2009高考數(shù)學(xué)經(jīng)典試題匯編
1. 下表給出一個(gè)“等差數(shù)陣”:
4
7
( )
( )
( )
……
……
7
12
( )
( )
( )
……
……
( )
( )
( )
( )
( )
……
……
( )
( )
( )
( )
( )
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
……
其中每行、每列都是等差數(shù)列,表示位于第i行第j列的數(shù).(1)寫出的值; (2)寫出的計(jì)算公式;(3)證明:正整數(shù)N在該等差數(shù)列陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.
講解 學(xué)會(huì)按步思維,從圖表中一步一步的翻譯推理出所要計(jì)算的值.
(1) 按第一行依次可讀出:,;按第一行依次可讀出:,;最后,按第5列就可讀出:.
(2)因?yàn)樵摰炔顢?shù)陣的第一行是首項(xiàng)為4,公差為3的等差數(shù)列,所以它的通項(xiàng)公式是:
而第二行是首項(xiàng)為7,公差為5的等差數(shù)列,于是它的通項(xiàng)公式為:
…… 通過遞推易知,第i行是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列,故有
(3)先證必要性:若N在該等差數(shù)陣中,則存在正整數(shù)i,j使得.從而 ,這說明正整數(shù)2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.再證充分性:若2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積,由于2N+1是奇數(shù),則它必為兩個(gè)不是1的奇數(shù)之積,即存在正整數(shù)k,l,使得,從而 ,由此可見N在該等差數(shù)陣中.
綜上所述,正整數(shù)N在該等差數(shù)陣中的充要條件是2N+1可以分解成兩個(gè)不是1的正整數(shù)之積.
2. 求 。
3. “漸升數(shù)”是指每個(gè)數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的自然數(shù)(如2578),在二位的“漸升數(shù)”中任取一數(shù)比37大的概率是 。
4. 函數(shù)及其反函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn),若,則實(shí)數(shù)的值等于_________。
5. 從裝有個(gè)球(其中個(gè)白球,個(gè)黑球)的口袋中取出個(gè)球,共有種取法。在這種取法中,可以分成兩類:一類是取出的個(gè)球全部為白球,共有種取法;另一類是取出的個(gè)球有個(gè)白球和個(gè)黑球,共有種取法。顯然,即有等式:成立。試根據(jù)上述思想化簡下列式子: 。
6. 某企業(yè)購置了一批設(shè)備投入生產(chǎn),據(jù)分析每臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)的總利潤(單位:萬元)與年數(shù)滿足如圖的二次函數(shù)關(guān)系。要使生產(chǎn)的年平均利潤最大,則每臺(tái)設(shè)備應(yīng)使用 ( C )
(A)3年 (B)4年 (C)5年 (D)6年
7. (14分)已知函數(shù),且(1)求的值;(2)試判斷是否存在正數(shù),使函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?sub>。若存在,求出這個(gè)的值;若不存在,說明理由。
解:(1)∵,∴,即,∵,∴(2), ;當(dāng),即時(shí),;當(dāng)時(shí),∵,∴這樣的不存在。當(dāng),即時(shí),,這樣的不存在。綜上得, 。
8. (14分)如圖,設(shè)圓的圓心為C,此圓和
拋物線有四個(gè)交點(diǎn),若在軸上方的兩個(gè)交
點(diǎn)為A、B,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,的面積為S。
(1) 求P的取值范圍;
(2) 求S關(guān)于P的函數(shù)的表達(dá)式及S的取值范圍;
(3) 求當(dāng)S取最大值時(shí),向量的夾角。
解:(1)把 代入 得
由 , 得 ,即
(2)設(shè),的方程:
, 即
即 , 即
點(diǎn)O到AB的距離,又
∴, 即
(3)取最大值時(shí),,解方程,得
,
∴向量的夾角的大小為。
9. (16分)前段時(shí)期美國為了推翻薩達(dá)姆政權(quán),進(jìn)行了第二次海灣戰(zhàn)爭。據(jù)美軍估計(jì),這場以推翻薩達(dá)姆政權(quán)為目的的戰(zhàn)爭的花費(fèi)約為億美元。同時(shí)美國戰(zhàn)后每月還要投入約億美元進(jìn)行戰(zhàn)后重建。但是由于伊拉克擁有豐富的石油資源,這使得美國戰(zhàn)后可以在伊獲利。戰(zhàn)后第一個(gè)月美國大概便可賺取約億美元,只是為此美國每月還需另向伊交納約億美元的工廠設(shè)備維護(hù)費(fèi)。此后隨著生產(chǎn)的恢復(fù)及高速建設(shè),美國每月的石油總收入以的速度遞增,直至第四個(gè)月方才穩(wěn)定下來,但維護(hù)費(fèi)還在繳納。問多少個(gè)月后,美國才能收回在伊的“投資”?
