海 淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
數(shù) 學(xué)(文科) 2008.1
學(xué)校 班級(jí) 姓名
題號(hào)
一
二
三
總分
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
分?jǐn)?shù)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
(A) (B)- (C) (D)-
(2)過兩點(diǎn)(-1,1)和(0,3)的直線在x軸上的截距為 ( )
(A)- (B) (C)3 (D)-3
(3)已知函數(shù)y=log2 x的反函數(shù)是y=f -1(x),那么函數(shù)y=f -1(x)+1的圖象大致是 ( )
(4)已知向量a=(1-sinθ,1),b=(,1+ sinθ),且a∥b,則銳角θ等于 ( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
(5)設(shè)m、n是不同的直線,、、是不同的平面,有以下四個(gè)命題:
①若∥, ∥,則∥ ②若⊥, m∥,則m⊥
③若m⊥, m∥,則⊥ ④若m∥n,n?,則 m∥
其中真命題的序號(hào)是 ( )
(A)①④ (B)②③ (C)②④ (D)①③
(6)在等差數(shù)列{an}中,若a1+a7+a8+a12=12,則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為 ( )
(A)39 (B)52 (C)78 (D)104
(7)已知點(diǎn)A(0,b),B為橢圓+=1(a>b>0)的左準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)C在橢圓上,則該橢圓的離心率為 ( )
(A) (B) (C) (D)
(8)已知函數(shù)f(x)= -1的定義域是[a,b](a,b,∈Z),值域是[0,1],那么滿足條件
的整數(shù)數(shù)對(duì)(a,b)共有 ( )
(A)2個(gè) (B)3個(gè) (C)5個(gè) (D)無數(shù)個(gè)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.請(qǐng)把答案填在題中橫線上.
(9)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離是 .
(10)把函數(shù)y=sin2x的圖象按向量a=(-,0)平移得到的函數(shù)圖象的解析式為 .
(11)在正方體ABCD-A1B
角的余弦值是 .
(12)已知函數(shù)f(x)= 那么不等式f(x)<0的解集為 .
(13)設(shè)不等式組 所表示的平面區(qū)域?yàn)?i>S,則S的面積為 ;若A,B
為S內(nèi)的兩個(gè)點(diǎn),則|AB|的最大值為 .
(14)平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn),平面內(nèi)有五個(gè)點(diǎn),從這九個(gè)點(diǎn)中任取三點(diǎn),最多可確
定 個(gè)平面;任取四點(diǎn)最多可確定 個(gè)四面體.(用數(shù)字作答)
(15)(本小題共13分)
三、解答題:本大題共6小題,共80分.解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程.
已知函數(shù)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和值域;
(Ⅱ)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若f()=2且a2=bc,試判斷
△ABC的形狀.
(16) (本小題共13分)
設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)求a1+a3+…+a2n+1.
(17)(本小題共14分)
如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正
方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB,點(diǎn)M是SD的中點(diǎn),
AN⊥SC,且交SC于點(diǎn)N.
(Ⅰ)求證:SB∥平面ACM;
(Ⅱ)求二面角D-AC-M的大小;
(Ⅲ)求證:平面SAC⊥平面AMN.
(18)(本小題共12分)
某城市有30%的家庭訂閱了A報(bào),有60%的家庭訂閱了B報(bào),有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào),從該城市中任取4個(gè)家庭.
(Ⅰ)求這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率;
(Ⅱ)求這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率;
(Ⅲ)求這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱的概率.
(19)(本小題共14分)
已知拋物線S的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且△ABC的重心為拋物線的焦點(diǎn),若BC所在直線l的方程為4x+y-20=0.
(Ⅰ)求拋物線S的方程;
(Ⅱ)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),P,Q是拋物線S上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足OP⊥OQ.試說明動(dòng)直線PQ是否過定點(diǎn).
(20)(本小題共14分)
已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx的圖象過點(diǎn)(-4n, 0) , f′( x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),且
f′(0)=2n,(nN*).
