2007年高考數(shù)學試題分類匯編(導數(shù))
(18) (安徽理 本小題滿分14分)
設a≥0,f (x)=x-1-ln2 x+
(Ⅰ)令F(x)=xf'(x),討論F(x)在(0.+∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值;
(Ⅱ)求證:當x>1時,恒有x>ln2x-
(20)(安徽文 本小題滿分14分)
設函數(shù)
f(x)=-cos2x-4tsincos+4t2+t2-3t+4,x∈R,
其中≤1,將f(x)的最小值記為g(t).
(Ⅰ)求g(t)的表達式;
(Ⅱ)詩論g(t)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的單調(diào)性并求極值.
19.(北京理 本小題共13分)
如圖,有一塊半橢圓形鋼板,其半軸長為,短半軸長為,計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀,下底是半橢圓的短軸,上底的端點在橢圓上,記,梯形面積為.
(I)求面積以為自變量的函數(shù)式,并寫出其定義域;
(II)求面積的最大值.
19.(共13分)
解:(I)依題意,以的中點為原點建立直角坐標系(如圖),則點的橫坐標為.
點的縱坐標滿足方程,
解得
,
其定義域為.
(II)記,
則.
令,得.
因為當時,;當時,,所以是的最大值.
因此,當時,也取得最大值,最大值為.
即梯形面積的最大值為.
9.(北京文)是的導函數(shù),則的值是 3 .
11.(福建理、文)已知對任意實數(shù),有,且時,,則時( B )
A. B.
C. D.
22.(福建理 本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)若,試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若,且對于任意,恒成立,試確定實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)設函數(shù),求證:.
22.本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、導數(shù)、不等式等基本知識,考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法,考查分類討論、化歸以及數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法,考查分析問題、解決問題的能力.滿分14分.
解:(Ⅰ)由得,所以.
由得,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,
由得,故的單調(diào)遞減區(qū)間是.
(Ⅱ)由可知是偶函數(shù).
于是對任意成立等價于對任意成立.
由得.
①當時,.
此時在上單調(diào)遞增.
故,符合題意.
②當時,.
當變化時的變化情況如下表:
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
由此可得,在上,.
依題意,,又.
綜合①,②得,實數(shù)的取值范圍是.
(Ⅲ),
,
,
由此得,
故.
20.(福建文 本小題滿分12分)
設函數(shù).
(Ⅰ)求的最小值;
(Ⅱ)若對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
20.本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導數(shù)的應用,考查運用數(shù)學知識分析問題解決問題的能力.滿分12分.
解:(Ⅰ),
當時,取最小值,
即.
(Ⅱ)令,
由得,(不合題意,舍去).
當變化時,的變化情況如下表:
遞增
極大值
遞減
在內(nèi)有最大值.
在內(nèi)恒成立等價于在內(nèi)恒成立,
即等價于,
所以的取值范圍為.
20.(廣東理、文 本小題滿分14分)
已知是實數(shù),函數(shù).如果函數(shù)在區(qū)間上有
零點,求的取值范圍.
20解: 若 , ,顯然在上沒有零點, 所以
令 得
當 時, 恰有一個零點在上;
當 即 時, 也恰有一個零點在上;
當 在上有兩個零點時, 則
或
解得或
因此的取值范圍是 或 ;
12.(廣東文)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 .
12.
10.(海南理)曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( 。
A. B. C. D.
21.(海南理 本小題滿分12分)
設函數(shù)
(I)若當時,取得極值,求的值,并討論的單調(diào)性;
(II)若存在極值,求的取值范圍,并證明所有極值之和大于.
21.解:
(Ⅰ),
依題意有,故.
從而.
的定義域為,當時,;
當時,;
當時,.
從而,分別在區(qū)間單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.
(Ⅱ)的定義域為,.
方程的判別式.
(?)若,即,在的定義域內(nèi),故的極值.
(?)若,則或.
若,,.
當時,,當時,,所以無極值.
若,,,也無極值.
(?)若,即或,則有兩個不同的實根,.
當時,,從而有的定義域內(nèi)沒有零點,故無極值.
當時,,,在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點,由根值判別方法知在取得極值.
綜上,存在極值時,的取值范圍為.
的極值之和為
.
10.(海南文)曲線在點處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( 。
A. B. C. D.
19.(海南文 本小題滿分12分)
設函數(shù)
(Ⅰ)討論的單調(diào)性;
(Ⅱ)求在區(qū)間的最大值和最小值.
19.解:的定義域為.
(Ⅰ).
當時,;當時,;當時,.
從而,分別在區(qū)間,單調(diào)增加,在區(qū)間單調(diào)減少.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知在區(qū)間的最小值為.
又.
所以在區(qū)間的最大值為.
20.(湖北理 本小題滿分13分)
已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù),,其中.設兩曲線,有公共點,且在該點處的切線相同.
(I)用表示,并求的最大值;
(II)求證:().
20.本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識,考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.
解:(Ⅰ)設與在公共點處的切線相同.
,,由題意,.
即由得:,或(舍去).
即有.
令,則.于是
當,即時,;
當,即時,.
故在為增函數(shù),在為減函數(shù),
于是在的最大值為.
(Ⅱ)設,
則.
故在為減函數(shù),在為增函數(shù),
于是函數(shù)在上的最小值是.
故當時,有,即當時,.
13.(湖北文)已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則____.
19.(湖北文 本小題滿分12分)
設二次函數(shù),方程的兩根和滿足.
(I)求實數(shù)的取值范圍;
(II)試比較與的大。⒄f明理由.
19.本小題主要考查二次函數(shù)、二次方程的基本性質(zhì)及二次不等式的解法,考查推理和運算能力.
解法1:(Ⅰ)令,
則由題意可得.
故所求實數(shù)的取值范圍是.
(II),令.
當時,單調(diào)增加,當時,
,即.
解法2:(I)同解法1.
(II),由(I)知,
.又于是
,
即,故.
解法3:(I)方程,由韋達定理得
,,于是
.
故所求實數(shù)的取值范圍是.
(II)依題意可設,則由,得
,故.
13.(湖南理)函數(shù)在區(qū)間上的最小值是 .
19.(湖南理 本小題滿分12分)
如圖4,某地為了開發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風景點和居民區(qū)的公路,
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