《數(shù)學實驗：擺線探究》教學設計

教學目標

知識目標：

在數(shù)學實驗平臺中，觀察圓在直線上滾動時圓上定點的軌跡(平擺線)，了解平擺線的生成過程并能推導出參數(shù)方程．

了解動圓在定圓上滾動時形成的擺線（外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線)的生成過程，了解三種擺線的內(nèi)在聯(lián)系及相應分類，會在具體刻畫中對變幅擺線進行簡單的分類．

了解擺線在實際中應用的實例．

能力目標：

提高學生的信息技術素養(yǎng)，提高學生的觀察能力和研究能力

情感目標：

培養(yǎng)學生主動探求知識、合作交流的意識，在學生的親身操作中，感受曲線的美感受，數(shù)學的力量，改善數(shù)學學習信念．

教學過程：

一、平擺研究

1、情境創(chuàng)設

問題：如圖，一個人的自行車外帶上沾了一點白色油漆，當他騎車向前直行時，這個白色油漆斑點在空中會描出一條什么樣的曲線？

引導學生拖動點C，使車輪在地面上滾動，觀察點P的軌跡；學生會發(fā)現(xiàn)，點P的軌跡是一條以前沒有研究過的曲線．從而引入主題，即：一個圓沿著一條直線作無滑動的滾動時，圓周上的一個定點的軌跡叫做平擺線，又叫旋輪線.．

操作提示：先按【滾動】或直接拖動點C，使得圓在直線上無滑滾動，初步認識、猜想點P軌跡的形狀；繼而【追蹤】，直觀刻畫點P的軌跡形狀，

2、方程探究

通過對平擺線的直觀研究，可以發(fā)現(xiàn)平擺線的一些性質(zhì)如：圖象是由一些呈周期性排列的拱組成，每個拱的拱高為2r，拱底長為2πr．引導學生認識到進一步研究平擺線需要研究其曲線方程．

以問題：“如何才能實現(xiàn)動圓在直線上無滑滾動呢？”為主線引導學生在實驗平臺中探究，學生容易發(fā)現(xiàn)在滾動過程中保持線段AC及弧長的長度相等，從而進一步嘗試方程的推導如下：

設是軌跡上任一點，

則

那么，從而得出相應的軌跡參數(shù)方程．

操作提示：按【比較】會顯示線段AC及弧長的動態(tài)度量值，從而能幫助學生認識其中的規(guī)律．

3、平擺變幅

在問題：“P點的軌跡是平擺線，若直線OP上另有一點Q，那么圓在直線上作無滑滾動時，Q點的軌跡如何呢？” 的指引下，引導學生探究相應的軌跡，從而得出下列結(jié)論：一個圓沿著一條直線作無滑動的滾動時，圓周上的一個定點的軌跡叫做平擺線，圓內(nèi)一個定點的軌跡叫做短幅平擺線；圓外一個定點的軌跡叫做長幅平擺線．

操作提示：按紐【軌跡】會給出點Q的軌跡，拖動點Q能幫助學生初步對變幅擺線形成動態(tài)印象；按紐【比較】會給出兩條典型的短幅擺線和長幅擺線，再次拖動點Q可以幫助學生形成整體動態(tài)認識，從而能認識到可以根據(jù)點Q相對于圓的位置對變幅擺線加以分類．

二、拓展研究

1、外擺線探究

有了平擺線的研究經(jīng)歷和基礎，學生對類似情境“動圓在定圓外滾動會得到什么樣的曲線呢”的研究會產(chǎn)生極大的興趣． 學生在如圖所示的實驗平臺中容易發(fā)現(xiàn)，軌跡是一條與平擺線相似的曲線，從而引出探究主題，即動圓在定圓外無滑滾動時，動圓圓周上的一個定點的軌跡是外擺線．

操作提示：與平擺線的研究相類似，學生在外擺線的探究上也須經(jīng)歷一個由感性認識到理性升華的過程，先讓學生在【滾動】中猜想外擺線的形狀，通過【追蹤】驗證直覺判斷，繼而通過【比較】度量值的大小，從而對動圓在定圓外無滑滾動有所感悟，從而對外擺線有個全面而深刻的認識．

2、擺線拓展

在前面探究的基礎上，改變相應的R、r的值，可以得到不同類型的擺線模型，初步認識到擺線的形狀取決于R、r的比例．

操作提示：選中參數(shù)R或r的度量值，按動小鍵盤上的“+”或“-”改變相應參數(shù)的值，可以發(fā)現(xiàn)擺線的形狀發(fā)生變化，當r值為負時表示動圓在定圓內(nèi)滾動；拖動半徑r的兩端點可以改變圖形的大小，從而能在屏幕上得到合適的顯示．

3、擺線全景

在實驗平臺中同時顯示四個圖，目的是讓學生對擺線形成整體認識，即擺線包括三種類型：外擺線、內(nèi)擺線、環(huán)擺線，并在比較中歸納出擺線的分類（如下表，根據(jù)R、r的相對比例）：

操作提示：按動按紐【選中R】將選中全部四個圖中參數(shù)R，這樣再按小鍵盤上的“+”或“-”就可以同時改變四個圖中的參數(shù)了，從而可以地實現(xiàn)對擺線的整體研究，按動按紐【選中r】也有相類似的效果．

在R或r的值過大的情況下，對應的圖形也會超出相應的范圍，這樣不利于觀察圖形的特征，可以拖動綠色點（與紅色點接近圖形縮小，反之則圖形放大）后再按按紐【統(tǒng)一長度】即可解決問題．

4、擺線變幅

在順利研究了擺線的分類后，與平擺線的變幅相類似，學生在問題“P點的軌跡是擺線，若直線OP上另有一點Q，那么動圓P在定圓O外（或內(nèi)）作無滑滾動時，Q點的軌跡如何呢”的引領下，很自然地會想到研究擺線的變幅．

在相應數(shù)學實驗平臺的支持下，學生容易認識到：當Q點在圓P上時，Q點的軌跡是擺線；當Q點在圓P內(nèi)時，Q點的軌跡是短幅擺線；當Q點在圓P外時，Q點的軌跡是長幅擺線．

操作提示：在顯示【軌跡】的基礎上，拖動點Q，隨著點Q相對于動圓的位置不同，將產(chǎn)生不同的變幅擺線；同時也可改變參數(shù)R或r，觀察不同類型的擺線的變幅，感受其異同之處，對擺線的變幅形成整體認識．

5、哥白尼定理

在擺線全景中，學生會發(fā)現(xiàn)特殊情形下的擺線會成為一條直線，從而產(chǎn)生探究興趣．動圓P在定圓O內(nèi)無滑滾動且R=2|r|時，動圓上一個定點的軌跡是定圓的一條直徑（哥白尼定理）．根據(jù)哥白尼定理，可以把旋轉(zhuǎn)運動變成往返的直線運動，這一定點機械設計上是很有用的．上述條件下，動圓所在平面內(nèi)與動圓固定地連接在一起的圓內(nèi)（或圓外）一點的軌跡是橢圓（卡丹轉(zhuǎn)盤）．

操作提示：拖動點Q，當Q與點P重合時，對應的變幅曲線是圓；當Q點處于其他位置時，相應的變幅曲線為一橢圓．