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若數(shù)列{an}滿足f′(),且a1=4,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅲ)對(duì)于(Ⅱ)中的數(shù)列{an},求證a1+a2+a3+…+ak<5(k =1,2,3…).
海 淀 區(qū) 高 三 年 級(jí) 第 一 學(xué) 期 期 末 練 習(xí)
數(shù) 學(xué)(文科)
一、 選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分)
題號(hào)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
答案
D
A
B
B
D
A
C
C
二、填空題(本大題共6小題,每小題5分,有兩空的小題,第一空3分,第二空2分,共30分)
(9)2 (10)y=sin(2x+ ) (11) (12)(-∞,-1)∪(-1,1) (13)16,
(14)72,120
三、解答題(本大題共6小題,共80分)
(15)(共13分)
解:(Ⅰ)f(x)=cos2x+2sinxcosx-sin2x
=sin2x+cos2x……………………………………………………4分
=2sin(2x+)………………………………………………………5分
∴T=, f(x)∈[-2,2] ……………………………………………7分
(Ⅱ)由f()=2,有f()=2sin(A+)=2, ………………………………8分
∴sin(A+)=1.
∵0<A<,∴A+=,即A=.……………………………………10分
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA及a2=bc,∴(b-c)2=0. ………………12分
則b=c,∴B=C=.
∴△ABC為等邊三角形. ……………………………………………13分
(16)(共13分)
解:(Ⅰ)∵S1=a1=1,且數(shù)列{Sn}是以2為公比的等比數(shù)列,
∴Sn=2n-1.……………………………………………………………2分
又當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-2(2-1)=2n-2. …………………………5分
∴an= ………………………………………………7分
(Ⅱ)a3,a5,…,a2n+1是以2為首項(xiàng),以4為公比的等比數(shù)列,…………9分
∴a3+a5+…+a2n+1=…………………………11分
∴a1+a3+…+a2n+1=1+…………………………13分
(17)(共14分)
方法一:
(Ⅰ)證明:連結(jié)BD交AC于E,連結(jié)ME.…………………………………1分
∵ABCD是正方形,∴E是BD的中點(diǎn).∵M是SD的中點(diǎn),∴ME是△DSB的中位線.
∴ME∥SB.………………………………………………………………………2分
又∵ME?平面ACM,SB?平面ACM, ………………………………………3分
∴SB∥平面ACM.………………………………………………………………4分
(Ⅱ)解:取AD中點(diǎn)F,則MF∥SA.作FQ⊥AC于Q,連結(jié)MQ. ………5分
∵SA⊥底面ABCD,∴MF⊥底面ABCD.
∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影.
∵FQ⊥AC,
∴MQ⊥AC.
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角.………………………………………7分
設(shè)SA=AB=a,在Rt△MFQ中,MF=SA=,FQ=DE=a,
∴tanFQM=
∴二面角D-AC-M的大小為arctan. ………………………………………9分
(Ⅲ)證明:由條件有DC⊥SA,DC⊥DA,∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.…………10分
又∵SA=AD,M是SD的中點(diǎn),∴AM⊥SD.
∴AM⊥平面SDC. ………………………………………………………………11分
∴SC⊥AM.
由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.
又SC?平面SAC,∴平面SAC⊥平面AMN. …………………………………14分
方法二:
解:(Ⅱ)如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐
標(biāo)系A-xyz, ……………………………5分
由SA=AB,故設(shè)AB=AD=AS=1,則
A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),
D(1,0,0),S(0,0,1),M(,0,).
∵SA⊥底面ABCD,
∴是平面ABCD的法向量,
=(0,0,1).
設(shè)平面ACM的法向量為n=(x, y, z),
=(1,1,0), =(),………………………………………………7分
令x=1,則n=(1,-1,-1). …………………………………………………………8分
∴cos<, n>= = =
∴二面角D-AC-M的大小為arccos.………………………………………9分
(Ⅲ)∵=(,0,),=(-1,-1,1),…………………………………………10分
∴? = -+=0.
