖，設(shè)圓的圓心為C，此圓和

拋物線有四個(gè)交點(diǎn)，若在軸上方的兩個(gè)交

點(diǎn)為A、B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，的面積為S。

（1）       求P的取值范圍；

（2）       求S關(guān)于P的函數(shù)的表達(dá)式及S的取值范圍；

（3）       求當(dāng)S取最大值時(shí)，向量的夾角。

解：（1）把  代入 得

      由 ， 得   ，即

   （2）設(shè)，的方程：

       ，  即

      即 ，  即

      點(diǎn)O到AB的距離，又

      ∴， 即

   （3）取最大值時(shí)，，解方程，得

       ，

       ∴向量的夾角的大小為。

9.         （16分）前段時(shí)期美國為了推翻薩達(dá)姆政權(quán)，進(jìn)行了第二次海灣戰(zhàn)爭。據(jù)美軍估計(jì)，這場以推翻薩達(dá)姆政權(quán)為目的的戰(zhàn)爭的花費(fèi)約為億美元。同時(shí)美國戰(zhàn)后每月還要投入約億美元進(jìn)行戰(zhàn)后重建。但是由于伊拉克擁有豐富的石油資源，這使得美國戰(zhàn)后可以在伊獲利。戰(zhàn)后第一個(gè)月美國大概便可賺取約億美元，只是為此美國每月還需另向伊交納約億美元的工廠設(shè)備維護(hù)費(fèi)。此后隨著生產(chǎn)的恢復(fù)及高速建設(shè)，美國每月的石油總收入以的速度遞增，直至第四個(gè)月方才穩(wěn)定下來，但維護(hù)費(fèi)還在繳納。問多少個(gè)月后，美國才能收回在伊的“投資”？

解：設(shè)個(gè)月后，美國才能收回在伊的“投資”，則

 即，，即個(gè)月后，美國才能收回在伊的“投資”。

10.     數(shù)列的第2004項(xiàng)是____________。63

11.     在等比數(shù)列中，，公比，若，則達(dá)到最大時(shí)，的值為____________。8

12.     設(shè)函數(shù)，且①；②有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間，則同時(shí)滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)對(duì)為______________。滿足的任一組解均可

13.     已知兩條曲線（不同時(shí)為0）.則“”是“與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的       A

(A)充分非必要條件  （B）必要非充分條件  （C）充要條件  （D）既非充分也非必要條件

14.     已知二次函數(shù)有最大值且最大值為正實(shí)數(shù)，集合

，集合。

（1）求和；

（2）定義與的差集：且。

設(shè)，，均為整數(shù)，且。為取自的概率，為取自的概

率，寫出與的三組值，使，，并分別寫出所有滿足上述條件的（從

大到小）、（從小到大）依次構(gòu)成的數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式（不必證明）；

（3）若函數(shù)中，，

    （理）設(shè)、是方程的兩個(gè)根，判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

（文）寫出的最大值，并判斷是否存在最大值及最小值，若存在，求出相應(yīng)

的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

（1）∵有最大值，∴。配方得，由。

        ∴，。

   （2）要使，�？梢允耿�中有3個(gè)元素，中有2個(gè)元素， 中有1個(gè)元素。

則。②中有6個(gè)元素，中有4個(gè)元素， 中有2個(gè)元素。則。

③中有9個(gè)元素,中有6個(gè)元素,中有3個(gè)元素。則。。

   （3）（理），得。，

        ∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立�！�在上單調(diào)遞增。。

        又，故沒有最小值。

 （文）∵單調(diào)遞增，∴，又，∴沒有最大值。

15.     把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小，左大右小的原則寫成如下數(shù)表：

第行有個(gè)數(shù)，第行的第個(gè)數(shù)（從左數(shù)起）記為，

則  。

16.     我邊防局接到情報(bào)，在海礁AB所在直線的一側(cè)點(diǎn)M處有走私團(tuán)伙在進(jìn)行交易活動(dòng)，邊防局迅速派出快艇前去搜捕。如圖，已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處，公里，公里，。

（1）（10分）是否存在點(diǎn)M，使快艇沿航線或的路程相等。如存在，則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出點(diǎn)M的軌跡方程，且畫出軌跡的大致圖形；如不存在，請(qǐng)說明理由。