解:設(shè)個(gè)月后,美國才能收回在伊的“投資”,則
即,,即個(gè)月后,美國才能收回在伊的“投資”。
10. 數(shù)列的第2004項(xiàng)是____________。63
11. 在等比數(shù)列中,,公比,若,則達(dá)到最大時(shí),的值為____________。8
12. 設(shè)函數(shù),且①;②有兩個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間,則同時(shí)滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)對(duì)為______________。滿足的任一組解均可
13. 已知兩條曲線(不同時(shí)為0).則“”是“與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)”的 A
(A)充分非必要條件 (B)必要非充分條件 (C)充要條件 (D)既非充分也非必要條件
14. 已知二次函數(shù)有最大值且最大值為正實(shí)數(shù),集合
,集合。
(1)求和;
(2)定義與的差集:且。
設(shè),,均為整數(shù),且。為取自的概率,為取自的概
率,寫出與的三組值,使,,并分別寫出所有滿足上述條件的(從
大到小)、(從小到大)依次構(gòu)成的數(shù)列{}、{}的通項(xiàng)公式(不必證明);
(3)若函數(shù)中,,
(理)設(shè)、是方程的兩個(gè)根,判斷是否存在最大值及最小值,若存在,求出相應(yīng)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
(文)寫出的最大值,并判斷是否存在最大值及最小值,若存在,求出相應(yīng)
的值;若不存在,請(qǐng)說明理由。
(1)∵有最大值,∴。配方得,由。
∴,。
(2)要使,?梢允耿中有3個(gè)元素,中有2個(gè)元素, 中有1個(gè)元素。
則。②中有6個(gè)元素,中有4個(gè)元素, 中有2個(gè)元素。則。
③中有9個(gè)元素,中有6個(gè)元素,中有3個(gè)元素。則。。
(3)(理),得。,
∵,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立!在上單調(diào)遞增。。
又,故沒有最小值。
(文)∵單調(diào)遞增,∴,又,∴沒有最大值。
15. 把數(shù)列的所有數(shù)按照從大到小,左大右小的原則寫成如下數(shù)表:
第行有個(gè)數(shù),第行的第個(gè)數(shù)(從左數(shù)起)記為,
則 。
16. 我邊防局接到情報(bào),在海礁AB所在直線的一側(cè)點(diǎn)M處有走私團(tuán)伙在進(jìn)行交易活動(dòng),邊防局迅速派出快艇前去搜捕。如圖,已知快艇出發(fā)位置在的另一側(cè)碼頭處,公里,公里,。
(1)(10分)是否存在點(diǎn)M,使快艇沿航線或的路程相等。如存在,則建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求出點(diǎn)M的軌跡方程,且畫出軌跡的大致圖形;如不存在,請(qǐng)說明理由。
(2)(4分)問走私船在怎樣的區(qū)域上時(shí),路線比路線的路程短,請(qǐng)說明理由。
解:(1)建立直角坐標(biāo)系(如圖),,
點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的一部分,
,
即
點(diǎn)M的軌跡方程為
(2)走私船如在直線的上側(cè)且在(1)中曲線的左側(cè)的區(qū)域時(shí),
路線的路程較短。
理由:設(shè)的延長線與(1)中曲線交于點(diǎn),
則
17. 已知函數(shù)對(duì)任意的整數(shù)均有,且。
(1)(3分)當(dāng),用的代數(shù)式表示;
(2)(理)(10分)當(dāng),求的解析式;
(文)( 6分)當(dāng),求的解析式;
(3)如果,且恒成立,
求的取值范圍。(理5分;文9分)
解:(1)令
(2)(理)當(dāng)時(shí),,
上述各式相加,得
當(dāng)時(shí),
上述各式相加,得,即
綜上,得。
(文),
(3)恒成立
令,是減函數(shù)
∴
18. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)是兩個(gè)互異的點(diǎn),點(diǎn)P的坐標(biāo)由公式確定,當(dāng)R時(shí),則 ( C )
A.P是直線AB上的所有的點(diǎn) B.P是直線AB上除去A的所有的點(diǎn)
C.P是直線AB上除去B的所有點(diǎn) D.P是直線AB上除去A、B的所有點(diǎn)
19. 設(shè)(n∈N)的整數(shù)部分和小數(shù)部分分別為In和Fn,則Fn (Fn+In)的值為(A )
A.1 B.
