2007年高考數(shù)學試題分類匯編（導數(shù)）

 (18) (安徽理  本小題滿分14分)

設a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x>0）.

（Ⅰ）令F（x）＝xf＇（x），討論F（x）在（0.＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln²x－2a ln x＋1.

(20)(安徽文 本小題滿分14分)

設函數(shù)

　　f（x）=-cos²x-4tsincos+4t²+t²-3t+4,x∈R,

其中≤1，將f(x)的最小值記為g(t).

(Ⅰ)求g(t)的表達式；

(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間（-1,1）內(nèi)的單調(diào)性并求極值.

19．（北京理 本小題共13分）

如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其半軸長為，短半軸長為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點在橢圓上，記，梯形面積為．

（I）求面積以為自變量的函數(shù)式，并寫出其定義域；

（II）求面積的最大值．

19．（共13分）

解：（I）依題意，以的中點為原點建立直角坐標系（如圖），則點的橫坐標為．

點的縱坐標滿足方程，

解得

　，

其定義域為．

（II）記，

則．

令，得．

因為當時，；當時，，所以是的最大值．

因此，當時，也取得最大值，最大值為．

即梯形面積的最大值為．

9．(北京文)是的導函數(shù)，則的值是            3            ．

11．（福建理、文）已知對任意實數(shù)，有，且時，，則時（  B  ）

A．                 B．

C．                 D．

22．（福建理 本小題滿分14分）

已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設函數(shù)，求證：．

22．本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法，考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力．滿分14分．

解：（Ⅰ）由得，所以．

       由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

       由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．

       （Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

       于是對任意成立等價于對任意成立．

       由得．

       ①當時，．

       此時在上單調(diào)遞增．

       故，符合題意．

       ②當時，．

       當變化時的變化情況如下表：

單調(diào)遞減

極小值

單調(diào)遞增

由此可得，在上，．

依題意，，又．

綜合①，②得，實數(shù)的取值范圍是．

（Ⅲ），

，

，

由此得，

故．

20．（福建文 本小題滿分12分）

設函數(shù)．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若對恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

20．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用，考查運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力．滿分12分．

解：（Ⅰ），

當時，取最小值，

即．

（Ⅱ）令，

由得，（不合題意，舍去）．

當變化時，的變化情況如下表：

遞增

極大值

遞減

在內(nèi)有最大值．

在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立，

即等價于，

所以的取值范圍為．

20．(廣東理、文 本小題滿分14分)

已知是實數(shù)，函數(shù)．如果函數(shù)在區(qū)間上有

零點，求的取值范圍．

20解: 若 ,  ,顯然在上沒有零點, 所以 

         令      得 

        當 時,  恰有一個零點在上;

        當   即    時, 也恰有一個零點在上;

當  在上有兩個零點時, 則

              或

解得或

因此的取值范圍是   或   ;

12．（廣東文）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是           ．

 12.  

10．（海南理）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　�。�

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．        Ｄ．

21．（海南理 本小題滿分12分）

設函數(shù)

（I）若當時，取得極值，求的值，并討論的單調(diào)性；

（II）若存在極值，求的取值范圍，并證明所有極值之和大于．

21．解：

（Ⅰ），

依題意有，故．

從而．

的定義域為，當時，；

當時，；

當時，．

從而，分別在區(qū)間單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）的定義域為，．

方程的判別式．

（?）若，即，在的定義域內(nèi)，故的極值．

（?）若，則或．

若，，．

當時，，當時，，所以無極值．

若，，，也無極值．

（?）若，即或，則有兩個不同的實根，．

當時，，從而有的定義域內(nèi)沒有零點，故無極值．

當時，，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，由根值判別方法知在取得極值．

綜上，存在極值時，的取值范圍為．

的極值之和為

．

10．（海南文）曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為（　�。�

Ａ．              Ｂ．        Ｃ．          Ｄ．

19．（海南文 本小題滿分12分）

設函數(shù)

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）求在區(qū)間的最大值和最小值．

19．解：的定義域為．

（Ⅰ）．

當時，；當時，；當時，．

從而，分別在區(qū)間，單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減少．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在區(qū)間的最小值為．

又．

所以在區(qū)間的最大值為．

20．（湖北理 本小題滿分13分）

已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)，，其中．設兩曲線，有公共點，且在該點處的切線相同．

（I）用表示，并求的最大值；

（II）求證：（）．

20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力．

解：（Ⅰ）設與在公共點處的切線相同．

，，由題意，．

即由得：，或（舍去）．

即有．

令，則．于是

當，即時，；

當，即時，．

故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，

于是在的最大值為．

（Ⅱ）設，

則．

故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，

于是函數(shù)在上的最小值是．

故當時，有，即當時，．

13．（湖北文）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則＿＿＿＿．

19．（湖北文 本小題滿分12分）

設二次函數(shù)，方程的兩根和滿足．

（I）求實數(shù)的取值范圍；

（II）試比較與的大�。�并說明理由．

19．本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法，考查推理和運算能力．

解法1：（Ⅰ）令，

則由題意可得．

故所求實數(shù)的取值范圍是．

（II），令．

當時，單調(diào)增加，當時，

，即．

解法2：（I）同解法1．

（II），由（I）知，

．又于是

，

即，故．

解法3：（I）方程，由韋達定理得

，，于是

．

故所求實數(shù)的取值范圍是．

（II）依題意可設，則由，得

，故．

13．（湖南理）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是        ．

19．（湖南理 本小題滿分12分）

如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路，