（2）（4分）問走私船在怎樣的區(qū)域上時(shí)，路線比路線的路程短，請(qǐng)說明理由。

解：（1）建立直角坐標(biāo)系（如圖），，

點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一部分，

       ，

即

      點(diǎn)M的軌跡方程為

   （2）走私船如在直線的上側(cè)且在（1）中曲線的左側(cè)的區(qū)域時(shí)，

      路線的路程較短。

        理由：設(shè)的延長線與（1）中曲線交于點(diǎn)，

            則

17.     已知函數(shù)對(duì)任意的整數(shù)均有，且。

    （1）（3分）當(dāng)，用的代數(shù)式表示；

    （2）（理）（10分）當(dāng)，求的解析式；

        （文）（ 6分）當(dāng)，求的解析式；

    （3）如果，且恒成立，

        求的取值范圍。（理5分；文9分）

解：（1）令

   （2）（理）當(dāng)時(shí)，，

             上述各式相加，得

           當(dāng)時(shí)，

             上述各式相加，得，即

          綜上，得。

      （文），

   （3）恒成立

       令，是減函數(shù)

  ∴

18.     設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是兩個(gè)互異的點(diǎn)，點(diǎn)P的坐標(biāo)由公式確定，當(dāng)R時(shí)，則                                                          （ C  ）

A．P是直線AB上的所有的點(diǎn)        B．P是直線AB上除去A的所有的點(diǎn)

C．P是直線AB上除去B的所有點(diǎn)    D．P是直線AB上除去A、B的所有點(diǎn)

19.     設(shè)（n∈N）的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別為I_n和F_n，則F_n (F_n+I_n)的值為（A  ）

A．1            B．2              C．4              D．與n有關(guān)的數(shù)    

20.     將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號(hào)如下0001，0002，0003，…1000，打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本，按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分，如果第一部分編號(hào)為0001，0002，…，0020，第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015，則第40個(gè)號(hào)碼為         ．0795

21.     設(shè)x、y、z中有兩條直線和一個(gè)平面，已知命題為真命題，則x、y、z中一定為直線的是　           　．z

22.     秋收要到了，糧食豐收了。某農(nóng)戶準(zhǔn)備用一塊相鄰兩邊長分別為a、b的矩形木板，在屋內(nèi)的一個(gè)墻角搭一個(gè)急需用的糧倉，這個(gè)農(nóng)戶在猶豫，是將長為a的邊放在地上，還是將邊長為b的邊放在地上，木板又該放在什么位置的時(shí)候，才能使此糧倉所能儲(chǔ)放的糧食最多。請(qǐng)幫該農(nóng)戶設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使糧倉所能儲(chǔ)放的糧食最多（即糧倉的容積最大）

設(shè)墻角的兩個(gè)半平面形成的二面角為定值α 。將b邊放在地上，如圖所示，則糧倉的容積等于以△ABC為底面，高為a的直三棱柱的體積。

       由于該三棱柱的高為定值a，于是體積取最大值時(shí)必須△ABC的面積S取最大值。

設(shè)AB= x，AC = y ，則由余弦定理有

≥，

于是，≤，

從而，S=≤。

當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，S取最大值。

故當(dāng)AB=AC時(shí)，(V_b)_max = 。

同理，當(dāng)a邊放在地上時(shí)，(V_a)_max = 。

顯然，當(dāng)a＞b時(shí)，(V_a)_max ＞(V_b)_max ；當(dāng)a＜b時(shí)，(V_a)_max ＜(V_b)_max ；當(dāng)a=b時(shí)，(V_a)_max = (V_b)_max 。

故當(dāng)a＞b時(shí)，將a邊放地上，且使底面三角形成以a為底邊的等腰三角形；當(dāng)b＞a時(shí)，將b邊放地上，且使底面三角形成以b為底邊的等腰三角形；當(dāng)a=b時(shí)，無論將a邊還是b邊放在地上均可，只須使底面三角形構(gòu)成以所放這條邊為底邊的等腰三角形即可。

23.     已知一個(gè)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)是1或3．首項(xiàng)為1，且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有2k-1個(gè)3，即1，3，1，3，3，3，1，3，3，3，3，3，1，…．記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為S_n．

（Ⅰ）試問第2004個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)？

（Ⅱ）求a₂₀₀₄；

（Ⅲ）S₂₀₀₄；

（Ⅳ）是否存在正整數(shù)m，使得S_m=2004？如果存在，求出m的值；如果不存在，說明理由．

將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的3記為第k對(duì)，即（1，3）為第1對(duì)，共1+1=2項(xiàng)；（1，3，3，3）為第2對(duì)，共1+（2×2-1）=4項(xiàng)；為第k對(duì)，共1+（2k-1）=2k項(xiàng)；…．故前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為

2+4+6+…+2k=k(k+1)．

      （Ⅰ）第2004個(gè)1所在的項(xiàng)為前2003對(duì)所在全部項(xiàng)的后1項(xiàng)，即為

      2003(2003+1)+1=4014013（項(xiàng)）．

      （Ⅱ）因44×45=1980，45×46=2070，故第2004項(xiàng)在第45對(duì)內(nèi)，從而a₂₀₀₄=3．

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