20. 將參加數(shù)學(xué)競賽的1000名學(xué)生編號(hào)如下0001,0002,0003,…1000,打算從中抽取一個(gè)容量為50的樣本,按系統(tǒng)抽樣的方法分成50個(gè)部分,如果第一部分編號(hào)為0001,0002,…,0020,第一部分隨機(jī)抽取一個(gè)號(hào)碼為0015,則第40個(gè)號(hào)碼為 .0795
21. 設(shè)x、y、z中有兩條直線和一個(gè)平面,已知命題為真命題,則x、y、z中一定為直線的是 .z
22. 秋收要到了,糧食豐收了。某農(nóng)戶準(zhǔn)備用一塊相鄰兩邊長分別為a、b的矩形木板,在屋內(nèi)的一個(gè)墻角搭一個(gè)急需用的糧倉,這個(gè)農(nóng)戶在猶豫,是將長為a的邊放在地上,還是將邊長為b的邊放在地上,木板又該放在什么位置的時(shí)候,才能使此糧倉所能儲(chǔ)放的糧食最多。請(qǐng)幫該農(nóng)戶設(shè)計(jì)一個(gè)方案,使糧倉所能儲(chǔ)放的糧食最多(即糧倉的容積最大)
設(shè)墻角的兩個(gè)半平面形成的二面角為定值α 。將b邊放在地上,如圖所示,則糧倉的容積等于以△ABC為底面,高為a的直三棱柱的體積。
由于該三棱柱的高為定值a,于是體積取最大值時(shí)必須△ABC的面積S取最大值。
設(shè)AB= x,AC = y ,則由余弦定理有
≥,
于是,≤,
從而,S=≤。
當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),S取最大值。
故當(dāng)AB=AC時(shí),(Vb)max = 。
同理,當(dāng)a邊放在地上時(shí),(Va)max = 。
顯然,當(dāng)a>b時(shí),(Va)max >(Vb)max ;當(dāng)a<b時(shí),(Va)max <(Vb)max ;當(dāng)a=b時(shí),(Va)max = (Vb)max 。
故當(dāng)a>b時(shí),將a邊放地上,且使底面三角形成以a為底邊的等腰三角形;當(dāng)b>a時(shí),將b邊放地上,且使底面三角形成以b為底邊的等腰三角形;當(dāng)a=b時(shí),無論將a邊還是b邊放在地上均可,只須使底面三角形構(gòu)成以所放這條邊為底邊的等腰三角形即可。
23. 已知一個(gè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)是1或3.首項(xiàng)為1,且在第k個(gè)1和第k+1個(gè)1之間有2k-1個(gè)3,即1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,….記數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Sn.
(Ⅰ)試問第2004個(gè)1為該數(shù)列的第幾項(xiàng)?
(Ⅱ)求a2004;
(Ⅲ)S2004;
(Ⅳ)是否存在正整數(shù)m,使得Sm=2004?如果存在,求出m的值;如果不存在,說明理由.
將第k個(gè)1與第k+1個(gè)1前的3記為第k對(duì),即(1,3)為第1對(duì),共1+1=2項(xiàng);(1,3,3,3)為第2對(duì),共1+(2×2-1)=4項(xiàng);為第k對(duì),共1+(2k-1)=2k項(xiàng);….故前k對(duì)共有項(xiàng)數(shù)為
2+4+6+…+2k=k(k+1).
(Ⅰ)第2004個(gè)1所在的項(xiàng)為前2003對(duì)所在全部項(xiàng)的后1項(xiàng),即為
2003(2003+1)+1=4014013(項(xiàng)).
(Ⅱ)因44×45=1980,45×46=2070,故第2004項(xiàng)在第45對(duì)內(nèi),從而a2004=3.
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