∴⊥.…………………………………………………………………………12分
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.又SC平面SAC,
∴平面SAC⊥平面AMN.…………………………………………………………14分
(18)(共12分)
解:(Ⅰ)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)”的事件為A,………1分
P(A)= (0.3)3(0.7)=0.0756 …………………………………………4分
答:這4個(gè)家庭中恰好有3個(gè)家庭訂閱了A報(bào)的概率為0.0756.
(Ⅱ)設(shè)“這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)”的事件為B,………5分
P(B)=1-(0.6)4=1-0.1296=0.8704…………………………………………8分
答:這4個(gè)家庭中至多有3個(gè)家庭訂閱了B報(bào)的概率為0.8704.
(Ⅲ)設(shè)“這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱”的事件為C, …9分
因?yàn)橛?0%的家庭訂閱了A報(bào),有60%的家庭訂閱了B報(bào),
有20%的家庭同時(shí)訂閱了A報(bào)和B報(bào).所以兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭
有30%.
所以P(C)= (0.3)2(0.7)2=0.2646 …………………………………12分
答:這4個(gè)家庭中恰好有2個(gè)家庭A,B報(bào)都沒有訂閱的概率為0.2646.
注:第三問若寫出兩份報(bào)紙都沒有訂閱的家庭有30%,后面計(jì)算有誤,給到10分.
(19)(共14分)
解:(Ⅰ)設(shè)拋物線S的方程為y2=2px.…………………………………………1分
由可得2y2+py-20p=0.……………………………………3分
由Δ>0,有p>0,或p<-160.
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則y1+y2=.
∴x1+x2=(5-)+(5-)=10- =10+.…………………………5分
設(shè)A(x3,y3),由△ABC的重心為F(,0),則
∴x3=
∵點(diǎn)A在拋物線S上,∴()2=2p(),∴p=8.…………………6分
∴拋物線S的方程為y2=16x.……………………………………………………7分
(Ⅱ)當(dāng)動(dòng)直線PQ的斜率存在時(shí),設(shè)PQ的方程為y=kx+b,顯然k≠0,b≠0.………
……………………………………………………………………………………8分
設(shè)P(xp, yp),Q(xQ, yQ),∵OP⊥OQ,∴kOP?kOQ=-1.
∴?=-1,∴xP xQ + yP yQ=0. …………………………………………10分
將y=kx+b代入拋物線方程,得ky2-16y+16b=0,∴yPyQ=.
∵k≠0,b≠0,∴b=-16k,∴動(dòng)直線方程為y=kx-16k=k(x-16).
此時(shí)動(dòng)直線PQ過定點(diǎn)(16,0).………………………………………………12分
當(dāng)直線PQ 的斜率不存在時(shí),顯然PQ⊥x軸,又OP⊥OQ,∴△POQ為等腰直角三角形.
由得到P(16,16),Q(16,-16).
此時(shí)直線PQ亦過點(diǎn)(16,0). …………………………………………………13分
綜上所述,動(dòng)直線PQ過定點(diǎn)M(16,0). ………………………………………14分
(20)(共14分)
解:(Ⅰ)由已知,可得f '(x)=2ax+b, …………………………………………1分
∴ 解之得a=.…………………………………………3分
(Ⅱ)∵∴
由=2×1
=2×2
=2×3
…
累加得=n2-n(n=2,3…).………………………………………………6分
∴an=(n=2,3…).
當(dāng)n=1時(shí),………………………………………………7分
∴an=(n=1,2,3…).……………………………………………8分
(Ⅲ)當(dāng)k=1時(shí),由已知a1=4<5顯然成立;………………………………………9分
當(dāng)k≥2時(shí),ak=<(k≥2)……………………11分
則a1+a2+a3+…+ak<4+[(1-)+()+…+ ()]=5-<5
………………………………………………………………………………13分
綜上,a1+a2+a3+…+ak<5(k=1,2,3…)成立. ………………………………14分
說明:其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.
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